LIVRE III. — DES COOBDOHWÉES GÉODÉSIQUES

On peut, a raison de l'équalion (5), écrire cetie dernièi sous la forme suivante :

On a donc généralement le rayon de courbure langentielle de la développée n""* en l'onction du rayon de courbure tangentielle de la courbe ds et des dérivées par rapport à e de ces rayons.

Les équations (4) ont été obtenues par la dérivation par rapport à «, ei, es,.. . des équations

(7) p-iT' •'■-ît;'--' ^--w;:

Cas oà les H„ Hj, . . ., H„ ne dépendent que de l,, t„. . ,, t„. — Les valeurs de A,, A„ . . . , A„ sont nulles, et celles de B,, B„ . . . , Bn sont données par les relations

' k-^3i\w)- K.-^dT\ïrj

il /H.

L'équalion (â) se simplifie et devient

' de \ deJX

qu'il est facile de généraliser.

Supposons qu'on veuille exprimer le second membre de cette dernière équation en fonction de t, on exprimera (, en fonction de l et de ses dérivées par rapport a e, en portant les valeurs de P et de Pi tirées des équations (7) dans la première des équations (4), dans laquelle A est nul ; on obtient ainsi

ui donne t, en fonction de t et de ses deux dérivées par rapport e; on obtiendra de ta même manière li en fonction de l, et

cii-iPiTRi! m. — svsTîiME iNViîRSE. ■y.-i'S

iJe ses dérivées par rapport à e, en opc-rani sur les deux équalioiiy suivantes, on aura donc t, en fonction de t et de ses dérivées premières en secondes par rapport à e, el ainsi de soile.

ISt. Première iPPi.icATion : Des développées successives (surface sp hé rique). — Si l'on applique les formules précédentes à la sphère, on obtieJil

1 «7-1- fî>,de, = l>, aT,+ fi>.^fle. = l>

j «T,-. -(- fl\de„^k,r.

I de^=C0S7de„ de, = C0S7,de„. . .,' { de„i =^ cosT,irfe„;

l.-dh—:as.mT:de^, dh,=:asim:,de-,,. .

\ dli,,-\ ^«sinT„if/';„;

/ !'=rtt3ngT, P, = «tmigT ,

\ IV, = «langT„-,;

,-/,; = cosrcosTi cosT,...cosr„-,<fe;

[ iriî = ^cos'T, I1',B, = — COS'T,,....

(6) !■. = cosr cosr, cos'T. ^ [cos.cos-t, ^ (coS-T jî) ]■ Les formuies (4) peuvent aussi s'écrire sous la forme

1 — P, i.-rtCOST~. — Pi = «COST| -.— i- ■ ■)

Si l'on veut cxpiimei' I*,, P..,. . • ni fonriion de r et de ses de-

2^4 LIVRE III. — BES COORDONNÉES CÉODfiSIQUES.

rivées, on remarquera que la comparaison de la deuxième des formules (■]) avec la première des formules (4') donne

on en dédiiil la dérivée de r, par rapporta valeurs, on obiienl successivement

— P, ~ acosT-j^ j

et ainsi de suile.

185. Dbusièbk application : De la courbe sphériqiie dont le rayon de courbure tangentielle est proportionnel ù celui de sa développée par rayons vecteurs géodésiques.

L'équation de condition est P, := mP, m étant une constante. Si l'on remplace, dans cette équation, P par sa valeur lirée de la première des équations ('j ) n" 184, et P] par sa valeur tirée de la première des équations [4' ), l'on a l'une des deux équations différentielles suivantes :

(i —de--.m-' — — ■ dz,

' sin T

j , cosr ,

il] ~de,= m-' - — (/t.

L'iiucgralc de la seconde, en représentant par K une constante, est

E étant la base de logarithmes népériens. L'équation (3) est

l'équation de la courbe dans le système de coordonnées z, e,.

L'équation naturelle de la développée s'obtient en différen-

tiani l'équation [3) par rapport à e,, et en remplaçant a -j— par

)!oHi i'iiili'gi'ale est, on représentant par i',"' la consiaiife d'iiilôgialion,

ce qui donne la rcciificalion de la développée.

D'une auire part, on a, par suite de la première des équations (3),

(6) J.s = alŒ"-'-de,,

cl, en représentant par s„ une constante,

Des équations (5) ev (■7) on déduit la relation

Ainsi les arcs correspondants de la courbe et de sa développée sont les coordonnées d'une section conique rapportée à son centre et à ses axes.

]| est l'acile de vérifier que, lorsqu'on exprinje les rayons de courbure langeniielle P et P, en fonction de la même variable e„ et qu'on en prend le rapport, on trouve le nombre constant m.

L'équation (1) aurait conduit aux mêmes résultats, mais d'une manière un peu moins simple.

L'équation naturelle de la courbe s est donnée par la première des équations (4) mise sous la forme

"^ Pia' + Vy laquelle s'iutcgre immédiatement.

g m. — Dl'S ItfivnLOPPÉItS OBLIQUES l'AR KAÏONS VLGTniIRS OËODËSIQUES.

186. PnoBLÈHK IV. ~ Trouver la développée oblique par rayons vecteurs géodésiques d'une courbe donnée.

On appelle ainsi l'enveloppe d'un rayon vecteur géodésique t, coupant sous un angle constant une courbe située sur ia surface.

Les données sont les mêmes que dans le n" 179 avec la condition p =:consi,; il n'y a donc qu'à poser D infini dans les l'ormules de ce numéro.

Rayon, vecteur géodésique de l'enveloppe. — 11 est donné par les équations

(,) de.= W{l.t)dt. "Ijt;^ = !'»"?■

Rayon de courbure langenlielle de la développante de l'enveloppe. — On a la relation

On déduit les proportions suivantes ;

1° L'enveloppe des rayons vecteurs géodésiques est telle que, si l'on fait passer par le point considéré de la courbe ds, un arc de développante de l'enveloppe, le rayon de courbure tangentielle dé cette développante est la projection du rayon de courbure tangentielle de la courbe proposée ds.

1" Pour un même point m pris sur la courbe ds, le lieu des centres de courbure tangentielle des développantes passant par ce point, des diverses enveloppes que l'on obtient en donnant toutes les valeurs possibles à l'inclinaison (3 des rayons vecteurs géodésiques sur la courbe, est une circonférence de cercle.

Rectification. — Si l'on intègre l'équation {3), n" 17'J, on obtient, n, étant une constante,

(3) •7-c,^scos|S— (.

yGoosle

CHAl'lrllE 1[[. -— SÏSTiiMB INVKJiSK. 2^^

Celle équalion faii connallre l'arc r de l'enveloppe en fonciion de la variable e.

Baron de courbure langenlielle de la développée oblique. ~ On a les trois équations

si'

"?izr =

4 IIP'.

= Ii'!^<?i

Ntie ces équations, on obtieni