me
cot
I colv a
ce qui donne le rayon de courbure.
Ces deuK dernières formules se déduisent aussi immédiatement de la relation (g) du n" 145.
Quadrature. — L'on a
du= I dt 1 dk-^a' 1 I s'mxdzde;
or, si l'on intègre par rapport à t depuis ï = o jusqu'à t^l, on obtient
M — —«M (cosT — i)d&= ■ — — ( (cosT— i)(^T,
et, finalement,
u =^ sinr — sin I r ■
tang^-L « V «yj
3° Surface sphérique. — Développante géodésiijue d'une
courbe quelconque -7- r= H.
Bayons vecteurs géodésiques :
t = b- ÇjIds = r>T.
Rectification :
(>- fjïdi ds = «(/s sin '
Relations entre les rayons de courbure ;
dP^__ Tl ^ n
de ~ cos't (te cos' t
134.. Probi.èwi; IV. — Trouver la développante oblique par rayons vecteurs géodésiques d'une ligne donnée.
CliAPITHK 1. — SYSTÈME DIRECT DE COORDONNÉES, ETC. 229
Nous appelons ainsi la courbe qui coupe sous un angle constant les rayons vecieurs gcodésiques tangents à une ligne donnée da.
Loi des rayons vecteurs. — Elle est donnée par la troisième des équalions (ij du n" \k\, on a donc
(.) J^-ii(i,>)coi(j + n=o.
C'est l'équation différentielle du rayon vecteur géodésique ( entre les deux, variables t et s. Si le paramètre différentiel H est proportionnel à t, l'intégrale ne dépendra que des quadratures.
Rectification. — La deuxième des équations (i) du n" 141 donne après l'iniégraiion, s„ étant une constante,
cette équation montre que la reclîficaiion de la courbe s ne dépend que de la rectification de la ligne géodésique t et de la courbe da.
Jngtes de contingence. — rfj3 étant nul, l'on a {3) d^=^de — W(t, E}de,
dans laquelle t dnii être remplacée par sa valeur tirée de l'intégrale de l'équation (i).
Rayons de courbure langentielle. — L'on a les relations
Si l'on représente, comme précédemment, le rapport jp par
f{t, e) et qu'on différenlic l'équation {4} en ayant égard à l'équation { i ), on obtieiil
dt ""-1'— fil "^ cIe
-^/H'Pcosp=-§^n-.H4''.
dt "^ dt de
23o LIVRE Ul. DES COORDONNÉES GÉODÉSIQUES.
Ces deux relations qui rentrent l'une dans l'autre, lient entre eux les deux rayons de courbure tangentielle d'une courbe ei de sa développante oblique, de telle sorte que la construction géométrique de l'un s'en déduit lorsque l'on connaît l'autre.
155. Application : Surface sphérique. — Développante oblique de la courbe donnée par l'équation
Dans celte équation, on suppose m constante, a rayon de la sphère, n ~ cot^, E base des logarithmes népériens. On obtient les résultats suivants.
Rayon vecteur gé.odésique. — I! est donné par l'équation
di a ~ '
Cette équation s'intègre par la variation des constantes arbitraires; et si l'on détermine la constante par la condition que lorsque t est nul e soit aussi nul, on trouve
lang -X— I — t"M ■
Rectification. — Si l'on veut que l'origine de l'arc corresponde à la valeur nulle de s, on obtient
Rayon de c
otangT sin^
Angle de contingence. — Cet angle est donné par l'équation différentielle
4a"H.'+fn'(i-E'">
qui ne dépend que des quadratures et qui se ramène à l'intégration des fonctions rationnelles, en posant E"'= a-.
Relation entre les rayons de courbure de la courbe et de sa développimte. — hans le cas actuel, la fonciion/csL (ttungr;
i;§UI'rL'RE 1. ^ SVSTÈMK BIIIKCT LIK
lii fleuxième tles équations (5) donne
§ m. — Des lignes dont la courutjri! iangiîntiiii.le .iotjit
d'une PKOPRIÉTÉ COIVNUI!.
156- Problème V. — Déterminer une ligne d'après une propriété de sa courbure tangenlielle.
L'expression que nous avons donnée de la courbure tangenlielle dans le cas où les rayons \ecteurs géodésiques j> soni eomplés à partir d'une développante de la courbe a-, ii"li3, formule (il), peut s'écrire sous la forme suivante, après avoir posé, pour abréger, a^coi'p,
^ ' dp H^ ' Psin'jî
1" Posons Psin'|5 = S, et supposons que H ne dépende que de p ainsi que S, l'équation précédente pourra s'écrire sous la forme
(Sont l'intégrale est
Cette équation fait connaître cot(3 en fonction de p; or l'on a
dp = B.covpdi.
Celte équation dans laquelle les variables seront séparées, lorsqu'on y aura remplacé cot[3 par sa valeur en fonciion de p, donne
"-Jhcoi(S'
qui ne dépend que des quadratures, el qui est l'équaiion de la courbe eliercliée.
n" Posons rsinj3=^ è, cl adnietlons que H et G, ne dépen-
232 LlVnE III, ~ DIÎS COORDOKNIÎKS SÊODÉSIQUES.
deni que de p. L'équation (i) pourra s'écrire sous la forme dz -irfH 2<//i
son intégrale ost 3" La même équation (r) peut s'écrire ainsi sous la l'orme
de là résulte que si l'expression tt- ~ . i que nous posons
égale à =-i est une fonction de p seule, l'on aura, quel que soit H, l'iniégrale
Si H ne dépend que de />, on pourra pousser plus loin le calcul, en opérant comme on l'a fait au premier cas du présent numéro.
Si H dépend de p et de i, l'équation précédente pourra toujours s'écrire sous (a forme suivante
!4' = n(p,=)VE'JS-
Celte équation, dans laquelle E est le nombre dont le logaliihme népérien est i, est l'intégrale première de la courbe.
L- Si l'expression -n- — ,, . . est égale à - — ^—^ > S, étant une fonction de p seule, et m une constante, l'équation (i) devient
dont 1
'intégrale est
