SYSTEME DIRECT DE COORDONNÉES GÉODÉSIQUES

§ I. — FOBBBLES GÉNÉRALES.

141, Problème I. — Étant donnée une côurhe a tracée sur une surface, on mène une série de rayons vecteurs géodésiques tangents à cette courbe, et dont les longueurs t, comptées à partir du point de contact, varient d'après une loi donnée, lieu des extrémités de ces rayons [Jig- i4)-

Notations :

du est l'élément de la courbe donnée o-;

rf£ son^angle de contingence tangeniielle à la surl'ace;

II le rayon de courbufe tangentielie, fonction de a;

y.lo U\HV. m. — DES OOOllltONNÉES GÉODfiSlQllKS.

fis, (le, r sont les éléments analogues de la rourbe décriie;

dp est l'arc géodésîque compris entre deux arcs orthogonaux inrintment voisins;

dh est l'élément d'arc orthogonal ;

H est te paramètre différentiel correspondant du premier ordre.

On prend pour paramètres variables i et e déjà définis, de sorte que H est une fonction de l et de c.

Lorsque les éléments dp, dh se rapporteront à un point quelconque non situé sur la courbe s, nous les accentuerons, si cela est nécessaire pour éviter confusion; [3 est l'angle que l'élément dp fait avec ds.

Tangente. — Nous avons dp ^ dt + d<T, ce qui revient à dire que p est le rajon vecteur géodésique normal à une développante, par rayons vecteurs géodésiques, de la courbe dtr. Nous avons les équations

(1) dp^.dt + Tld'., cos|3=^, «inp^^' '^*^^^=h£"

Jn^es de contingenee. — Si l'on applique le ibéorème de Gàuss (n" 76) au triangle géodésique formé par deux rayons vecteurs l, t -\- dt inûniment voisins, et par l'arc dh, projection de ds sur l'arc orthogonal, et qu'on représente parfit.) l'angle de contingence tangenlielle de l'arc orthogonal, l'on aura

Or l'on a, d'après la formule (9") n" 41, (a relation (/"H H

Substituant la valeur du second terme dans l'intégrale précédente, l'on aura, en intégrant entre les limites o et /,

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Mais, SI I on remarque, que pour i-o, l-i— est 1 mute, la