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Surfaces coniques. — On passe au cas de ces formules en faisant II nul dans les formules que nous venons de trouver,

145. Deuxième application : Sphère. — Soit t i'angle au centre qui correspond à l'arc (, a le rayon de la sphère; on a

dt = adT, dh^asinr-ds, H=:asinT.

1° Si l'on suppose que la courbe i/o- directrice csl cjuelconque, on obtient

Dans le cas de la sphère, la courbure devient — . la formule ( a } du n" IH devient , , d'il II

yGoosle

2(6 LIVRE l[l. — DES COORDONNÉES GÉOOÉSIQUES.

l'intégrale, en déterminant les constantes comme précédemment, est

H:=rTrt5ini-, d'oii rf/i=: asînT</e.

On trouve de même les autres formules :

(3) dùs-^costds,

(5) ds' = (adT + nds)' + a'siii'tdz\

(6) R:==«tangr,

1l- + 'lê.

ingr ds

2° Si l'on suppose que la courbe directrice du est un petit cercle, soit y l'angle sous lequel on voit du centre le rayon de ce petil cercle, ei dl l'angle au centre de ce cercle, qui mesure l'élément de, on a les deux relations

di7 = asinyd'A, de -; cosy d'A.

Donc l'équation naturelle du petit cercle est

D'après cela, on a

[ '■'*^^'- "sinrrfs " '

(5) ds' -~a'{dt -!- tangyrfs)' -i- u's'ia'-cds'.

3" Si la courbe d-r se réduit à uu point, on obtient «sinr^E ..^ dr

cosp =