CHAPITRE I. — SYSTÈME UIIIRGT DE COOHI)O^MÏK!^, lîTC

01', si l'on ap|)elle y l'angle que l'arc méridien fait avec le, plan perpendiculaire à l'axe de roiaiion, au point que l'on consi-

vérifier directement; on a aussi

de= --

fOS

■mole at iangenle :

■oïts île ooiii-bniii tangent

ielle :

cosy

[ cosy Psinp

-"•^"{âi)

(çi')

^dS

, cos-/ (^" ■*-

dl''\ d'/

Différenlielle de l'aire .■

148. Problème 11. ~ Étant données les mêmes conditions que dans le problème n" 141, la longueur du rayon vecteur gêodésique i-esle constante et égale à b, lieu des extrémités de ce rnvon.

yGoosle

332 LIVIIK III. — DUS COOHDOHNÉES f.ÉOPÉSIQCFS.

Tangente. — La troisième des équations (i)doniip H — n tang |S.

Celle forimtle moiilre que, si l'on mène, à partir du point situé sur la courbe s, dans la direction du premier élément géodésique du rayon t, une ligne droite égaie à H et, à l'extrémité de celte ligne, une perpendiculaire égale à II et située dans le plan tangent, et qu'on achève le triangle, l'hjpoténuse de ce triangle est la normale à la courbe située dans lo plan tangent.

Rectification :

Rayon de courhure tangentielle :

p~ R "^ " n dz \nj'

La première de ces formules donne ds en fonction de e, et la seconde fait connaître la courbure par une construction

linéaire.

149. Applications : \'' Sphère de rayon a ; ta courbe -r- est un petit cercle, le rayon vecteur géodésique tz^.aT:^--b^ consl. — L'équation du petit cercle, ainsi que nous l'avons trouvé au n" 14,^, est

on trouve

fh' = a-'{vm'é'y->rs\n-'r)d£'^an^ag'y ( ^ip ) '^'''

or l'on a, d'après les formules (i) de la deuxième partie du n" 145,

La première de ces deux formules montre que (3conséquemment la relation de = (/(,i -a- d^ donne

dm =; de ^= (/eros7.

CIIAPITIIR 1. — STSTÈME BlltECT HH COOBDONHÉES, IÎTC. 223

Si l'on a égiird à celle relation, on obtient l'équalion naturelle de la courbe clierchée, en éliminant d& entre l'équalion qui donne ds et celle que nous venons de trouver ; cette équation est

p^^«siny^ de sinp

le second membre étant constant, elle représente un cercle.

150. 1" Surfaces développables. — Les formules (i> du n" H4 donnent

coi[3 = ^, rfi' = [6' + n=)<:/s'.

La première de ces formules montre que, si l'on développe la surface sirr un plan el qu'on joigne par une droite l'extrémilé de b avec le centre de courbure de l'arête de rebroussemenl développée, cette droite est normale sur la courbe. La formule (7) donne

I sinfi sin'[3 (d\i\

rebroussemenl après son développement sur- un plan. Celle formule donne la construction du rayon de courbure tangenlielle de la courbe.

La formule [g) donne l'expression de l'aire balayée par le rayon vecteur b : elle est

c'est-à-dire égale au secteur circulaire dont le rayon est b el l'angle i.

Supposons que l'arêle v, après son développement sur un plan, soit un cercle de rayon a, on a II = n, et l'on tire de ce qui précède les conclusions suivantes :

£" L'angle |3 est constant, donc la courbe t/s est la iiajectoire coupant les tangentes sous angle constant.

9." L'angle di = rft.i -- de, donc la courhe ds est une ligne

2,34 LIÏRB [If. — DES COORDONNÉES GÉOTJÉSIQUES.

dont la courbure taiigeniiellft esl constante, puisque l'on a (ts .

de '

Ainsi, si une surface développable a pour arêle de rebroussement une ligne dont la première courbure esl conslanie. une tangente de longueur constante décrit sur la surface une courbe dont la courbure langenlielle esl aussi consiante. C'est

aussi ce que l'on aurait obtenu par la formule qui donne pi

laquclln devient dans le cas actuel

Tous ces résultats sont susceptibles d'une très-grande généra iisaii on.

g II. — De la dévf.loppanie par uayûns vecteurs c.ÉorÉSiQUFs.

151. Problème III. — blant données les mêmes conditions que dans le problème du n° 141 , trouver la développante dé la courbe dn.

Dans ce problème, la loi des rayons vecteurs géodcsiques t est connue, puisque l'on a

,!t+da-.-^o,

d'où l'on tire, h éiani uno, consiante,

- fl\de.

Tangente. — Les équations (i) du n^ \k\ deviennent

(a) cos|3 = o, dli^ds;

donc la courbe est perpendiculaire au rayon veciour géodésique; on a ainsi une des orthogonales du système.

ClIAPIinE I. — SÏSTÈMK DIRECT HE COORDONNÉES, ETC. aaS

Rayon de courbure. — L'équation (9) du n" 143 donne, H' étant la dérivée de H par rapport à p.

î-HT7:7T-„'^;,;-J— ;y

Rectijïcalion. — L'on a

dlï = ds = 'B.{t,i)di;

ii faut remplacer, dans cette équation, ( par la fonction b et intégrer entre deux valeurs de e, ce qui donne

Relations entre les rayons de courbai courbe et de sa développante. — L'équation [i) donne

or, d'après l'équation (3), P est une fonction déterminée de t et de e, que nous représenterons par/(;, s) :

Si l'on différenlie cette équation par rapport à i, ot qu'on élimine -j- au niù>'en de la relation précédente, on aura

dt^

i52. Applications : 1° Contour décrit par un arc géodésique très-petit tournant autour d'une de ses extrémités. — Proposons-nous de calculer la longueur et l'aire de ce contour. On a, d'après ce qui précède.

'=r''' "--jj

tdh.

t étant constant et très-petit; or, si l'on développe dh suivaiU les puissarices de ( d'après la i'ormule de Mac-Laurin, l'un

aafi uvRK m. —

DES COOKltONSÉES liÉODÉSTQUES.

aura

1^ jd'dhy i' jd'dh'

avec la condition

dh dll

i l'on a recours à la relation précédente, on voit que

/d'dh\ (dli\ id'dfi\

[lïïr].= ~(K-lr°- l^j

/«/'rf/iN lit

(lituaiit ces valeurs, l'on a

on aura donc, en négligeant les puissances de t supérieures à la cinquième ou à la sixième.

iir

.5.3(K.ÎV 1.3. ci. 4. 5 aX I i.2.3{K^), 1.2,. 3. 4. 5

xfc-£(à)l-|-

On tire de ces formules les conclusions suivantes : si deux surfaces ont en un point même courbure, la longueur du contour décrit par un arc géodésique très-petit tournant autour d'une de ses extrémités en ce point sur chacune de ces sur-

CHAPITRIÎ I. - SYSTÈME IMBERI

laces el l'aire de ce comour ne changeront pas d'une surface à l'autre, pourvu que l'arc géodésîque très-peiil reste le même.

153. 2° Surface sphérique. — Développante géodésîque d'un petit cercle.

L'équation du petit cercle est [n° liS)

m étant une coristiiiUe. Donc la loi des rayons vecteurs sera donnée par l'équation

Rectification. — La formule

dh ^ rtsin^rfê^ ds {n" 145) donnera

a' b ~ms

îo étant la constante d'intégration.

Angles de contingence :

(U=i — '—, d&^o, donc d',i^=de; COST "^

donc

de^ rfecosT — dscos ^j

et, par l'intégration,

on déduit de ces formules

ce qui est l'cqualion naturelle de la courbe.

Hayon de courbure. — En divisant l'équalioii de :=:z ds cost

^■jS r.ivBK m. — DES coordonnées géodèsiques,

par l'équation dh=^ a s'inx de, on trouve