CHAPITRE m.' — DES L[fiNi;S QUI

trouve

(4) Mp, = ^^

Cette valeur de dp, éianl substituée dans l'équation précédente, on obtient

__ j«<»Miî=(iT4jp-i:»osy™y)

' Vijcos'y çdp '^ ' '^ I (^dp ' /

si l'on groupe convenablement les termes, on obtient l'équation

) \cosyJ ÇI'cos°y

m cherche quelle est la courbe pour laquelle on a

• =?ip:^Çco5i.siny, nM01(8),

d — — —smydyi ^ . o;

\cosy J ' ' \cosy/

dont l'intégrale est sin p = const. C'est l'équation de la trajectoire sous angle constant des génératrices vectilignes. Dans ce cas, on vérifie facilement la propriété relative à la courbure tangeniielle de la trajecloire sous angle constant; en effet, on a, d'après l'équation (5) du n° 64,

I sin[3 sinpsinyf/s sin[3sin")'

p "^ ns^ "" d<7 ' ~ f ■

137, Applications : i" Coiiotde droit. — Pour passer au cas du conoïde droit, il faut faire ^ nul dans l'équation (6) du n" 136; on obtient ainsi

dy dtC l siny sin'ysinp\

202 LIÏKE 11. — APPLICATIONS DE9 THÉORIES PRÉOÉDENTKS, ETC.

or, laissons la l'onction Ç tout à fait indéterminée, ce qui revient à dire que le conoïde est quelconque, et proposons-nous de déterminer la ligne tracée sur cette surface jouissant de celte propriété, que sa courbure langentiellesatislasse à l'équation suivante, dans laquelle )i' est une fonction de j3 :

/ sin -/ :osy ce qui donne I P sin'ysinp^

['équation (7 ) devient

'^' ■ l' smycosy K " J^

l'intégrale de celle équation sera donc, c étant une constante urbitraire

/" cosfiJ(3 ,^^ langy

on déduit de là

qui est l'intégrale première de la courbe cherchée. C'est une relation entre le rayon \ecieur t et l'angle que la tangente à la courbe fait avec ce rajon vecteur. Si l'on avait l'angle 6 que ce rayon vecteur fait avec un plan fixe passant par l'axe, plan qui est ici celui des xz, on aurait ainsi les deux équations de la courbe. Nous allons démontrer que cette relation dépend d'une différentielle du premier ordre.

Remarquons que l'équation (2) du n° 136, modifiée par suite des équations ( lo) du présent numéro, devient successivement

, , ^ dt sinv dt sinv ,, /tangyX

Celle équation, si l'on a égard à l'équalion (<>), devieni sin[3(^|3 (/e

(ir, si l'on porle dans l'équation

la valeur de t Urée de la relaiion (lo'), on obiient

d'où on déduit

sin-^ =:

en portant cette valeur dans l'équation (ti'), et en remarquanl que dt est égal à la différentielle dO de l'angle que le rayon vecteur t fait avec le plan des xz, on obtient l'équation différentielle

dB = -'

laquelle est du premier ordre, c, q. r. v.

On reconnaîtra facilement que, si 1- est de !a forme

«sin°[3cos™[3,

dans laquelle u, m, n sont trois constantes dont les deux dernières représentent des nombres entiers, l'intégrale de l'équation (lo) s'effectue, et on obtient l'équation différenlietle de la courbe entre deux variables ( et 0. Contentons-nous d'exaner les cas où X^ est égal à ±sinp.

Si }?^ sin^, t^ csiïip-, si l'on lire les valeurs des sinus et cosinus de l'angle (3 de cette dernière équation, et qu'on les porte dans l'équation (ii')i on trouve

sl^

■QVylc

-.: t^inp,

el,

par su

\Ul,

Çtdt

2o4 LIVBE II. — APPLICATIONS DKB TIIÉOBIES PllÉCÉD ENTES, ETC.

Suivant celle double hypothèse, on trouve que !a courbure langenlielle de la ligne est donnée par

I sin^y + T

Psinp ^ T^"'

138. 2° Héliçoïde gauche. — Pour obtenir les formules relatives à cette surface, il suffit de faire ^ constant dans les formules précédentes. Supposons que X' est égal à/('cos'|3sin|5, k éiant une constante, ce qui revient a dire que la courbure

p satisfait à la relation'

I /i'cos'(3 -4- sin'y __ ^ ^___. ,

l'équation [lo] donne

(.' étant une constante introduite par l'iulég ration. Si l'on suppose /r' égale à l'unilé, l'équation ( 1 1 ) donne

dont l'intégrale est

c'-{rj-o,y-

6„ éiant une constante arbitraire : celle équation représente la spirale parabolique.

Dans le cas où /i" a une valeur quelconque, Véqualion différentielle de la courbe est

qui estune différentielle binôme, intégrable toutes les l'ois que A '

est tel, que l' une des deux expressions ) — - — — - est

un nombre entier.

i m. — DES i.ir.Nns QUI iitcKNvrcfi

LIGNE DONT LA COURBUHE TANGENTIE

139. PPOBLÈME VIII. — Étant donnée une courbe AtPA,, (S) (Jîg- 13), tracée sur une surface, trouver sur celte surface une autre courbe n de longueur donnée, telle que l'aire comprise entre les deux courbes soit un maximum.

En conservant les notations du n" 126, l'on doit avoir entre lus deux limites Si, S,, pour la courbe donnée, la condition

a étant une constante. Si l'on prend une position infiniment voisine. Von aura

or\h.-{dc],-{d<y].^f^'S

mais il faut, dans le cas du maximum, que, pour ce déplacement, la variation de l'aire soit nulle. Si l'on représente par d-d, l'élément de toute li^ne qui coupe orlhogonalemenl la riourbe u, cette variation sera, comme on le voit sur la ligure.

d^da,

l[d^dfr^),^Ud^da,\+j '

Or puisque les triangles B, A, h, A,aBo sont des infiniment petits du second ordre, et que celte seconde variation ajoutée à la première multipliée par une constante b doit être nulle,

ao6 LivRR ir. — appi.icmiows vts tiiéoiues piificfiDiDNTF.s, iîtc. on aura l'équalion

«(„),-«(").-£'(srf.-'^)=...

Si l'on raisonne, comme on l'a fail au n" J26, oeite équation devient

«(a),-(rf,). + £^-„i.,(;-i)=«.

Or l'inlégrale devant être nulle, on trouve — = ^, e'est-à-dire la courbe dont la courbure tangentielle est constante.

Les équations aux limites donnenl cette double condition, qu'en ses deux extrémités la courbe u doit être perpendiculaire à la courbe donnée S.

Corollaire I. — Supposons un plan tangent à la surface se mouvant suivant la courbe à aire maximum ; il engendrera une surface développable sur laquelle la courbe sera située, et cette courbe ayant une courbure tangentielle constante, il en résulte que si l'on développe celte surface sur un plan, la courbe se changera en cercle.

Corollaire II. ~ Si les deux surfaces sont tangentes suivant la ligne maximum par rapport à l'une des deux surfaces, celle ligne sera aussi la ligne à aire maximum sur l'autre surface.

140. Problèmk Y^.. — Trouver sur la surface d'un cône circulaire droit la courbe dont la courbe tangentielle est constante.

Soit 3 = mi l'équation du cône circulaire droit, m = lang«, a étant l'angle que la génératrice fait avec l'axe de révolution, l'équation {2) donne, P étant une constante.

'*'' -=d{tcosQ),

:' étant une constante arbitraire

Si nous appelons 7 le ravon vecteur mené du souimei du

(:H4PiTiiK rcT. — uns lignes qui dépkndiîm, ktc. ao; cône à la circonférence de ce cercle ivaoé sur la surface supposée développée, / la disiance du cenire au sommet, A le rayon, et (3 l'angle du rayon du cercle et du rayon vecteur, l'équation de ce cercle est

t'— 2-A cos|3 -h A" — l' = o.

Or, si l'on remarque que l'on a i ~ r cos«, l'inicgralo trouvée devient

r— 2TPcosi3 !— ^o.

Cette équation devient identique avec la précédente, pourvu que l'on pose

A = P, c^ = (/' — A=)cos«;

ainsi, la courbe trouvée représente un cercle dontlo plan est enroulé sur la surface conique.

L'équation différentielle entre ï et est, d'après ( 135),

t\ll^k'Pco?:'a — [i' — c'Y

dans laquelle on a posé k= Peosa, L'intégrale est

ï' — aicos(9sin«) s/Çc'-t- A'cosfl)cosrt — ij'cosrtTrro.

l COOllDONHKltS,