SI
et, d'une autre part, si l'on projette successivement le centre de courbure de ds sur la direction du rayon vecteur, cette projection sur la direction de la normale, et cette dernière projection sur la direction du rayon vecteur, en appelant ^ la distancé de celte troisième projection au point de la courbe
correspondante, la formule (4)devient, en remplaçant K par =t-)
Ces deux formules montrent que les langentesT aux courbes et les troisièmes projections S des rayons de courbure satisfont à la loi des moyennes harmoniques, ce qui donne la construction, soit de la tangente, soit du rayon de courbure d'une courbe, lorsque les autres courbes sont connues.
3" Dans le cas d'une surface quelconque , si H ne dépend que de/>, et si toutes les courbes, moins une ds„, sont géodesiques, le rayon de courbure tangentielle de cette courbe sera donnée par la formule
A„ H,^ T V Atl= ' -I- cos'3 V AH=
pijSin^P™ P™ ^ ^/j'sin^P 11. Si V=y ,\/» = K,
yGoosle
CHAITCRE li. — aïSTÈMES RÉSULTANTS. 261
l'on obtient les formules suivantes, dans lesquelles S„ est la sous-normale:
yAH'l{cot[3=:o, yAH'S„ = û.
m. Si F^y ioH/> = K,
d'après cola, on obtie
Ir
V H- h J-i-cos^S\ V o <^1^ VH'
On réalise l'hypothèse \ kp =; K, dans le c
Ces formules donnent la construction géométrique d'une tangente ou d'un rayon de courbure géodésique, quand on connaît toutes les courbes moins une.
Elles sont susceptibles de nombreuses applications, parmi lesquelles se trouve la transformation des figures par rayons vecteurs géodésîques réciproques.
Il la courbe du
se réduit à un point, et les coefficients A sont égaux à i. On suppose m poulies infiniment petites fixées l'une à l'origine, les autres aux m — i courbes de manière à pouvoir les parcourir; un fil de longueur constante, attaché par une de ses extrémités à l'origine et tendu sur la surface, s'engorge sur la poulie placée sur la première courbe, pour revenir s'engorger sur la poulie placée à l'origine, puis il va s'engorger sur la deuxième poulie, et revient s'engorger sur la poulie placée à l'origine, et ainsi de suite; l'extrémité du fil décrit la dernière courbe, si toutes les poulies sont assujetties à se trouver constamment sur le même rayon géodésique.
