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Gravitation universelle.

Soient pris le plan de l'orbite d'un astre pour plan des coordonnées rectangulaires , et le foyer de cette orbite ou le centre du soleil pour origine ; les axes des coordonnées ayant d'ailleurs une direction quelconque. Soit / la longitude du périhélie , comptée depuis l'axe des s positives , et du cétc des y positives; soit de plus m la longitude de lastre , comptée de la même manière , pour l'époque /. En supposant le mouvement direct , et cette époque postérieure k celle du périhélie , on aura l'anomalie vraie f=— /. ?j donc on désigne par ■ le rapport de l'excentricité au demi-grand axe et par p la distance périhélie, ce qui donnera pour le paramètre a'i-r-i)/»; en représentant par r le rayon vecteur qui répond a l'époque / , nous aurons , pat la première loi de Képler , et par la théorie connue des sections coniques ,

«rCos.(.-/)=(i-f,>-r ; (1)

ou , en développant ,

(*) Dans l'exacte vérité , cette valeur de /* suppose la masse de la terre tout ft fait nulle , par rapport * celle du soleil ; mais nous avons voulu tout di'dmre des lois de Kepler ; et nous avons pu, d'autaot plus , nous le pt-mn-llre, que linfluroce de la uuwe de la terre tombe au-delà de la 8.' deuiaaU Je la va-.

leur de f*.

DES ASTRES. 5 l(rCos.«Co»i-H'Siii..Sin7)=(i4-«>— r ; (a)

Mais ,si * et y sont les coordonnées de l'extrémité du rsyoa vecteur , on aura

»rCos.« ; y=rSîn.» , (3)

d'où

an moyen de quoi l'équation (a) deviendra

t(sCoU+yS\nJ)~(i+,)p-r . (5)

En prenant le temps pour variable indépendante > et différentiant deux fois sous ce point de vue les équations (4 , 5) , U vient

sx'+yf=rr* , (6) st*+r»+xxt/+ryo - rs*-\-rr" , (7) •{z'CoiJ+fSin^— f , (8) ^Cosi+^Sini)»-^ . (9) D'un autre côté, la différentiation des équations (3) donne *'=r'Cos.«— /VSin.» , y/cBT/Sin^+r«/Cos.» ; (10) d'où on conclut (3 , 10)

*y'--y*'=rV=aj' , (11) s étant Taire décrite par le rayon vecteur. Mais nous avons (§.L)

d'où

3/=//ô+ô^; (i3) donc , en diHerentiant ,

3J/=/(i-H)^ î 04) et par conséquent (11)

sy*— y*/=V/(l+0^ ; (i5)

d'où , par une nouvelle diflerentiation ,

Xf— yx»=zo . (16)

Présentement , l'élimination de r' , entre les équations (6 , 8) i donne

(jr-firCos.f*/-t-(y+U"Sin./)y'=o ; (17)

équation qui , combinée avec (i5) , donne , en ayant égard aux équations (3 et 5),

, — 1 irWSinJ:y^ =-(sin.^si„ nj/g^ ,)

^=+^(^cM.o^3Z=+(Co...+.c.,/)/^^.,| '

et ensuite , par la substitution dans (6) ,

^=i(r<W-»Sini)//^==.^^:.Sio.(.-/) . (.9)

On tire encore des équations (18) , en ayant égard à l'équation (5)

**-Hr"= -. ; (20)

et l'équation (19) donne , en ayant toujours égard à la même équation (5) ,

donc *

An moyen de celte derniî-re formule , l'équation (7) devient

«//+^=rr"-i^ ; (a3) ou encore, en éliminant r"? au moyen de l'équation (9),;

(*+irCo37>"+(H-«'"SinJ)^=r— (-~? . (a£

En combinant cette dernière équation avec l'équation (16) , on en tire , en ayant toujours égard à l'équation (5) ,

ee qui donne (4)

et ensuite , au moyen de l'équation (9) , en ayant encore égard a l'équation (5) ,

L'équation (16) montre que les planètes sont mues en vertu d'une force d'impulsion combinée avec une force accélératrice , constamment dirigée vers le centre du soleil. L'équation (26) prouve que cette force , réciproquement proportionnelle au quarré de la distance de l'astre à ce centre , ne varie d'intensité , soit pour le même astre soit d'un astre à l'autre , qu'à raison de cette distance ; et c'est en cela proprement que consiste le principe de la gravitation.

Si nous désignons par 9 la vitesse pour l'époque t , nous auront (20)

La vitesse au périhélie , pour lequel on a rssp j sera donc

Faisant successivement •■so et «si, on aura respectivement t pour le cercle et pour la parabole,

Ainsi, 1 distance périhélie égale , la vitesse périhélie dans le cercle est a la vitesse périhélie daus la parabole comme i est a V*