III
Intégrales premières ies équations du mouvement des astres.
D'après ce qui précède f en désignant par * , y , z les coordonnée»; pour l'époque / , du centre d'un astre , rapporté & trois axes rectangulaires quelconques , passant par le centie du soleil , et en représentant par r le rayon vecteur correspondant , on aura
et on aura de plus
, (a9) d'où on déduira , par deux diff rentiations successives ,
**'-br/+«'="v , <3o)
Les équations (a8) , combinées successivement deux à deux ; donnent , par l'élimination de n ,
y*»—zy»=o , z*"— «"=o , x<f»-yx»=o ; (3a)
d'où l'on conclut , en intégrant ,
yz'—zf—A , zx*—xz'=B , xy*—yx'= C (33)
A , B f C étant trois constantes.
En multipliant successivement chacune de ces équations par tes équations (28) renversées , sauf celle de même rang qu'elle , U vient
£(x*WxO+2?*"=o , !Z(xy'-yx>)+Cy»=oA
£-(xY<—rxS)+Cx"=o, ^(yz<-zy<)+Az»=o , ! (34)
En
En prenanl les différences respectives des douât! lignes, il yient
de mômes
£ \(*+**W-^*z'+x^y\+Cx»-A*>'=o , } (35) Ces équations deviennent ensuite (29 et 3o)
rT^-rV-C^-^yj+^/W^o , } (36) ou , en réduisant v
qui donne, en intégrant Jom. VIL
" • 2~jr- Az?'=o , (37)
" (f J+^-^sbo , } (38)
igmzea Dy
,o MOUVEMENT
GL+Cs'-Az'*** , \ (39)
>± +Af—Bx>=F ;
D , E , F étant trois nouvelles constante*.
En prenant la somme des produits respectifs des équations (39) par A , B , C et réduisant; il vient
AD+BE+CF= £ (Ax+By+Cz) ; (4<>)
mais, en vertu des équations (33) ,
Ax+By+Cz=o ; (40
donc aussi
AD+BE+CF=o . (4a)
Nos six constantes se trouvent donc liées entre elles par une équation de relation -, d'où il suit que les intégrales premières auxquelles elles appartiennent n'équivalent qu'à cinq seulement ; et qu'ainsi nous avons encore une intégrale et une constante à obtenir : voie, comment on parvient à l'une et à l'autre.
En prenant la somme des prodoits respectifs des équations (28) par a*' , ay' , az' , l'équation lésultantc peut être mise sous cette forme
d'où, en intégrant,
0 étant une nouvelle constante.
DES ASTRES. ji § IV.
Recherche des èlémens de l'orh'/e.
Nous venons de voir , dans le précédent §. , que A , B , C , D , E , F , étant six constantes , liées entre elles par la seule relation
AD+BE+CF=o , (42)
si l'on représentait par * , y , z les coordonnées du centre d'un astre, rapporté à trois axes rectangulaires, passant parle centre du soleil ; par x' , y* , z' les vitesses de cet astre parallèlement aux1 trois axes -, et enfin par p le quarré du quotient qu'on obtient lorsqu'on divise la circonférence dont le rayon est 1 par la durée de l'année sydérale ; nous avons vu, dis-je , que l'on avait les sept' équations
yz'—zf^A , j y +Bz>—Cy'=D , j zx'^xz'-B , |(33) 2+Cx'-Az'=E, J (3q)
xf—yx'—C ; 1 j+Ay'—Bx'zzF-, \
de sorte que nos constantes sont simplement fonctions des coordonnées et des vitesses parallèles aux axes qui répondent a l'époque /. Nous allons montrer présentement comment les élémen» de l'orbite se déterminent simplement en fonction de ces même» constantes.
Posons , pour abréger ;
ta MOUVEMENT
Les ^uations (3) donnent d'abord , comme nous Tarons déjà tu ;
As+By\-Cz=o ; (4,)
équation d'un plan , qui est conséquemment celui de l'orbite , puisque t n'y entre pas.
Pour déterminer entièrement la figure de l'orbite , il nous faut encore une équation indépendante de /. Or, en prenant la somme des produits respectifs des équations (39) par x , y , z , il vient, en ayant égard aux équations (29) , (33) et (45)
Vx+EyA- Fz — ur— G * ; (47)
équation qui, combinée avec l'équation (40» détermine complète» ment la figure et la situation de l'orbite.
On reconnaîtra, au surplus « la surface (47) pour une surface de révolution dbnt l'axe, situé sur le plan (40, est donné parla double équation
L'orbite étant ainsi déterminée , on peut désirer de connaître la situation de la ligne des apsides , ainsi que les deux distances aphélie et périhélie. Or , la propriété de ce* deux distances c'est que r y devient maximum ou minimum» Différentiant donc sous ce point de vue les équations (29 , 41 1 47) * \iendra
xx'-+-yy'+zz'=.o , Ax'+By>+Ct'=o , (49) Dx'+Ey'+Fz'=o .
En éliminant entre ces équations deux quelconques de vitesses , y* , x',la troisième disparait d'elle-même , et on obtient l'équation
(BF-CE)s+(CD-AF)y+{4E-BD)z=o . (5o)
e'est donc la l'équation d'un plan qui contient la ligne des apsides; et. comme l'équation (40 est celle d'un plan qui la contient éga-
DES ASTRES. i3 lemcnl , il s'ensuit qu'elle se trouve déterminée par le système de ces deux équations , et conséquemment aussi par tout système de deux équations qui auront lieu en même-temps que celles-là. Il est d'ailleurs aise de voir que les plans donnés par ces deux équations sont perpendiculaires l'un à l'autre.
Or, si l'on élimine successivement entre elles deux quelconques des trois variables s , y , z , oa obtiendra la double équation
Ainsi , la ligne des apsides n'est autre chose que l'axe de révolution de la surface (47)} l'on peut prendre pour ses équations D E
*=y*> y- tz- (5o
On aura donc les coordonnées de l'aphélie et celles du périhélie , «n combinant ces équations avec l'équation (47) mise sous la forme
ce qui donnera , en ayant égard a l'équation (46) , DG* EG* FG»
H est évident que les signes supérieurs répondent à l'aphélie, et le» signes inférieurs au périhélie.
Si ensuite on désigne respectivement par p et P les distances périhélie et aphélie , lesquelles ne sont autre chose que les distances de l'origine aux deux points que nous venons de déterminer j oa aura , en ayant toujours égard a l'équation (46)
Le demi-grand axe sera la demi-somme de ces deux quantités ; ic sorte qu'en le désignant par a , on aura
x4 MOUVEMENT
Désignant ensuite l'excentricité par E , et le rapport de l'excentricité au demi-grand axe par • , on aura
La trajectoire sera donc une hyperbole , une parabole ou une ellipse , suivant qu'on aura H>n , H=p ou //</». En particulier, elle sera un cercle , si l'on a H=o ; ce qui emporte D=o , E=o ,
«F=o , et donne 0= — . Quant au paramètre, en le désignant par II, on aura
Nous ayons donc déterminé tout ce qui , dans les élémens de
l'orbite, est indépendant du temps, et il ne nous reste plus qu'à
fixer l'époque du périhélie. Pour y parvenir , remarquons d'abord
qu'à l'époque t le rayon vecteur r fait avec les axes des angles dont les cosinus sont
mais la ligne des apsides fait avec les mêmes axes des angles dont les cosinus sont
d'où il suit qu'en désignant par • l'anomalie vraie , on aura
co,^2f±|±£f. (57)
Les quantités i , p et • étant ainsi déterminées , on a , par les théories *
DES ASTRES. ,5 d'oi on conclut, par la diffcrenliation ,
w y (»+OSin.#
^•ÏÏSS' (%>
mai» noua avons (19), en faisant, comme ici, l=o ,
r/=,Sinf/cî^ ; <6o>
il viendra donc , en égalant ces deux valeurs ,
