CHAPITRE IL

SYSTÈMES DE COOnDONNfiKS RfBUI.TAN'rS,

!; l, — ■ Phewier sïstëhe. — Courbes kapporiéës * plcsjiîurs

R.IÏOKS YECTEUBS GÉODÉSIQUKS.

166. PnoBLËUE X. — Soient p,, p,,- ■ -, Pm les rayons vecteurs géodésiques menés d'un point M d'une courbe s normalement à n courbes données, ces courbes étant situées sur une surface; si ces rayons satisfont à la relation

a étant une constante, le point M décrit une courbe dont on demande les éléments.

Tangente. ~— Si l'on différentie l'équaiion F par rapport Wds, et qu'on élimine les dp au moyen de la deuxième des équations (i) du n" lil, on aura

de là résulte la oonstrucUon suivante : Si à partir d'an point pris sur la courbe et dans la direction du premier élément de chaque rayon vecteur géodésique, l'on prend des longueurs proportionnelles aux —r- correspondants à ces rayons, le centre de gravité des extrémités sera sur la normale à la courbe située dans le plan tangent.

Rayon de courbure. — Différentions l'équation précédente, cl éliminons les dp comme précédemment, et les dp au moyen des équations contenues dans le type (9) du n° IkZ,

S:ï?'-^-S?-Ki

CflAl'ITHE II. — SYSTÈMES RÉSULTANTS. 0.47

équation qui donne la construction, par la proportion harmonique, du rayon de courbure de la courbe ds.

Celte analyse comprend évidemment le cas où quelquesunes des courbes données se réduiraient à des points.

1(i7. Applications. — ("Soit

A, Ai • . . ctani des constantes.

L'équation {2) relative à la tangente doi

Acos^^o,

ce qui indique que la normale à la courbe dans le plan tangent passe par le centre de gravité des extrémités des lignes telles que A, L'équation relative au rayon de courbure donne

soit

MI, = A, sin [3„ Ml, == A^ sin j3„ . . .

et

MO =y A sin [3;

on a donc