RECHERCHE DES ORBITES

£={Cos.« , A=eSin.« ; (8)

d'où

et en ontre , par le principe de la gravitation

équations qai pourront servir, dans la présente hypothèse, i simplifier les formules finales auxquelles conduira la solution du problème. On remarquera , au surplus , que , tout étant connu dans le mouvement de la terre , on peut profiter des circonstances particulières de ce mouvement pour déterminer directement et sans recourir à, aucune sorte d'interpolation ; les valeurs des fonctions g/ » g" » h' , h" qui doivent correspondre a l'époque /=o , ou à toute autre époque qu'on aura choisi. Mais , de quelque manière d'ailleurs que Ton juge devoir procéder à la détermination de ces quantités , cela ne changera absolument rien à la marche du problème qui nous occupe.

M. Laplace ( Mécanique céleste , liv. II ) prend pour données « > fi » y , e et leurs fonctions dérivées des deux premiers ordres , déduites d'un nombre suffisant d'observations; mais il parait plus convenable de leur préiérer les fonctions g , h , m f n faciles à déduire des premières, ainsi que leurs fonctions dérivées des deux premiers ordres ; attendu que les fonctions de cette dernière sorte s'offrent , pour ainsi dire , d'elles-mêmes dans les équations du problème , et qu'elles s'y présentent seules.

M. Legendre ( Nouvelles méthodes pour la détermination des ■orbites des comètes ; Paris , 1806 ) , ayant senti quelque répugnance à employer des coefficiens différentiels déduits de l'interpolation , a préféré recourir à l'emploi de trois systèmes de valeurs de g, h , m t nt et des temps auiquel» ils doivent correspondre. Mais , ce que nous avons dit ( Annales , tom. VI", pag. 84a ) parait de nature à dissiper tous les scrupules que l'on pourrait concevoir à ce sujet;

DES CORPS CÉLESTES. 87 et d'ailleurs remploi des coefficient différentiels conclus de l'obserration , est le seul moyen qui paraisse s'offrir pour rendre le problème algébrique , sans recourir a aucune supposition étrangère aux loi» générales de la gravitation.

Si l'on avait plus de trois observations , on pourrait pousser 1» recherche des coefficiens différentiels jusqu'aux valeurs de g'" t h'" , m'" , n"' s et nous avons fait voir ailleurs ( Annales , tom. Il , pag. 1 ) qu'en joignant ces données aux douze autres , et supposant toujours d'ailleurs que l'observateur se meut sur l'écliptique même, on pourrait parvenir directement aux valeurs de s , x1 , y , y* , x , x' , par des formules du premier degré. Nous pensons que c'est là la seule manière légitime de simplifier la solution du problème ; mais on sent fort bien que ceci ne saurait être raisonnablement admis qu'en théorie , et que , dans la pratique , on doit se défier de l'emploi des coefficiens différentiels du troisième ordre , qu'on ne saurait guère se promettre de déterminer avec une pécision suffisante.

D'après ce qui a été dit ci- dessus , les dis équations ( x , 2 3,4,5,6) ne renferment d'autres inconnues que les trois coordonnées * , y , z , les vitesses x' , y* , z1 , dans le sens de chacune d'elles , les forces accélératrices s" , y" f x" , suivant les mêmes directions , et enfin le rayon vecteur r ; c'est-à-dire que ces équations sont précisément en même nombre que les inconnues qu'elles renferment; elles doivent donc nous donner, sans aucune supposition gratuite , les valeurs de ces inconnues , ou du moins des six premières , les seules qu'il nous importe de déterminer»

Le procédé à suivre pour les obtenir ne présente aucune difficulté ; d'abord en chassant s , y , s° , y" des équations ( 1 et a), au moyen des équations (4 et 6) , on trouve

T>=^+m*+n>)z*+2(mg+nn)z+(s*-{-A*) , (10)

gz"^zm,zz,'^-m'tz*-\-gitz , (11)

hz"~*ntzz'+n»z%-\-h»z ; (12)

l'élimination de z* entre les deux dernières donner»