RE CHERCHES

seul et même cercle ; et que conséqueœment le pentagone minimum

doit être inscriptibte au cercle.

En passant du pentagone à l'hexagone , de l'hexagone à l'eptagone, et ainsi de suite , comme nous venons de passer du quadrilatère au pentagone ; on verra clairement que de tous les polygones formés ^>ar les mômes côtés se succédant consécutivement , dans un ordre déterminé , le plus petit est celui auquel on peut circonscrire un cercle.

Quand a la manière de trouver soit les diagonales , soit les ongles , soit le rayon du cercle circonscrit ; la difficulté croit à mesure que le nombre des côtés du polygone devient plus grand. On arrive cependant , par plusieurs moyens , à une équation finale , dont il ne reste plus qu'à déterminer la racine.

Soit , par exemple , le pentagone ABCDE , dans lequel nous supposerons AB=tf , BC=£ , CD—c , DE=</ , EA=« ; en le décomposant , par une diagonale AD=jt , en un quadrilatère ABCD ,' dont les côtés sont a , b , c , x , et en un triangle dont les côtés sont s , d , e, et en désignant par R le rayon du cercle circonscrit au pentagone , lequel doit être en même temps circonscrit au quadrilatère et au triangle ; on aura , d'après les résultats trouvés ci- «ïessus .

(x-h/-H)(«— rf-*)C*-h/-«)(x-J+«) 1

équations qui serviront à déterminer R et s, L'climioation de R entre elles conduira, pour * , a une équation du 7."" degré, qui au surplus sera peut-être susceptible d'abaissement.

On peut aussi , pour chaque polygone , parvenir directement } une équation en R, Supposons , par exemple , qu'il soit toujours

SUR LES POLYGONES. 67 question du pentagone ; soient A , B , C , D , £ les angles au centre , respectivement opposés aux côtés a , b , c , d » e j on aura

Sin.-^=r— , Sin.i5=4r, S\n.'-C=~, Sio.^i)=-i, Sin.ife— ; de la on conclura les cosinus des mêmes angles. On aura ensuite

d'oo

Sin.(M+:^C+W-;£)=o ,

développant donc cette dernière équation , et faisant , après le développement, la substitution des valeurs des sinus et des cosinus, on parviendra a une équation finale qui ne contiendra plus que la seule inconnue R , combinée avec les côtés a t b , c , d , * , du polygone proposé.

QUESTIONS PROPOSÉES

Problèmes de Géométrie.

L Construire un quadrilatère complet , dans lequel on connaît les trois diagonales, et les angles qu'elles forment deux à deux?

II. On propose de déterminer l'équation delà surface de moindre étendue entre toutes celles qui se terminent a la commune section de deux cylindres droits de même rayon , qui se pénètrent de manière que leurs axes sont perpendiculaires l'un à l'autre , et que l'axe de diaque cylindre est tangent à la surface de l'autre ?

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