CHAPITRE I. — SÏSTÈMH DIRECT »E COORDONNÉES, ETC. aSg
première des équations (i) donnera p en fonction de e, el la seconde, u en fonction de la même variable; enfin l'équaiion rfw = de, cosT donnera £ en fonction de e, el comme l'on connaît T en fonction de la même variable, les deux équations de la courbe seront
L'équation (3) peut s'écrire
</ / . dx \ ijj'cosT . / d'dT''
de \ ' 'Yde) a y ~y''de''
J!)2. 5." Étant donné -r — - -J— ^ — ' trouver l'Équation de la de cosT '
courbe entre t et e.
(i) ' cose^ cos(3cosw — sinpcosw,
\ sine ^ sin(3cosw -I- cos(3sinM:
donc
I </scosecosT=: «(^(sinTCOsw),
I (/isinecosr ^«cffsinTsinM);
donc en remplaçant ds par sa valeur, on trouve rtsinTCOSw-— j coset\i'[e)de, iisinTsinw ■- j s'me'\i'{e)de; élevant au carré, el ajoutant, on obtient
fl=5in=T'^| fcose'y{e)de\ -\-ï j iine<y{e]de\, fsme-Y{e)de / c.ose'^''{e)de
2^0 l.iVllE III, — DES COORDONNÉES GÉODÉSIQUES
OU a donc t et w en fonction de e; de plus
On a donc aussi s en f'onciion fie e, ce qui est tii solution du problème.
163. Problème VI!I. — Étant donné le rayon de courbure tan^entieile par une équation différentielle linéaire de la firme
I„ „H'P^,,.,;f^(H'P, + ».|,(HT|+.,^=,„,
dam laquelle ut, lUi, m,... sont des coiulanles, déterminer la courbe entre les variables p et s, p étant un rayon vecteur géodésique perpendiculaire à la développante d'une courbe, et compté à partir de cette développante, et H ne dépendant que de p.
Posons, pour abréger. H' P =^/ et intégrons par parties successivemeni la première et la seconde des équations (a) du n" 160, qui ont encore lieu dans le cas acr.ucl, on ohiient
Hcos&)~.- ïycQsede,
\ H cos&i:=jsine ~- i -j- sine^/c,
Itt . dy fd'v ,
H C05f.i--- rsine + -f cose — I ~~cosede, ' ■ de J de'
[dr dH'- d^r , , — , (/"'+y'"|
HsiiiM := lysineile,
i ff/v
\ IIsiiiM - — rcosfi+ / -~ coaede,
]'Hs\nr„ r- —j-cose ■+■ -f- sine — t ~.~ s'mede,
„ . . Vdr rfv / / \2„d'-+'Y']
r dW , I- — ■\î„rf'"r'!
-h COse\ ~r-\--j— —■. ..-\-{— V—ij -TT-
Cela posé, si l'on considère successivement les équations qui renfermeni cosc sous le signe intégral, ei que l'on multiplie ces équations respectivement par m, m„ — m,, — m, et ainsi de suite, et qu'on ajoute, on aura une relation indépendante de toute ligne intégrale par suite de l'équation (i). Cette relation sera de la forme
(4) H[McosM + Nsinw) — Xcose + Vsine,
M, N étant des constantes, et X et V des fonctions de y et do ses dérivées. En opérant de même sur les équations [2) et (3) qui renferment sine sous le signe intégral, l'on aura, par suite de l'équation (1), la relation
(5) H(Msinw-NcoswJ = Xsine — Ycose.
Remarquons que X et Y sont des fonctions de e données par l'iniégrale de l'équation (1) ; si l'on pose, pour abréger,
ii = '"■'"••
ces équations deviennent
l Hcos((o — wo) = v''M'+^(Xcose-;-Vsin<;),
f Hsin(M — w.)=\/MMn^{Xsine~ Ycose).
En élevanl nu carré, et ajoutant, on obtient
11'=. (M=+,SyiX=-4-Y-'),
yGoosle
742 LIVRE IH. — DES (iOORDONNÉES CÉODÉSIQDUS.
Cl, divisaiil l'un par l'autre,
., , Xcose 4-Ysine
Oi' H est une foncUon connue de p, on a donc p en fonction (le e; d'une autre part la seconde équation donne m en fonction de e, et par suite, à cause de la relation
(o est connu en fonction de e, ce qui est la solution complète du problème,
16^1'. Application: Trouver la courbe, telle, que
(.) ^JWV):-M'V.
On déduit des équations (4) ot {5} du n" 103 les dcus relations suivantes
( mHcosw — II sinu = — IT'Pcose, ''' i mHsinM-)-HcosM = H'P5ine.
L'intégration de l'équation (i) donne
E étant le nombre dont le logarithme népérien est i, et me„ la constante introduite par l'intégration.
H et, par suite. H' sont connus en fonction de /); de là résulte que l'on a, si l'on pose m = tangwi.
COS Ui, ^ C0S[6).- ÙJ)
on en déduit
lang(M„— r.i)^ — cote;
CIIAPITRU I. — SYSTÈME DIRECT 1>E COORDONNÉES, lîTC. 343
la première équation l'ait connaître p, et la seconde w en fonction de e.
L'équation
rf£ — Wd;)
fera connaître s en fonction de e, ce qui est la solution complète du problème.
1] faut ici remarquer que la fonction H, qui change d'une surface à l'autre, imprime un caractère spécial à chaque courbe correspondante à chaque surface; mais ces courbes ont un caractère général qui existe pour toutes les surfaces.
J65. Problème IX. — Etant donné -j- =^f{p], ei II ne dépendant que de p, trouver les éléments de la courbe.
Si l'on porte la valeur deP dans la formule ( i a' ) du n" 14S, et qu'on intègre, on aura
I rildp
Si l'on porte celte valeur de sinji dans l'cqualion
sin(3 Hrf£ cos[3 ~ dp
ffdfi
ftp)
dans laquelle les variables sont séparées. L'équation de 1 courbe sera donc, e„ étant une constante arbitraire.
rsdp
J fl p)
sf-iim
l'noBLftjii;. — Étant donné ds^f'(p)dp, lro< 'léments de la courbe.
a44 IIVRE Itl- — DES COORDOHNËES GËODËSIQUES.
D'après réqualioli (5) dun" IM, on obtient
qui est l'équation différentielle de la courbe.
Application aux courbes sphébiques ; i" Èlant ■-j-=:f{x], trouver les éléments de lacourhe.
La formule (i^) du n" JiS donne
/sinr^T . „ .
— fi ~ \ ~ — smpsmT,
. ^ I Tsinr^T
sinp = ^ -T . . — . - ;
or la quatrième des équations (i) du n" IM devient
, rfrsinS
(h - -. — ~J^ i sinr cosp
on aura donc, en éliminant ^ entre cette équation et la précédente,
d-: rslnrdT
Q." Étant donné ds=f'(t)dt, trouver les éléments de la courbe.
En portant cette valeur dans l'cqualion (5) du même numéro, on trouve
dr[a^—f(az]''] = a's'm'rdî',
sinT qui est l'équaiion différentielle de la courbe.
3° Étant donné rfï=/'(6)rfs, trouver tous les éléments de
CdAPITRK I. — SÏSTÈMK DIKECÎ l>E COORDONNÉES, E'I'C. '1^5
On a, d'après la formule (5),
[/'{iY - a'sm'z]di' = a'dx,
qui est l'équation différentielle de la courbe-
4" Étanl donné ds=^f{'>i)dr.i.
On a, d'après les équations [3) et (5),
/"(ûi) rfw' = a'ilans'zda,' + dr'),
qui ost une relation entre t et w, et ensuite l'équation (3] fait connaître une relation entre t et e.
i COORDONNÉliS GfiODftSI()IIES.
