ja LIÏHK m. -- ■ DES COORnONNÉES ÛÉOCÉSIQUF

logarithmes népériens. — L'équalion (i4) donne

«tangr = t'E'^-^*"',

qui est l'équalion de ta courbe proposée dans le système inverse de coordonnées tangenti elles. Eliminant les exponentielles entre ces deux équations, on obtient, en remplaçant II-

, cIt ,.. .

par sa valeur — « -r-t I équation suivante

SHITCOS't

Si l'on posi^ X —. langT, cette équation s'écvii sous la l'orme , dx xrlx

dont l'intégrale est, mt„ étant !a constante d'intégration,

<n ( E - s.) =: - log {^~ + y ' + ^) + f'^'^^'-

On a donc, en remplaçant se par sa valeur ci en passant aux exponentielles,

Si, dans cette équation, on remplace ai: par sa valeur a-,, — ^ m obtient

dont la différentielle par rapport à u sera l'équation naturelle de la développée de la courbe.

183. PnoiiLÈME ill, — Trouver les développées successives par rayons vecteurs géodésîques d'une ligne donnée.

ClIAPITHTi ill. — SÏSIfiMË INÏliRSI!. 2^1

Nous conservons la même notation que dans le n" 181, avec celle différence, que nous représentons par les mêmes lettres les éléments des développées successives, analogues à ceux de ia courbe donnée, ces lettres étant marquées de l'indice i , 2, . , , , suivant qu'il s'agit d'une développée première, d'une développée de développée ou développée seconde, et ainsi de suite. D'après cela, on aura cette série d'équations :

(l) S,-hlT:=l}, Si-4-i| = fi , î, -h ï„. ;- 6„„„

dans lesquelles l>, b,,. . ., è„ sont des constantes ;

de=R'[t,e,)de„

, . \ de.=W,{t^,eAde„ (2j ' .,

; dh := H(ï, et)de„ .,> 1 dk.^R.{t<,e,)f/e„ ' ' I '

, P, rrAH BH'P',

Relations résultantes. — Hes équations (2) on dédiiil

(5) de--n'B\E\...ïï„^^de.,.

Si l'on différeniie par rapport à e, la première des équations (4). et qu'on substitue dans la deuxième de la même .série, on obtient

Si l'on différentie celte dernière par rapport à e„ et qu'01 substitue dans la troisième de la série (4), on aura

p. = a. + i,,ïï;|-[a, + b,h'^(a.

ainsi de sui