LIVRE ni. — DES COORbONNÈES GÉODÉSIQUES

Quadrature. ~ Soit du la différentielle de l'aire, on a

du = dp'dh' —Hit', s)dp'ds;

si l'on y remplace (' par sa valeur p' — r, il faudra intégrer : i^entreleslimiiesï'^oet i'i^ï, ou, ce qui est ta même chose, entre ;>' = o- et />' = ( -h <7 ; 2" entre deux valeurs de e, £«61 e, de sorte qu'on aura

(i3) u-..J^dzJ'i\{p,,]dp.

Comme la courbe du est connue en fonction de e, ainsi que l, tomes les formules que nous venons de calculer dondent les éléments de la courbe ds en fonction de ê : ce qui est la solution du problème général que nous nous étions proposé.

144. Prehiëbe APPLiCATiOM : Surfaces dévehppuhles. — Si l'on prend pour courbe directrice a l'arèle de rebroussement, les rayons vecteurs géodésiques sont les génératrices rectilîgnes de la surface. Sous ces conditions, le paramètre différentiel H esi égal à t. Les formules (i) deviennent

=-..(// H- TIrfs, cosp:

dt+ du

La formule (s.) est vérifiée; en effet, ■> qui est la mesure de la courbure de la surface, est un élément nul dans le cas des surfaces développables. 11 résulte de là que l'équalion (2) se réduit à