Ligne géodésique des surfaces coniques. — Pour

passer aux surfaces coniques, il suffit de considérer, dans les

formules (4) du n" i30, ^, y', z' comme les coordonnées du

dx' dy' dz' ■ ■ j ■ ,

sommet, -tt> -tt' -rr comme les cosmus des angles qu une ' ds' ds' ds' on

génératrice rectiligne fait avec les trois axes, et de faire la

fonction •]) (s) nnlle; alors, l'équation (3) du n" 130 donne

i" Application au cône circulaire droit. — L'on a, ay étant l'angle du cône, pour les cosinus des angles de la génératrice avec les trois axes,

sin^/cosâ, sinysinS, cosy;

si le sommet se trouve à l'origine des coordonnées, les équations de la géodésique seront, en remarquant que c!==Ssiny, et en posant m= sin-/,

i„sinycosô („sin7Sin0 U cosy

cosmO ' ■' cosmfî ' ""'cosmS

^"Application au cône sin4'=/{S). — On suppose toujours que le plan des zx est perpendiculaire à la géodésique

194 LIVRE II. — APPLICATIONS DES THËOtll£S PBËCËâENTES, ETC.

au poioi 011 ce plan rencontre la courbe. Si l'on coupe le cône par une sphère concentrique, l'inlersection sera une courbe dont l'arc compté à partir du plan des a;3 jusqu'à la génératrice que l'on considère aura pour expression

J„ V àù' sin'i]/

Or celte expression qui est une fonction de 0, S ^ F ( 9 ], n'est autre chose que la valeur de l'angle a.; on aura donc

^ /( sinycosô ijsin)'sinô (ocosy

■^~ cosF(e) ' ^~ cosF{e> ' ^~côsF|ë")' pour représenter les équations de la géodésique conique.

ISS. Problëue y . — Trouver la ligne géodésique ellipsoïdale .

Il a été démontré (n" 128, 3°) que lorsque les paramètres H' et W, étalent égaux et delà forme '\'{p)+ '\i,{p,),Vénuat\oa àe la ligne géodésique admettait une intégrale première. Il en sera de mfime, si l'on a

rf=7= = [^P(p) + ^,(p.}][/(p)]Vp=, </7;=[i(p)+^,(p,}][/;f?.)]Vp;; il suffira de poser

f{p)dp~du, f,[p,)dp, = dv;

on tirera de là p en fonction de u, et pi en fonction de c, conséquemment on aura, U étant une, fonction de h, et V une fonction de v,

da'=:iV + V)du\ da] = iV-+V]di'\

Donc le théorème serait applicable après cctio transformation, c'est-à-dire qu'on aurait

Usin'a — V cos'a=: const.

pour l'intégrale première de ta ligne géodésique;'donc en revenant aux premières variables, l'on aura encore

'^(p)sin'c( — ij;,(p,)cos'a — consi.

pour l'intégrale première de la ligne géodésique.

CILAvmiE III. ■- UEB LIGNIiS QUI DfiPKNBKNT, l.TC. 1(^5

Si maiiuenaiii nous reniarquonH que les valeurs des arcs coordonnés </ct, dr7„ tracés sur la surface ellipsoïdale dans le système des coordonnées elliptiques, satisfont à celte condition, on voit que l'iniégrale première des lignes géodésiques ellipsoïdales sera, jj.] étant la constante arbitraire,

jj} cos'^ -i-i''sin>p = pj.

Cette équaiiim a été donnée par M. Liouville. Si l'on y fait j3 = o, on trouve /it ^ f^, ; donc f^, est la valeur du demi grand axe de la surface F{ij-,), qui, par son intersection avec l'ellipsoïde, détermine ta ligne de courbure de la série (f^], à laquelle la ligne géodésique est tangente, pourvu que fi,' soit plus grand que b'; si l'on a fi, = è, l'on obtient l'hyperboloïde limite de la série F (fi), c'est-à-dire l'hyperbole focale, donc alors, la ligne géodésique passe par l'un des ombilics; si /i-i est moindre que b, elle représente le demi grand axe de l'hyperboloïde à deux nappes de la série F(v), lequel donne la ligne de courbure tangente à la ligne géodésique.

On reconnaît que pour tout point d'une ligne géodésique le produit de la perpendiculaire au plan langent en ce point menée du centre de l'ellipsoïde, par le diamètre ellipsoïdal parallèle à la tangente à la ligne géodésique, reste invariable. Celle propriété est le caractère géométrique des lignes géodésiques. En effet, si l'on calcule le diamètre D parallèle à l'élément de la ligne géodésique, on trouve, en se reportant au n" 122,

I cos'{3 sin'p

cotte expression multipliée par l'équation qui donne la valeur

de n- «111 même numéro, donne pour la ligne géodésique l'é- M-

quation

DM - conat.

Le rayon de courbure de cette ligne sera donné par la l'oimule

âlHiV If '

196 LIVltE II. — APPLICATIONS DES THÉORIES PBÈCÉDENTES, ETH.

laquelle prouve que, pour une même ligne géodésique tangente à une même ligne de courbure jj-,, le rayon de courbure de la section normale est en raison inverse du cube de la dislance du centre de la surface au plan tangent au point que l'on considère.

L'équation différentielle de la ligne géodésique s'obtient en éliminant l'angle (3 entre l'équation trouvée pi us haut et l'équa-

tion

™sp-^-

dans laquelle on pose, pour abréger, on obtient ainsi

dans laquelle tes variables sont séparées ( * ).

On trouvera pour la différentielle de l'arc de celte courbe, en remarquant que A est la somme des projections de du, du, sur cet élément

ds = m ii/iJ.'— (x'f//Lf + n */l^' — v'dv.

§ II. — Des lignes dont ia couiibure tangektielle