CHAPITRE I. — SïSlÈWE DIRECI DE <;OOBDONHÉES, lîTC

Si H ne dépend que de p ei qu'on pose, pour abréger, — ml -f =i{;i(/>) '■ , on aura l'intégrale première de !a courbe égale à

Hi/4,,(pl-, qui ne dépendra que des quaiJralures.

157. Applications : i" Étant donnée sur une surface la développante d'une ligne a, on mène la série des rayons vecteurs géodésiques orthogonaux à cette développante, et l'on demande de déterminer une courbe telle, que, si l'on projette en un de ses points son rayon de courbure tangentielle sur la direction du rayon de courbure tangentielle de la ligne orthogonale, la moyenne harmonique de cette projection et de ce dernier rayon de courbure soif constante.

L'on a la condition

Vin^~ K""'" K'

K étant une constante; or, l'on a

' ' rl^ Vsinp K dh'

de là ré,sulte cette relation

^ = 1dh K'

fl'ime autre part, l'on a, d'après la troisième reiiiurquc du n" 156,

011 auia dune (lour ccmalion différemidle (le la cttuibc

dp cE«

a34 LIVRE [II. — IIKS ROOItDONNÉKS <iÉOIIESIQUeS.

Si l'on détermine la conslanîo e pai* la condition quo \ov^que (3=: [3l, p^;/»!, l'on a

tr^sin|3,K"'^,

sini3 = siii|3,E^; d'une autre part

(M = siii&f/.f donne ds^ ■■■ -. ■■ — ^ sing

dont l'intégrale est

tang^p

mg-p,

la constante étant déterminée par la condition que s est nul lorsque (3 = Pi. Si l'on élimine p entre ces deux équaiions, on obtient s en fonction de p :

$ , Vi + sinS.E li +V' — sinS.E li , >.

K ^ "^ , ^^r^ ^^^„ ^ ^^^ - los lang - p,.

V I + sin j3, E"K~~ V 1 — sinp, E"^

Cette expression de j st; rapporte à une valeur quelconriuc du paramètre différentiel H.

Si -^ est nul, on a

j__ siu§. ^

Sa courbe est telle, que le rajon de courbure tangentielle est

égal à la normale ; on a -i^ = o, p est donc constant. La courbe

cherchée est la trajectoire coupant sous angle constant les rajons vecteurs géodésiques (.

158. 2" Les mêmes conditions étant données que dans le problème précédent^ trouver la courbe dont la courbure géodésigne est proportionnelle à la normale.