CHAPITRE I. — SVSTfeUIE DIBKCT DE COOHDONNfieS, ETC

On doit avoir la condition ~ = %7w-' K étaui une constante.

Il faut, dans l'intégrale qui se rapporte à h remarque a" du n" 156, faire

dii on a donc, en appelant c^ la constante de l'intégration,

Si l'on remplace cot[3 par sa valeur, on obtient

qui est l'équation différentielle de la courbe.

Sphère. — Dans le cas de la sphère et dans le système de coordonnées employées au n" 145, i'équation d

sin T \/c'a'l'-'"sin"l'-'"T d, = -

sin'Tv/c'ft'''-'"(i+ co^T)" — (I -f-cot'r) "Si K = i,

lang-

s, v'c' — I étant la constante introduite par l'intégration: c'est la loxodromie (n" 90, 3°).

2" Si K — 2,

-di

*1LIJ dépend dos l'onciions elliptiques, à moins (jue la eon-

236 LIVRE m, — DES COORDONNÉES «iÉODÈSIQ'JES.

Htanle e' ne soil égale à « : on obtient alors

(£, — s) = logtang^/^

K est le nombre dont le logarithme népérien est i .

1S9. Problème VÏ. — Étant donnée l'équation naturelle d'une

ds courbe -y- = P, P étant une fonction de e, trouver l'équation

de cette courbe entre les deux variables t et e, les rayons géodésiqufs t étant comptés sur la surface à partir d'un point fixe, H ne dépendant que de t.

Remarquons que la deuxième et la quatrième des équations (i) du n" Hl peuvent s'écrire sous la forme

Si l'on différentie la première de ces équations, et qu'on élimine ^ du résultat ainsi que de la deoxième des équations (i), on obtient

P'rfe'

.rfûi ITP / dv de~ H V ' V'de''

L'équation différentiel le de la courbe s'obtiendra donc en substituant ces valeurs dans la relation dùi=zde ~ d^; cette équation différentielle est

d l dt \ H'P/ df \ f df

'' ' deXPde) H V P'rfeV"^V' PV^'""'

O'est une chose remarquable que, dans le cas où la surface est telle, que H, paramètre différenliel du premier ordre, no dé-