DES CORPS CÉLESTES

tz>+««Cos.(«-^)Sin.2y-K1Sin.VÎ,= /*'c'(*'»-»fr)'Sln.*> ( )

et on aura ensuite simplement

11 est aisé de voir que , par le développement , le dernier terme de l'équation (17) s'évanouira ; de sorte qu'après sa suppression et la division par z , elle ne s'élèvera plus qu'au 7/ degré seulement; et , comme jamais la parallaxe de l'astre et la latitude du centre de la terre ne sauraient être fort considérables , il faut en conclure que, dans le cas général , l'une des racines réelles de l'équation (i5) doit être fort petite , comparativement aux autres , et qu'on ne doit tenir aucun compte de celle-là. On voit , en même temps, que l'hypothèse actuelle dispense de l'emploi et conséquemment du calcul des fonctions g" , h".

On voit donc que le problème qui nous occupe conduit naturellement à une équation du 8.' degré , ou tout au moins du 7.* ; et les divers modes de solution qu'on en a présenté ont principalement pour but d'éluder cette difficulté. Mais, après y avoir longuement et mûrement réfléchi , après avoir entrepris un grand nombre d'essais et de tentatives , il nous a paru que tout procédé différent de celui que nous venons de suivre serait toujours sujet à de très-graves objections ; et qu'au lieu de chercher à éviter la résolution de l'équation (i5), il était beaucoup plus convenable de profiter de la forme particulière sous laquelle elle se présente pour rendre la détermination de ses racines réelles aussi peu laborieuse qu'il se pourrait. On peut remarquer , en effet , que cette équation n'a pas toute la complication que son degré comporte ; et que le point le plu» important, et en même temps le plus difficile est d'obtenir une approximation grossière de ses racines réelles; or, c'est à quoi on

9o RECHERCHE DES ORBITES

peut parvenir assez aisément , «oit par une trace graphique soit par le calcul , ainsi qu'on va le voir.

Léquaiion (i5) est évidemment le résultat de l'élimination de p et q entre les trois équations

Pl=r , (1)

(m'a*— m"n')*+im'*"-n/6*") ' dont les deux dernières peuvent être écrites ainsi

L'équation (1) est celle d'une seconde parabole cubique , tout & fait indépendante de la nature des données, et dont le paramètre est l'unité , c'est-à-dire , le demi-grand axe de l'orbite terrestre. En prenant donc une ligne droite, d'une longueur arbitraire, pour ce demi- grand axe , on pourra construire cette courbe avec soin , une fois pour toutes , et s'en servir pour tous les problèmes particuliers qu'on aura à résoudre (*).

(*) On peut tracer cette courbe sur le cuivre , et en tirer ensuite un nombre tainsant d'épreuve*. C'est ainsi qu'on trouve cher M.me veuve Courcier, à Paris f des épreuves de la première parabole cubique que M. Monge combine avec la. ligne droite poux obtenir les racine» réelles de l'équation du 3.» degré sans aecond terne ( Vojes la Corretpondanc* sur f école polytechnique , tom. III > page aw ).

DES CORPS CÉLESTES, 9t L'équation (II) est celle d'une parabole ordinaire dont l'axe , parallèle à celui des z , en est distant de la quantité

prise arec son signe , dont le sommet est distant de l'axe des £ de la quantité

mg+nh

prise également avec son signe , et dont enfin le paramètre est

Enfin , l'équation (111) est celle d'une hyperbole équîlatérale , dont l'une des asymptotes est l'axe des z lui-même , dont l'autre , parallèle à l'axe des y , en est distante de la quantité

prise avec son signe; cette courbe est située dans Us angles des coordonnées de mêmes signes ou dans ceux des coordonnées de signes contraires , suivant que la quantité

est positive ou négative ; et ses demi-axes sont égaux à la racin* quarrée du double de cette quantité , prise positivement.

Cela posé , soient construites , sur deux axes rectangulaires, dont l'un , celui des abscisses , soit constamment l'axe des s , tandis que

9a RECHERCHE DES ORBITES

celui des ordonnées sera successivement l'axe des p et l'axe des ç; les courbes (II et III ) (*).

Soit ensuite construite sur les axes même de la courbe (I) , supposée déjà tracée, une seconde courbe , dont les coordonnées soient les coordonnées qui se correspondent dans les courbes (II etUI) précédemment construites; Ci tte seconde courbe coupera la première en plusieurs points, dont les coordonnées seront les valeurs de p et q. Considérant ensuite ces coordonnées comme ordonnées correspondantes du premier système de courbes ; l'abscisse commune , répondant à chaque couple d'ordonnées , devra être prise pour valeur de z ; en négligeant toutefois une valeur de z qui sera nulle ou du moins très-petite.

Si l'on voulait faire abstraction de la parallaxe de l'astre et de la latitude du centre de la terre, le procédé serait encore le même, sauf les petites modifications que voici : la distance de l'axe de la parabole ordinaire a l'axe des z serait

Cos.»(— -s)Cos.Vj , la distance de son sommet à Taxe des p serait

— ;«Cos.(*— s)Sin.a> ,

ef son paramètre serait

Sin.'y .

En outre , une des valeurs de z serait tout-à-fait nulle.

(•) Il existe un grand nombre de machines propres à tracer d'un mouvement continu , des sections coniques de toutes dimensions , entre des limites plus ou moins étendues. M. Deshayes , professeur de physique , d'abord au collège de Nancy , puis à l'école centrale delà Meurthe, mort depuis quelques années , mécanicien et opticien von moins adroit qu'habite géomètre , et à qui il n'a manqué qu'un peu moins de modestie pour se faire un nom parmi les savans , en avait construit une exlrêrnemciit ingénieuse et commode et d'une grande précision , que j'ai vu entre •es mains en 1788. J'ignore ce que cette machine est présentement devenue.

Nous