MO ML ML ML

P """"■ N, "^ N, "^ Nj '^■"'

équation de laquelle résulte la construction du rayon de courbure P.

.a" Soit

ou, ce qui est la même chose, en posant <]> =; logF,

i]j ^\ logp = ma;

les équations précédentes deviennent

VI cos[S Y <^c^'P V *i"P ( ' L\

^48 T.IVRE HT. — DES COOIlrOKNÉES GÉODÉSIQLIIÎS.

La première équalioii indique que si l'on développe les rajons vecteurs géodésiques p dans le plan langent a partir du point M, et dans la direction du premier élément de chaque rayon, et que par les extrémités on élève des perpendiculaires qui interceptent sur ja tangente des segments tels que ME|, ME,,,.,, et sur la normale des segments tels que Ml, Mlî, . . ,, on obtient

168. Conique géodésîque. — Si le nombre des courbes se réduit à deux dans la première application, et que les coefficients A soient égaux à l'iuiité, on a

P' + /'' ^ «■ L'équation de la tangente est donnée par

COS p, -H COS |3s — O, ps +■ [3| :^ I[ ;

la bissectrice des deux rajons est la normale dans lo plan tangent.

L'équation du rayon de courbure devient

Psinj3""H, H;

et l'on voit que si l'on appelle 31i la longueur de la normale située dans le plan langent, et terminée à la base du triangle dont les côtés sont R,, fis, on obtient

ce qui donne, pour la conique géodésiquc, un théorème analogue à celui de Newton, et duquel résulte une construction élégante du rayon de courbure P.

169. Coniques géoéésiques hnmofocales. — Supposons que les deux courbes sont deux points invariables sur la surface; les deux coniques pour lesquelles on aura

ClIAPlTHIi 11. — SÏSTfcllliB KÉSUI.TAMS. ?.4<(

a pouvant prendre toutes les valeurs possibles, sont dites homofocales. Considérons les deux coniques homofocales

Soit un point M pris sur l'ellipse géodésique; du point F, avec un rayon géodésique égal à t, décrivons une trajectoire orthogonale des arcs géodésiques menés de ce point, et du point F', avec un rayon géodésique égal à t, décrivons une trajectoire orthogonale des arcs géodésiques menés du point F' ; si l'on appelle A et B les points où l'arc géodésique FM coupe la première trajectoire orthogonale, et A', B' les poînis où l'arc géodésique F'M coupe la seconde, en supposant que la première trajectoire contienne la seconde, l'on a

MA = / - FM, MB = ( -I- FM, MA'=F'M-i', MB' = FM + /'; or, suivant que l'on aura l'un des quatre cas,

MA^MA', MA=:MB', M1Î = MA', MI{=:M1S', l'on obtiendra l'une des quatre relations correspondantes

/ + r=FM+F'M, I -/' = F'M + FM,

(4-i:':^TF'M-FM, ;-/' = F'M — FM;

de là on conclut ;

1° Que si des trajectoires orthogonales sont décrites des points F eiF'commecenlresavec des rayons satisfaisant à l'une des deux conditions t-i~i'=ik, t — ï'=:±2/r, l'on aura l'ellipse géodésique a/c, qui sera le lieu des centres des trajectoires orthogonales tangentes à ces deus trajectoires. On voit qu'il y a une infinité de couples de trajectoires orthogonales décrites des points F et F' comme centres, telles que l'ellipse géodésique a/f soit le lieu des centres des trajectoires orthogonales tangentes à un couple. Quand on fait varier l depuis zéro jusqu'à aA-, i' varie depuis a/r jusqu'à zéro, et quand on fait variera depuis 2/f jusqu'à l'infini, t varie depuis néro jusqu'à l'infini, Cl il eu est de même lorsqu'on fait varier /' depuis 5,/)' jusqu'à l'inliiit.

;'." Que SI d(Uix iriijcci.oirc.'i niitHii;on:ilo!s soiil di-criles des

aSo LIVRE III. — DES COOnSONNËES GËODËSIQUES.

poînls F et F' comme centres avec des rayons satisfaisant à l'une des conditions ( -i-i' = a/r', ( — t' ^dznk', le lieu des centres des trajectoires orthogonales tangentes à ces deui trajectoires est l'iijperbole a/*'. H y a une infinité de couples de trajectoires ortliogonales décrites des points F et F', telles que le lieu des centres des trajectoires orthogonales qu^ sont tangentes à un couple donne l'hyperbole 2 /f'. Si ( varie depuis zéro jusqu'à %lf', t' varie depuis i/f' jusqu'à zéro; si ( varie depuis ik' jusqu'à l'infini, f varie depuis zéro jusqu'à l'infini, ou bien inversement si t' varie depuis a/f' jusqu'à l'infini, i varie depuis zéro jusqu'à l'infini.

On conclut aussi de ce que nous venons de dire, qiie si deux trajectoires orthogonales sont décrites des points F et F' comme centres avec des rayons donnés, il y a toujours deux coniques géodésiques qui sont les lieux des centres des trajectoires tangentes aux deux trajectoires données; si ces deux trajectoires ne se coupent pas, ces deux coniques sont deux ellipses ou deux hyperboles; si ces deux trajectoires se coupent, ces deux coniques sont une ellipse et une hyperbole. Dans les deux cas, l'une des coniques se rapporte à deux contacts de même nom, et l'autre à des contacts de noms différents.

170. Généralisaiion. ~ Supposons que le système des coordonnées soit l'ensemble de deux séries de rayons géodésiques menés normalement à deux courbes directrices G et G tracées sur la surface. Si « et n' sont deux rayons géodésiques coordonnés du point M, les équations des deux lignes bissectrices de l'angle du système, tracées sur la surface, seront comme précédemment

si l'on considère les courbes D et D', développées par arcs normaux géodésiques des deux courbes données C et C, l'on voit que l'une des deux bissectrices sera engendrée mécaniquement par un stylet qui, en se mouvant, tiendrait tendu et appliqué sur la surface un fil dont les deux extrémités seraient fixées sur les deux courbes D et D', sur lesquelles le fil s'envelopperait ou se développerait. Toutes les conclusions du

CHAl'IIRE II. — SYSTÈMES RÉSULTANTS. 25l

numéro précédent auraient leurs analogues dans la question actuelle; seulement, les irajecloîres orthogonales des rayons géodésiques, tels que « et n', seraient des développantes par rayons géodésiques des courbes D et D', et les courbes

n-(-«' = afr, n — n'^ak

seraient les lieux des centres des trajectoires orthogonales enveloppant un couple de deux développantes, ces diverses trajectoires coupant orlhogonalemenl tous les rayons géodésiques menés de ces centres.

171. Des ligne.sde courbure ellipsoïdales considérées comme des coniques géodésiques.

Théohëhe. — Les lignes de courbure ellipsoïdales sont des coniques géodésiques par rapport à deux ombilics et, plus généralement, par rapport à deux arcs d'une même ligne de courbure.

Prenons pour lignes coordonnées les deux séries de lignes géodésiques que l'on peut mener des différents points de l'ellipsoïde tangentiellement à une même ligne de courbure. Les deus courbes bissectrices des angles de ce système de coordonnées sont les lignes de courbure de la série fi et de la série v, d'après ce qui a été dit; donc tous les théorèmes démontrés dans les deux numéros précédents s'appliquent aux deux lignes de courbure p et v, relativement aux deux arcs géodésiques menés d'un de leurs points normalement aux deux développantes géodésiques d'une même ligne de courbure, inversement placées.

Étudions en particulier les propriétés des lignes de courbure ellipsoïdales par rapport aux arcs géodésiques menés des ombilics.

Soient les quatre ombilics F, F'; F,, F",, les deux premiers étant symétriques des deux autres par rapport au grand axe de l'ellipsoïde, les arcs géodésiques FF', FiF, sont les lignes de courbure limites de la série p, et les arcs géodésiques FF,, F F", les lignes de courbure limites de la série v ; soient J et Ji les milieux des arcs géodésiques FF,, F, F, , et I, l' les milieux des arcs FF,, F' F',; si l'on considère un point M situé sur une

352 LIVRE 111. — DES COORDONNÉES UÉOBÉSrQlJlîS.

ligne tle courbure p., l'on aura pour tous les poinls de celte ligne ;

i" La somme des arcs géodésiques menés du point M aux deux ombilics F, F' symétriques par rapport à l'un des axes, égale à une constante :

F'M + FM^-aJA;

2" La somme des arcs géodésiques menés du point M aux

deux ombilics opposés F,, F', égale à une constante :

r,M + F'M— aLA;

3° La différence de deux arcs géodésiques menés du point M

aux deux ombilics symétriques par rapport à l'autre axe, égale

à une constante, ce qui donne

F,M-FM = 3lA, F',M~F'M = 2l'A'; 4° La somme de deux arcs géodésiques menés du point M à deux ombilics symétriques par rapport au centre de l'ellipsoïde, égale à une constante, ce qui donne FM + F',M = Jl' + rJ„

el par conséquent le plus court chemin d'un ombilic à une autre symétrique par rapport au centre, a une direction quelconque;

5° L'arc géodésique mené d'un point M à l'un des deux ombilics F ou F' est la somme ou la différence des deux demiaxes géodésiques de la ligne de courbure p et de la ligne de courbure y, ce qui donne

MF' r^ JB -H JA, MF - JA — Jlî.

Les mêmes propriétés ont lieu pour une ligne de courbure de la série v.

Il résulte de ce qui précède, ce théorème dû à M. M, Koberts, et qui est l'un des plus élégants de la Géométrie des surfaces du second ordre :

Si deux ombilics sont intérieurs ou extérieurs à une ligne de courbure, lasomme des rayons géodésiques menés d'un des points de cette ligne à ces deux ombilics est constante, et si les deux ombilics sont, l'un intérieur, l'autre extérieiir, la différence des rayons géodésitjnes est constante.

CHAPITBE II, — SYSTÈMES nfSULTANTS. 253

On liéddit avec la même facilité de l'analyse préccdenle ce théorème dû à M. Chasles:

Si un fil de longueur conitante est fixé par ses deux extrémités en deux points d'une ligne de courbure, te stylet qui, en se mouvant, maintient ce fil tendu et appliqué sur la surface de l'ellipsoïde et l'oblige à s'envelopper sur la courbe et à s'y développer, décrit une ligne de courbure.

172, PiioBLimB XI. — Trouver, sur une surface, la courbe telle, qu'un point M situé sur la circonférence se meuve d'un mouvement uniformément accéléré pendant qu'il est soumis à l'action de plusieurs forces fonctions de rayons vecteurs géodésiques p„ p„. . ., pn, normaux à des courbes, ces forces agissant suivant le premier élément de ces rayons à partir du point M,

Soit (,) Fip„p„...,iJ.)

la fonction des forces, c'est-à-dire une fonction lelie, que la force qui agit suivant rélcmeni de^i soit la dérivée par rapport à p, de F, ei ainsi de suite. L'équation de condition,

a étant une constante, est

Si l'on remplace les cosj3 par leurs valeurs tirées de la deuxième des équations(i) du n° 141, ona, après intégration, (4) V(p„p„...,p„) = ma(s-s,],

as, étant la constante de l'intégration.

Si l'on différentie l'équation (2) et qu'on élimine les dp m les dp, comme on l'a fait au n" 166, on trouve l'équation ( 3 ) de ce numéro :

La construction de la tangente à la courbe se déduit de l'équation (2}. Du point M, et dans la direction du premier élément géodésique de chaque rayon p, prenez des longueurs

(lÈS COOHWONNÉKS CiÉODfiSIQLES.

extrémités; du point M décrivez une circonférence de cevcie avec un rayon égal à A, du centre de gravité menez une tangente à ce cercle, et du point M, un rajon au point de contact. Ce rayon est la tangente à la courbe. Il semblerait qu'il y a deux solutions, mais le signe de a détermine celle des deux qu'il faut choisir.

L'équalion (S) donne, comme précédemment, le rayon de courbure géodésîque.

L'équation (4) montre que la rectification de la courbe ne dépend que de la rectification d'une ligne géodésique p.

i73. Remarques. — i" L'équation (a) est une des données de la question; or, la fonction F des forces existe lorsque chaque dérivée -T- ne dépend que de p correspondant. Ainsi la

solution du problème précédent se rapporte au cas où le point M est soumis, suivant le premier élément de chaque rayon vecteur géodésique, à l'action d'une force fonction de la longueur de ce rayon.

2" La fonction F des forces existe encore lorsque tes forces

-p sont constantes. Ce cas se présente lorsque, les rayons

géodésiques se réduisant à deux, la courbe ds réfléchit un rayon vecteur géodésique, de telle sorte que l'angle d'incidence égale l'angle de réflexion, ou bien lorsqu'elle le réfracte de telle sorte que le sinus de l'angle de réfraction soit dans un rapport constant avec le sinus de l'angle d'incidence. Il en résulte des courbes qu'on peut appeler caustiques géodesiques par réflexion et par réfraction,

3° Les trajectoires qui se rapportent au premier cas, et les courbes réfléchissantes ou réfringentes qui se rapportent au second, jouissent de cette propriété que la normale dans le plan tangent et leur rayon de courbure géodésique peuvent se construire par la règle seulement, et que leur rectification ne dépend que de la rectification de la ligne géodésique et des développées géodésiques des courbes données.

4" Si les courbes se réduisent à des points, I.t trajectoire ou

CHAPITBH TF. — SïSTtHKS nfiSULTAMS. 255

la caustique seront telles, que leurs rcctiflcations ne dépendront que de la rectification de la ligne géodésique.

5" La rectification d'une conique géodésic|ue ne dépend que de la rectification de la ligne géodésique.

Généralisation. — Les mêmes conditions étant données que danslen"i72, problème précédent, on cherche la courbe telle, que le point soumis à l'action des forces se meuve d'un mouvement qui ne dépend que de l'arc de la courbe décrite.

Celle condition entraîne l'équation, dt étant i'é temps,

tSe là résulte que l'on a

L'équatloo (4) devient 14) Wip,p,...p,}^^!,};

on a aussi

Il est facile de tirer de ces équations des conclusions analogues aux précédentes.

§ II. — Deuxiëhe système. — Des coumbes conjuguées suivant

LEUnS RA¥0«S VECTËUKS GÉODÉSIQUES.

174.. Des courbes s„ Si, Si,..-, s„ situées sur une surface quelconque, sont dites conjugées suivant leurs rayons vecteurs géodésiques, lorsqu'une même ligne géodésique variable de position, mais constamment normale à une ligne développante d'une courbe da donnée sur la surface, est coupée par les premières courbes de telle sorte que les segments géodésiques /'i. /»!, ■■-, /*»!. comptés à partir de la développante dn jusqu'aux points d'intersection, satisfassent à une relation entre ces rayons telle que

(i) F (/»,,/)„.. ., /j„) = consi. — k.

256 LIYRB III. — DES COOBBONNÉES GÉ0DÉ9IQUES.

Les points déterminés sur cette ligne géodésique -par les différentes courbes sont dits conjugués.

PsoBLfiiiE XII. — Connaissant la loi d'après laquelle les m courbes sont conjuguées suivant leurs rayons vecteurs géodésiques, trouver la loi d'après laquelle : i" les tangentes à ces courbes, 2° les rayons de courbure tangentielle menés aux extrémités des rarons vecteurs, sont conjugués.

Si nous conservons pour chacune de ces courbes les notations employées pour la courbe ds au n" 141, et que nous différentions l'équation (i), nous aurons

or, si nous éliminons les rfp au moyen des équations analogues à la quatrième des équations (i) du n" 141, nous obtenons

le s!gne% s'étendanl à tous les indices depuis 1 jusqu'à m.

L'équation (2) fait connaître la loi d'après laquelle sont conjugués les angles j3 que la ligne géodésique fait avec les m courbes.

Remarquons que l'on a, n" 142, Ri=— i II' étant la dérivôe de H par rapport à un rayon vecteur/*; donc l'équation précédente s'écrit

Si l'on inlroduit les normales N (7) do 11^ li3, l'on a

yH'fs

<6j dp

Cette équation fait connaître la loi d'après laquelle sont conjuguées les normales aux m courbes, de telle sorte que si toutes les normales moins une sont connues, la dernière sera aussi connue. Cette loi se traduit par la proposition suivante :

CHAPITM II. — SYSTÈMES BÉSULTANTS. 267

TiiÉOHÈnir. — .S'( m courbes travées sur une surface soiil con>~ juguées suivant leurs rayons vecteurs d'après la loi (i), et qu'à partir de cimcune de ces courbes on prenne dans le plan tangent, et dans la direction du premier élément du rayon vecteur géodésique, des longueurs proportionnelles au produit

des dérivées —j—, -,—■, ■ ■ • i la somme algébrique des triangles

rectangles construits sur ces longueurs et les normales correspondantes est toujours nulle.

175. Loi des rayons de courbure tangentielle. — Remarquons que l'on a, t/e élant l'angle de contingence de dn,

^H^.^iy

Cela posé, si l'on différenlie l'équation (2) et qu'on élimine les dp, comme précédemment, et les d<^ au moyen des équations contenues dans le type ( 3 ), l'on aura

que l'on peut aussi écrire sous l'une des deux formes

l 'Vl -S- — =V!I — —

\Zj^ iW?i dp^ 2j dp dp

V ^ d !„ dn s;' .âfan

^ dp ZjSin'p dp\ dp j

Z4 dp\ dp } Z^ ^ dp dt

Ces formules font coonallre la loi d'après laquelle sont conjugués les rayons de courbure tan§entie!le des m courbes.

358 HVlilî 111. -■ DES fiOOllUOKNfiliS GÊODÉSIQUIiS.

Remarquons ;

i" La généralité de ces formules: bien qu'elles se rapportent à une surface quelconque, elles sont presque aussi simples que celles qui se rapportent à un plan;

2° Si le paramètre différentiel H ne dépend que de p. les termes renfermés dans la dernière somme disparaissent;

3" Si la surface est une sphère et dn un point, H est égal à sinr, [p^^az], et l'on a, d'après la formule (4")i

Y sin'T ^^Y Zpsin'p dz ^âZ

dV\

sin'p dr

rfF\

4° Si enfin il s'agissait d'un plan dans lequel la courbe cin s réduirail à un point, H serait égal à p, et l'on aurait

ZiPsin"|3 ZiSln'^rf;;V

'jH"!^)

Transformalion géométrique des formules précédentes. — Considérons une des m courbes ds [fig- 16}, Soit v le point où

la perpendiculaire à restrémilé de la normale N rencontre la droite menée dans le plan tangent suivant la direction du premier élément du rayon vecteur géodésiqueaupoiniMdecette courbe; soit I la projection sur Mv du centre de courbure langeniielle C, et Mi une troisième proporiionnelle n MN oi

Oll.VMTBK [l. -- SYSTÈMES BfiSUl.TA

Ml; soil U la |)rojection de N sur Mv, l'on a

Psinp siti';5

la pi'piiiièrt! des formules (4) devient

les termes correspondants des deux premières sommes pouvant se réduire, l'on a

d l„dY\ V r,dYd\l

cotp^

L'une ou l'autre de ces formules permettra de construire géolnétFiciuement le segment Mt de la m'^' courbe lorsque les autres courbes seront connues; et, du segment Mt, résultera le centre de courbure tangentielle de cette m"'"' courbe.

§ II. — Des FOR.iiiis de l* fonction* V.

ne. Apri.icAT[0Ns. — I. Soient Al, Aj, Aï,,,., des constantes, ei

^p ap p-

L'équation ( i ) prend les deux formes suivantes, dans la dei'nière desquelles S„ est la sous-normale (n" 14.2) :