EST DONNÉE

13iV. ÈqiuUion différentielle de la courbe. — Soit ■ la courbure géodésique donnée, et représentant une fonction quelconque des variables p et p,, on déduit de l'équation (■;) du n-'W,

HH, . d\\,

— p- sino ^^ ~j- cosp -

: Pt les polygones l'pqiialion Bflodfisii

donc, si l'on multiplie w,^ deux équatious membre a meml on aura

sin[3(/p, — -^ siria</p

/ eos(3siniz i/H, , eosasiiip ^H

^\ sintp H,(/p " siiiffl bli/p,

sinasinjS /</^

siny \(/p

:rfp,

qui est l'équation différentielle demandée. L'élimination de a de cette équation au moyen de la relation (i) et de la relation y = (a + |3), a étant une fonction connue des paramètres p, p,, porterait l'équation (a) au second ordre, mais il est plus commode de la laisser sous cette forme.

Nous ferons maintenant les remarques suivantes : 1" Si les lignes coordonnées se coupent sous angle constant, le second facteur du dernier terme se réduit à da, différentielle complète de a par rapport à p et à p,. 2" Si le système est orthogonal, l'équation ( 2) devicni

-p-sm[3rfp,^-psma(/p

" HT"^^ 11 rf^ '^'

! -!-S!n«COS«((/«,

da étant une différentielle complète.

3° Si l'angle tp étant constant ou fonction de l'une des denx variables, p par exemple, H et H, ne dépendent que de cette variable p, l'équation (2) prend la forme

,2") ""'p^'"' ^p=^(H,cos,B);

«le là résulte que, sil' est une fonction du produit l:liCosi3,

19^ LIVRE 11. — AITLICATIONS DES ÏBÉOBIES PIIÉCÉDENTKS, ETC.

OU bien que, si le rapport de P à HH,sino est une fonciion F' du même produit, F' éiani ia dérivée do F, on aura, suivant l'un des deux cas,

F[II,cos[3)-- 1 HH,sin(pc/p = const., F(H,cos[3) — pi-^tonst.,

qui seroni les intégrales premières de l'équation [ 2" ). Il en sera de même si l'on a

P = F(p) ou bien ' P — cos"'|3F(fj),

m étant un nombre entier quelconque; les deux membres de l'équation (2") seront intégrables.

4" Soit 9 constant, et le sjsième choisi de telle sorte que H soit l'unité, ce qui est toujours possible, puisqu'il n'y a qu'à prendre pour secondes lignes celles qui déterminent sur les lignes de la première série des longueurs constantes; si, de plus, Hi remplît celte condition qu'elle soit égale au produit de p par une fonction quelconque de pi. H, = pi);'(p,), i]/' étant la dérivée de '\i, l'équation {a} devient

Psinj3 Si l'on élimine de cette équation eot[5, au moven de la relation

cotS^5l^"t£HÎ^, on trouve, réductions faites, l'équation différentielle

' ' Psin[3 "^ sin® '^ ' p '^

de là résulte que, si l'on a Psinjî égale à une fonction de p, représentée par - ■■■ -) l'équation précédente s'intégrera et donnera

sin=(p/(p) ~ ijj (pij — cosœlogp — asiiKjj — coost.,

laquelle sera l'intégrale première de la couflie.

CUAPITHE III. — UES LIGNES QU] BÉPlîNDKNr, ETC. 19g

135. Problème VI. — Trouver sur une surface de révolution la ligne dont la courbure tangentielle est donnée.

Pour celte surface, l'on a, en conservant la notation dun°89, i!l en posant i = p, Q=^?i,

da-= dt\J> + ii^", (lrT, = idÔ, <o-—~- D'après in remarque 3 du numéro précédent, l'on a

si l'on pose l'un des deux cas

- E = F'(<cos[3), P = P[(!cos[3),

iv'i + 'l'" on obtiendra l'une des deux intégrales

(- F(icos(31=:consi., / idl \Ji-^ é" — F(/cosp) = const.

Si P est une ibnclion de t seule, en représentant par/(0 l'intégrale du premier membre de l'équation (2} du présent numéro, on aura

/{ l) — t cos j3 = const.

Si P est de la l'ornié V{t)cos"'^, l'équation (2) pourra s'écrire sous la forme

donc, en représentant par/ (/) l'intégrale du premier membre, on aura, après intégration.

Si, dans les deux premiers cas, on peut résoudre les équations données par les intégrales par rapport à icosp, comme cela arrive pour les deux derniers cas, de telle sorte que l'on ait

300 LIVRE II. — APPLICATIONS DES THËOKIES PBËCËDBnTES, ETC.

en portant dans cette équation la valeur de cos(3 donnée par la relation

on obtiendra sans difficullé

laquelle ne dépendra que des quadratures.