Ç ZZZ
en faisant \/rt^cos'a4-^^cos' p + r:^cos='7=r'
( ïao )
Il suit de là qu'en nomniant e Taugle que forme la direction de cette résultante avec la droite OE, on a
ces « s=: ces a cbs | -+-C08 p ces >i-f' ces 7 cos K y
ou
aff (û' cos' a + ^' ces» p+C cos» 7)^
cos 8 = ' ■ ■ ■ ■ î '
La résultante étant décomposée en deux autres forces y l'une suivant EO, égale à R cos e , ou à f^cr (a"" cos' a + J' cos * P + C cos * 7 ) , et l'autre perpendiculaire à j? O et égale à A sin e ^ si la résultante est dans le plan R OE , la composante R sin e perjjendiculaîre h OE sera aussi dans ce plan, et par conséquent dirigée suivant OR perpendiculaire à l'onde plane ; elle ne contribuera donc en rien à la propagation de cette onde , propagation dont la vitesse due à la seule force R cos e = fi ff (a' cos' a -f- ^* cos' P + c' cos' 7), sera
Va' cos' a-4-^« cos* P + c* cos» 7 ,
puisque les forces fia «', P<^^% F^c» produisent les vitesses aj b^ c^ "
Dans ce cas 9 en prenant
OSt=z V^' cos» a + ^' cos' p + c' cos' 7,
et élevant en S le plan SMT perpendiculaire à 06', et par conséquent parallèle à EOF, on aura la situation de Tonde plane EOF au bout de Funité de temps \ ce plan SMT sera donc tangent à la surface courbe cherchée.
Si M est le point de contact , et que les coordonnées de ce point soient x^y , z ^ en nommant pela les dérivées de z par rapport h x et k y j et W\à perpen-
( lai )
diculaire OS abaissée de Torigiiie O sur le plan tangent, perpendiculaire qae Fresnel désigne dans son Mémoire par la lettre i/, qui a pour valeur
z — px — qy
et qui forme avec les trois axes des angles 9 que nous représenterons par Ç , »] , ç , dont les cosinus sont
v/T+p+F' vAHh^M^' \A+7Hh?'
on aura
W^=z— — ^ — 521-L=fl«cos*a+ô'cos'p+c' 00527.
Il faut d^abord démontrer qu'il y a toigours deux directions , et qu'il n'y en a que deux à douucr à un plan EOS passant par la direction donnée OS^ pour que la résultante produite par le déplacement OE soit dans le plan EOS.
n faut pour cela que les trois droites 06' , O Ey ORj dont les angles avec les trois axes ont respectivement pour cosinus
cosa , cosp , COS7J
a^ cos a b^ cos p C cos 7 r^ r^ r^
soient toutes trois perpendiculaires à une même droite. Si nous représentons par X , ^ , v , les angles que cette
droite forme a? ec les trois axes , nous aurons , par le théorème de Lagrange ,
cou > :coftfA:co§v: :(B' — c')co»pcosv:(^' — a^)co&acosy
et comme la droite , dont les angles sont Ç , >] , ^ , est à la fols perpendiculaire sur cette droite , et sur celle dont les angles sont a , p y 7 , on a par le même théorème.
co« l : cos v} : CO8 C : : f (r> '— £i' ) cos* 7 — (a^ — b^) ces' p] cos a .
. [■(«»— ^'')co5>a— (A'— c')co8»7|cosp:[(Z»» — c»)cos'P — ( c'— a') cos' a ) I cos 7.
Mais les deux équations
lîT"" ta rt' 008' a 4- ^' <2«»^ P+ c' cos' 7 r I = cos' a + cos' p + cos' 7 donnent
If** — ««ssCc» — rt')cos'7 — (rt' — À') cos'p, W* — A*=(rt*— ^')cos«a — (^' — c')cos'7, //^ — r» = (i» — c>)cos'P — (c'— û') cos' a,
d\n\ il suit que
tHVi { : tHw « : oivs C :: ( IT*— ci») cosrt : (HF''— A»)cos B (tf^^^t*) C0S7;
«^ \HUUin(» «m pc'tti diviser les deux termes de chaque i>A|^)HUi |vir une m1^me quantité sans en changer la
' • If t — j» If î — 5» II* — ft
c^ est-à-dire
ou
celte équation donnera deux valeurs de TF"^, auxquelles répondront celles des cosinus des angles a , p, 7, compris entre la direction de l'oscillation et les trois axes 3 en mettant , au lieu de ces Ç , cos rj , cos C , leurs valeurs en p et en f , et en faisant pour abréger,
celles des trois cosinus cherchés deviendront
cos
^^- cosgV'i+/7'4^» £
cos^
D^TV^^b^) D(JV^—b^)'
COSÇV/l + p'+ÛF»
Les mêmes substitutions changeront l'équation en TP" en celle-ci
(l+pa^^2) ^4— [(^a-fca)pa4.(a2+C*)9>4.a'4.^»] ^»4-
mais
donc (z — px — 77)'+( ï 4-p'+?') (a-^'+^^'c'p'-j-a^c'ijr») = o.
Pour résoudre plus facilement Téquation
je fais
ce qui donne
B — (c> — ^=»)ûf' ^p^J^q^J^i) (b^c^p^+aU^q'+a^b^):=, ^ ^
— a»(c'— ^»)jr=»]:=^54-(c> — b^){a^—c^)p^q^^ ainsi
ce qui donne [-^df)
Telle est Téquation commune à tous les plans tangens.
§ II. Recherche de Véquation de la courte de tonde.
Soit xz=zx' ^l^—b^ , x=y^a^—c^j z=:z' ^a^—b\ et p' et <f les deux dérivées de z' par rapport à x* et ^, on aura
dz' \/a^ — b^'=p' dx' y/a^ — b^ +q'd/ Va^—b^,
ainsi p=- ^u— — :: ^ g=" . rr>
donc
Ces valeurs, substituées dans Téquatiou [^^j, donnent , en supprimant le facteur commun a^ — ft», celle-
ci [fi]
en faisant , pour abréger,
Il existe entre ces trois constantes une relation qu^on trouve ainsi
( ia6 )
c4-|-c» (ga — 6») — a» ^» — c44-c> (a»—*»; + a» 6»
Il faudrait faire les mêmes substitutions dans les deux équations qu'on obtiendrait en faisant varier alternativement p et ^ seulement^ mais comme p et ç ne dif- 'fèrent de p^ et de q^ que par des coëfficiens constans , on obtiendra plus facilement les mêmes équations en faisant varier p' et q^ seulement dans Téquation [S]. Si Ton fait ce calcul en supprimant les accens pour abréger ; sauf à remplacer ensuite
x,jr et z par /^ , -^ g^
^c^^b^ y/'à^IZ^ \/a^^b^ on aura
2{z^pX^qX)\ ^y/— J
OU
et
ou
on tire de ces valeurs
VelcT J
c'est- à-^ire
2 [Z—pX — qx)
Cp'+g'+i)(p'-hy')— ip'g V/(>+p' + g')' — 4p'g'
jgp»+V±
mais
en ajouunt cette équation à la précédente , il vient
Pour éliminer p eiq^ on déduit des valeurs que nous venons de trouver pour x , y, z
± = »: { -.- i+p'-gM
et Von en conclut
xy
pq 4{z px— yr)M x/el^
??— L__ / .,1^ g +gP'+g?' +*+ *P'— *y'
V/ëïcT
En syoutant ces trois équations , on a
4(2— px— 2r)H ./^ J
parce que k (g-^-h) — gh = i.
En réduisant au même dénominateur, et en se rappelant que
!i(z— pa:— </jr)'=g'p'4.A«/»-f*±: \/etc.
on trouve
MPI v^(,4.p.+ç.).4p.ç. •
Or
2 ( Z — px — qjr ) z^-px — qx
et par conséquent
^^•4- (/^^+gr ) ( qx+pjr )
z^px—qjr '
[ qu'on peut écrire ainsi
ï (ê:+A) p<i = ( ^'+r )pq+^f ( i+p'+7' ) ,
d'où
et
{zr-px) {X'^pz)^q^ xz
z — pX'^qy on a donc
( i3o) ou
xz p
y. j+qz= — ; : J{k^h)q±i tPLL, 1
et
if^—h)q px(j'+qz)+pyz ^ . ^
2 t z— /ix — ^j^ ) z-^px — qx
z-'px — qjr on a donc
OU
Maintenant il est bien aisé d'éliminer p et q^ en faisant , pour abréger ,
7(g-+A) — ^»— jr ^ I + 9^^+/?=» •^
on a
TqJtUp = ^,
( i3i ) d'où l'on tire
amsi
a à cause de Tg -{- Up = a ,
1^ + £r» — r» + rizr + 4 = o.
Or, comme k est plus petit que A et gr, on doit
écrire
XJ
on a donc
xy
[^'•r+\(h-ky] [z^.x'+{(g-k)] ix'-hor'-iig+h)]
ou
[x»+j'— i ( gr+ A ) ] 4- 4 x'j'«' = o ,
( i3a ) qu'où peut écrire ainsi
(x*-\-j-')+^xy*z'+(h-k')x'(z'-y')+(g-k)y'(z'- x')-
(ff+h)z^ix^+r')+\(h~kyx'+i(g-k)y'-'.(g+hyz'.
Les termes du sixième degré se détruisent , car il donnent
x^2^ — ^x^y^z^-^'X^j^^y^z^ — nx^j^z^-^x^y^ — x^z"" — 2 xyz"" — y^z^ — x^'z^ — y''z^+
x^z^'+^xy^z^'+y^z^ — xy^ — xy^+ 4 ^y^^^ =o
identiquement , il reste
} (h—k) (t^x^z"" — a ar'y' — x^z'^—y^z^-^x'^-^-xy^)^ {(gr— A:) (aj'^r' — '±xy — X^z^—J^z^+xy^-^y^y^
Kgr+A ) [gr+ h-h+h-s^kl z^+
iih-k)(g-k)(g+h) = o,
ou
i (h—k) (x'z^—xy—^'z'+x*') +
7 ig—^) (j'z'—xy—x'z^^i) +
î (ê'+A) (a:»it'4-j'z'4-:c>'+24)
i (A-A) s:a:'-i (g,;t) Aj'-i (S'+A) kà' +
c'est-à-dire ,
! i{h-.k)(g-^k)(g+h) = o, i qui se réduit à \ih-k)x4+';(s-k)y^+L^(g+h)z*+ '
\{h-k)(ig-k)(g+h) = o;
mais
doanent
(ca^3) (a'— c*) *
En substituant ces valeurs daus l'équation ci-dessus , eu y remplaçant x^ par -^ — -j- , j^' par ■ ^ " - ^ , z^ par
( î34) j^ j et en la multipliant par
elle devient
c'est-à-dire
équation qui est précisément celle qu'a donnée Fresnel.
§ IIP. Démonstration éCun Théorème dû à Fresnel^ et dont il s'est servi pour déterminer la vitesse de la lumière suii^ant les rayons vecteurs de la surface de l'onde. ,
Un des résultats les plus remarquables contenus ^dans le Mémoire de Fresnel , est une sorte de construction géométrique , par laquelle il rend indépendante de la considération des plans tangens la détermination de la surface de Fonde, en faisant dépendre les longueurs des deux rayons vecteurs , relatifs aux deux nappes de la surface , qui sont dirigés dans le même sens suivant une. même droite, seulement de la situation de cette droite. C^est , en effet , la manière la plus directe de^déterminer la surface de Tonde ; de donner une idée nette de sa forme ; et comme les longueurs de ces rayons vecteurs représentent réellement , ainsi que le démontre Fresnel , les vitesses de ce qu'on doit appeler les rayons de lumière suivant leurs directions , c'est à ces longueurs que se
rapporte la dëmoostration de la construction de Huygens , appliquée à toutes les sortes de milieux dont j'ai parlé au commencement de ce .Mémoire. J'ai cru qu'il pouvait être utile de présenter celte construction sous la forme d'un théorème , dans l'énoncé duquel on ne fit point entrer la considération des diverses élasticités du milieu , mais seulement les vitesses des rayons suivant les différentes droites passant par le point d'où l'on suppose qu'émane la lumière. Alors il suffit , pour traduire ce théorème dans le système de l'émission , de remplacer l'expression de longueurs proportionnelles aux vitesses de la lumière, suivant ces droites, par celles-ci ; longueurs réciproquement proportionnelles aux vitesses de la lumière, suivant les mêmes droites ; mais alors il faut commencer par rendre indépendante de la considération des élasticités la définition des trois directions que j'ai désignées jusqu'à présent sous le nom de directions des trois élasticités principales , et que Fresnel désigne ordinairement sous celui Haxes de la surface de Vélasticité. Pour cela , je rappellerai quelques faits qu'on peut regarder comme des données des expériences , et en particulier de celles de Fresnel sur la topaze. On sait que l'axe unique du cristal d'Islande , autour duquel tous les phénomènes lumineux sont exactement les mêmes dans tous les sens, présente ces deux propriétés, i^ que le rayon qui le parcourt a toujours la même vitesse , quel que soit son plan de polarisation -, 2^ que la lumière n'éprouve aucun changement de direction lorsqu'elle entre dans le cristal, ou en sort, par une face perpendiculaire à cet axe dans une direction qui soit elle-même perpen-
diculaire à cette face , et par conséquent parallèle à Taxe. On sait aussi que toute droite perpendiculaîre i cet axe n'offre que la dernière de ces deux propriétés , mais que le rayon qui la parcourt est réellement composé de deux rayons polarisés k angles droits dans des directions déterminées , dont les vitesses sont différenteft, puisque le rayon se divise en deux autres lorsqu'il sort du cristal par une face oblique, après avoir parcouru une de ces droites. Dans les ôristaux où les lois de la double réfraction sont plus compliquées , et qu'on désigne ordinairement sous le nom de cristaux à deux , axes optiques , ces deux propriétés ne sont jamais réunies pour un même axe , mais se présentent séparément dans deux espèces d^axes très-différentes l'une de l'autre.
La première propriété , celle de n'admettre qu'une seule vitesse dans tout rayon qui parcourt un axe de la première espèce , se retrouve seulement dans deux directions formant entre elles un angle variable. Ces deux directions sont ce qu'on nomme les axes optiques du cristal , et je continuerai à les désigner sous ce nom. La vitesse unique de la lumière dans chacun des axes optiques est la même pour tous deux ; c'est une quantité dont la considération est très - importante , et que je nommerai la vitesse moyenne ; je la désignerai par c. La seconde propriété n'existe pas pour ces axes , la lumière entrant dans le cristal ou en sortant par une face perpendiculaire à l'un d'eux dans une direction qui soit elle-même perpendiculaire à cette face, et par conséquent parallèle à Taxe , se divise constamment en deux rayons polarisés à angles droits. On peut voir ^
dans le Mémoire de Fresnel , la cause de cette division d^nn rayon qui semble unique , parce que les deux rayons dont il est réeliemeut composé ont la même vitesse , et ne diffèrent que parce quMls sont polarisés suivant deux plans difierens ; mais cette seconde propriété que le cristal d'Islande présente, et pour son axe, et pour tonte droite perpendiculaire à cet axe , a lieu pour les cristaux à deux axes optiques dans trois directions rectangulaires entre elles , qui sont celles des trois axes de la surface d'élasticité de Fresnel , et que , pour éviter , autant qu'il est possible , les dénominations qui n'ont de sens que dans le système des vibrations , j'appellerai les axes de cristallisation. La lumière entre dans le cristal et elle en sort par les faces perpendiculaires à ces axes , dans des directions qui leur sont parallèles , sans éprouver aucun changement de direction ; mais elle a , suivant chacun d'eux , deux vitesses différentes , car elle se divise en deux rayons polarisés à angles droits, suivant deux directions différentes , lorsqu'après avoir parcouru dans le cristal un de ces axes , elle en sort par une face oblique.
C'est sur l'un de ces trois axes que les deux vitesses dont est susceptible la lumière qui le parcourt , sont la plus grande et la plus petite de toutes les vitesses qu'elle peut avoir dans le cristal; je le nommerai V axe principal de cristallisation , et je désignerai par a la vitesse maximum , et par b la vitesse minimum , qui ont lieu suivant cet axe.
Sa direction est perpendiculaire au plan des deux axes optiques.
Les deux autres axes de cristallisation sont dans ce
dernier plan , et divisent en deux parties égales les quatre angles formés par les deux directions des aies optiques.
Les deux vitesses dont la lumière qui parcourt ces deux axes de cristallisation est susceptible , sont pour Tun d'eux la vitesse- maximum a , et la vitesse moyenne c ; pour l'autre , la vitesse minimum 6 , et la vitesse moyenne c. Ces préliminaires posés, .le théorème dont j'ai parlé au commencement de ce paragraphe peut s'énoncer ainsi :
Si l'on porte , sur chacun des trois axes de cristallisation de part et d'autre du point O d'où la lumière s'émane , deux longueurs proportionnelles à celles des trois vitesses a , £ , c , dont la lumière n'est pas susceptible suivant cet axe , c'est-à-dire , en représentant ces longueurs par les mêmes lettres que les vitesses aux" quelles elles sont proportionnelles , deux longueurs OC^ OC égales à c sur l'axe moyen, ou la lumière est susceptible des deux vitesses a et b, deux longueurs OB , OB^ égales à b sur l'axe de cristallisation oji ont lieu les deux vitesses a et c, et deux longueurs OjéyOJt égales à a sur l'axe où la lumière prend les deux vitesses 6 et c, on pourra construire sur les trois droites AA'^=^ na^ BB^=^b , CO= a c , ainsi déterminées , et qui ont toutes trois leurs milieux au point 0, un ellipsoïde dont elles soient les trois axes ; alors, pour avoir les deux vitesses dont la lumière est susceptible, suivant une droite quelconque passant par le point , il faudra mener par ce point un plan perpendiculaire à la droite \ il formera dans l'ellipsoïde une section elliptique > dont les deux axes représenteront les deux
ifitesses de la lumière suivant le ra^on, c^est-à-dire qulls seront & ces vitesses dans le même rapp(»t que les longueurs des axes a, b^ c de rellipsoïde le sont aux vitesses , deux sur chacun des axes, que nous avons désignées par les mêmes lettres. On voit qu^en supposant ce théorème démontré , il suffit ponr construire la surface de Tonde de porter sur la direction de chaque rayon , de part et d'autre du point O, les longueurs des deux axes de la section faite dans Tellipsoïde par le plan mené par le point O perpendiculairement à la direction de ce rayon. Il ne parait pas que Fresnel ait jamais songé à démontrer complètement ce théorème sur lequel repose ]a construction que je viens d'expliquer. Il dit , à la page i36 de son Mémoire , qu'après être parvenu à l'équation de la surface de l'onde, en déterminant d'abord l'intersection de cette surface avec les trois plans cçordonnés , il avait ensuite remarqué que la surface résultant de cette construction présentait le même caractère, ce qui le conduisit , par un calcul trèssimple qu'il donne à la page suivante , à en déduire précisément l'équation que la considération des intersections lui avait donnée ; et comme il vérifia , ainsi qu'on l'a vu plus haut , que cette équation satisfaisait à une des combinaisons des trois équations entre Xyjr, z , p, q , qui contenaient l'équation de la surface de l'onde , il en conclut que les valeurs des vitesses données par cette construction étaient exactes. Outre que cette marche était tout-à-fait indirecte , elle ne pouvait être concluante cpi'en supposant l'exacthude de l'équation de la surface de l'onde qui , comme nous l'avons déjà dit , ne pouvait pas être regardée comme complètement démon^
trée. Aujourd'hui qu elle ^Fest par le calcul des deux premiers paragraphes de ce Mémoire , il est facile d'en déduire directement la démonstration du théorème et de la construction qui en résulte.
D'abord, en nommant W\?l vitesse suivante le rayon recteur mené du point O au point de la surface de Tonde, dont les coordonnés sont x ^y^ z ^ vitesse qui est représentée par la longueur de ce rayon , et en désignant par X , p , V , les angles de sa direction avec les axes de cristallisation , on a
j;= J^cosX, j"t=?iF^cosp, -2= ?iP"cos v'5
et en substituant ces valeurs dans l'équation de la surface de l'onde entre a: , y ^ z , on trouve
(a*cos^ X-f-i» cos'pt-j-c^cos'*) ^^^ — [(^'-f-^O a'cosn4-(a^4.c^)i'cos>4-(a'-fi')c'cos'v] W^-^, a' 5' c' = o ,
qu'on peut regarder , ainsi que le remarque Fresnel , comme l'équation polaire de la surface de l'onde.
Nommons t, u^v ^\es coordonnés d'un point quelconque de la section faite dans la surface de l'ellipsoïde , dont l'équation est
d'où
a ' Aa V ^a
