THÉORÈMES NOUVEAUX
GÉOMÉTRIE ANÀL1TIQUE.
Théorèmes nouveaux , sur les lignes <et sur/hces du
second ordre ;
Par M. Frégier , ancien élève de l'école polytechnique.
J'ai donné, à la page 229 du VI.* volume de ce recueil, sur les lignes et surfaces du second ordre, deux théorèmes nouveaux, assez remarquables , que j'ai généralisés ensuite , 4 la page 3a 1 du même volume. Je me suis aperçu postérieurement que ces théorèmes étaient susceptibles d'une généralisation beaucoup plus grande encore ; et c'est sous ce nouveau point de vue que je vais le» reproduire
THÉORÈME î. Si deux lignes du second ordre , tracées sur m même plan , sent telles que le centre de la seconde soit situé sur le périmètre de la première ; toutes les cordes qui , dans celle* et , se termineront à ses intersections avec les prolongement de deux diamètres conjugués de Vautre , se couperont en un même point , situé sur le conjugué du diamètre qui, dans la seconde courbe , est tangent à la première.
Démonstration. Soient pris pour axes des coordonnées les deux diamètres conjugués de la seconde courbe, dont l'un est tangent la première , de manière que ce dernier soit l'axe èt$y. L'équation de la première courbe sera de la forme
THEOREMES
de la
de la
£ étant une constante. L'équation du système de ces deux diasera donc
de léonaboa (,) . H tiendra.
*>-K tf+^H-^r+c - o ; (5)
Équation d'une droite qui est évidemment la corde qui, dans (i) » ses points d'intersection arec le système de diamètres (4> Or, ans la Tue de saroir en quel point cette droite coupe l'axe , on fait dans son
, tout-l-fait indépendante do système de diamètr* qu'on » choisi s ce qni démonte complètement le
NOUVEAUX. 97 THÉORÈME IL Sid eux sur faces du second ordre sont tellement situées dans V espace , que le centre de la seconde soit sur la première t tous les plans sécants à celle-ci qui passeront par les points où elle est traversée par les prolongemens de trois diamètres con" f ugués quelconques de l'autre , se couperont en un même point . situé sur le diamètre de la seconde sur/ace dont les conjugués sont tangens à la première.
Démonstration. Soient % la première surface , S la seconde , et O le centre de celle-ci , situé sur l'autre. Concevons , par ce centre , trois diamètres conjugaés dont les directions rencontrent 25 en A , B f C Imaginons ensuite que l'on passe de ce système de diamètres conjugués a un autre , dans lequel les directions des diamètres rencontrent 36 en A', B7, C; c'est-à-dire, de manière que le diamètre) dont la direction est OC soit commun aux deux systèmes. 11 est connu que les deux angles AOB, A'OB/ seront dans un même plan.
Soient » et s les lignes du second ordre suivant lesquelles ce plan coupe les surfaces X et S. Soit T le plan tangent à 26 en O ; et soit enfin / la droite suivant laquelle ce plan est coupé par le plan des angles AOB , A'OW ; cette droite / sera tangente à * en O.
Cela posé ; s est une ligne du second ordre , située dans le mêmeplan avec •■, et ayant son centre sur son périmètre ; et OA't OB' ; aussi bien que OA , OB , sont les directions de deux diamètres conjugués) de cette courbe ; d'où il suit ( Théorème 1 ) que les deux corde» AB , A'B7 se couperont en quelque point P du diamètre de s dont le conjugué est / ; et que ce point P sera tout-à-fait fixe «t indépendant de la situation du second système par rapport au premier.
Donc aussi les deux plans ACB , A'CB' , qui passent constamment par les deux points fixes C , P , se couperont constamment suivant une droite CP , fixe comme ces deux points , et tout-à-fait indépendante de la situation respective des deux plans.
OP et / sont donc deux conjugués de OC ; d'où il suit que , réciproquement , OC et OP sont deux conjugués de /; donc, par le» théories connues , tous les autres conjugues de / sont situé» dans
