CHAPITRE L. — SÏSÏÈMLÎ DIRECT 1>E COOKOONNÉKS

valeur de I intégrale esl rfe I "

la relation suivante, l'une des plus importantes de la théorie :

' dp

A ces relations il faut ajouter celle qui provient du triangle inflnitésimal dont les côtés sont ds, dp, dh, lequel donne

[4) dt.i=-de — dp.

Différentielle de l'arc. — L'on a les formules

(5) ds':.---. dh-' + dp', ds' = \w + (n + ^ yi dz\

H2. Rayon de courbure tangentielle de la ligne dh. — Si l'on divise les deux termes de l'équation (3) par dh, et qu'on

représente par -^ la courbe tangentielle d

e l'arc dh, on a

dans laquelle il faut mettre la valeur de t

', qui se rapporte

point que l'on considère.

/Normale dans le plan tangent, tangente. — Si par le centre âe courbure tangentielle de l'arc dh, lequel est situé dans le plan tangent, on mène une normale dans ce plan à ce rayon de courbure; elle intercepte sur la normale à la courbe ds située dans le plan tangent et sur la tangente deux segments N et T, qui sont la normale et la tangente de la courbe ds par rapport au centre de courbure, l'on a

■I' — ^ - Mï N — -?- — -5i^

''^' cos[3^rf/>' ^sinp""Hrf£'

Sous-normale, sous-tangente. — Les segments interceptés sur la perpendiculaire dans le plan langent, menée au centre de courbure tangentielle de dh, par la normale et la tangente,

JI2 I.TÏRR III. — DES COOIIDONNÉES «ÈObliSIQCRS.

sont la suus-noriïiak S„ et la sous-tan génie S„ fti l'on a

(il

(8, S, lilonsp-. H- , S.= Rco,?=^'.

143. Rayon de courbure tangentietlf. tie ds. -- Si l'on divise l'équàlion (4) par ds, on obtient

L'élément ^j^ représente aussi la composante tangontielle

de la courbure inclinée de la courbe ds, supposée coupée par une série de courbes sous l'angle p. Cette courbure joue le rôle le plus important dans la théorie.

Si l'on dîfférentie la troisième des équations ( t ], l'on obtient

d^ ___ 5L'î!ê /^!£L - ^P t^H X 7h~~ H~ \Wd? " H'di Ih]'

d'après cela, l'équation (g) devient

^^ ' P """ It \P'\df ds Mdc)'

Si l'on élimii>e sinjSau moyen de la deuxième des érjualions (i), l'on obtient

5! ^IrI^ÛE f^HX d'p

, , T U "^ri£ lu ds "*" rfg j de

La courbure -j^ tangeniielle de la courbe ds prend deux nouvelles formes qu'il est bon de connaître, i" Si l'on remarque que l'on n

</cot[3 = -([-t-rai'i3j'-/fi.

yGoosle

nHAl'liUE I. — SïSIESiK DlKiJCT DE COOBDONNÈliS,

la l'ormiilR (g) s'écrit sous la l'orme

T 4- COL' [3 </coL'|^

cl les équalions ( "j ) s'écrivent aussi sous la forme

cotp '^

2° Si l'on élimine de l'équalion (g) R au moyen de l'équation (6), et (/* au moyen de la deuxième des équations (i), l'on trouve

i__ sin|S<m cos(3</,^ ''^' P^ Vldp ^ (//>

Si le paramètre H ne dépend que de p, celte équation de-

''^^1 P^ Hdp '

que nous avons déjà trouvée, n" i34, sous luic l'orme équivalente [a").

Si dans l'équation (lo) on élimine dp au moyen de la première des équations (i), on obtient

Remarque. — Si la courbe tr su réduit à un point, il Tain, poser di nul, et par conséquent n égal à zéro. Alors cette dernière équation devient

11= dt /H dl dil\