GNOMONIQUE

Construction nouvelle d'un cadran solaire quelconque ;

Par un Abonné.

Au Rédacteur des Annales ;

Monsieur ,

J e irions do lire la Gnomonique graphique de M. MOLLET, professeur à Lyon ; et sa lecture m'a autorisé a croire que c'est à l'auteur que l'on doit la construction du cadran cylindrique que l'on trouve à la page 372 du 3.* volume des Annales. Ce problème n'est pas nouveau , non plus que celui du cadran sphériquo , comme jo l'avais d'abord pensé ; on les trouve traités , l'un et l'autre , dans les Récréations mathématiques d'OzANAM , où l'on rencontre une colonne cylindrique surmontée d'une sphère , qui est relative à ces deux problèmes.

En examinant les problèmes de gnoraonique plane de M. Mollet , j'ai remarqué que sa méthode de construction dos lignes horaires n'est commodément applicable t dans la pratique , que pour trouver , dans le cadran horizontal , par exemple , les lignes de 8 heures du matin à 4 heures du soir , celles de 7 heures du matin et *lo 5 heures du soir font des angles trop aigus avec l'cquinoxiale pour pouvoir être déterminées d'une manière exacte ; celles de 4

SO.LAIRES. i4t heures et 8 heures font même déjà avec l'équinoxiale des angles au-dessous de 45°, ce qui exige beaucoup d'espace.

Pour remédier a cet inconvénient , je propose la construction suivante, que j'appliquerai, pour plus de généralité, à un cadran incliné et déclinant.

Soient C (fig. n) le centre du cadran , CB l'axe , CM la soustylaire , BM la perpendiculaire à lextréruité de l'axe, Oa la méridienne.

La latitude du lieu , la longueur de l'axe , l'inclinaison et la déclinaison du plan étant données , les trois côtés du triangle rectangle CBM et l'angle MCia sont aussi données. Cela posé :

Je construis un rectangle AGHF , ayant pour hauteur la soustyîaire CM et pour base GH , double de la perpendiculaire BM ; cette base , partagée en deux parties égales par la soustylaire, coupe la méridienne au point la.

Je prolonge CA d'une quantité AP=AG, longueur de la squstylaire ; je tire PG , qui fait ainsi avec AP un angle de 45°. Sur PA. prolongée je porte PG de P en G'; sur PA et PG je porte GM de P en Q et Q/. Du point P comme centre , avec le rayon PA , je décris l'arc de 45" ÀA' ; je tire la ligne A'G' ; et , par les points Q et Qf , je mène les droites QR , QfW , respectivement parallèles aux lignes AG , A'G',

Je porte Mia de Q' en ta sur Q/R' ; et , par les. points P et ta , je mène le rayon P6. A compter du point où ce rayon rencontre l'arc AA' , je prends sur cet arc , de part et d'autre de ce point, des divisions de i59 (On les prendrait de ^.Zof ou de 3°.45' , si l'on voulait marquer sur le cadran les demi-heures ou les quarts-d'heures ). Par les points de division , je mène les rayons P5 , P6 , P7 ; le rayon P5 rencontre respectivement les lignes QR , Q/R' , AG , A'G' aux points a , 11 , 8 , 5 ; le rayon P6 rencontre les mêmes lignes aux points 3, 1a , 9, 6; et le rayon P7 le* rencontre aux pointa 1, 4 » "> » 7*

ija CADRANS SOLAIRES.

Je porte "QR , arec ses divisions 2 , 3 , 4 , de M en H ; je porte Q'rV, avec ses divisions 1, 12, 11 , de M en G ; je porte enfin A'C , avec ses divisions 7,6, 5 , de F en H , et je laisse en place la ligne AG , avec ses divisions 8 , 9 , 10; menant enfin des droites du point C aux points de division 8,9, 10, 11 , 12, x,2, 3, 4, 5, 6, 7 des trois côtés AG , GH , HF du rectangle , le cadran se trouve construit.

Si la méridienne , avant de rencontrer l'équinoxiale GH , rencontrait d'abord la parallèle AG à la aoustylaire , ainsi qu'il arrive dans la figure à la ligne G 10/ ce serait à son peint de rencontre •vec cette droite AG qu'il faudrait marquer 1 a , en faisant rétrograder en conséquence tout le reste du numérotage.

L'on voit , par cette construction , dont je ne donne point la démonstration , parce qu'elle est facile à trouver , que toutes le lignes horaires sont déterminées par des intersections de droites qui lut forment jamais entre* elles des angles inférieurs a 45*«

Agrée* t etc.

Marseille, le 1** juin 1816.

QUESTIONS RÉSOLUES

QUESTIONS RÉSOLUES

Considérations préliminaires ; Par M. Gergonne.

Xl y a a peu pris un an qu'un géomètre très-distingué , auteur d'ouvrages estimés , et attaché , comme professeur , à l'une de nos principales écoles , m'annonça qu'il avait conçu sérieusement des doutes sur la légitimité des procédés du calcul des variations et des résultats qui s'en déduisent ; qu'il avait a opposer à ces procédés des objections d'une nature très-grave , et qu'il était , entre autres choses , en état de prouver que la surface que cette branche d'analise indique comme celle de moindre étendue entre des limites données , ne jouit point constamment de cette propriété.

Toujours empressé de donner accès dans les Annales à toutes les discussions et recherches qui peuvent tendre à jeter plus de lumière sur les doctrines fondamentales, je me hâtai d'écrire â cet estimable géomètre, pour l'engager à faire , des doutes qu'il avait conçus , le sujet d'un mémoire que je lui promettais d'insérer dans ce recueil , aussitôt qu'il me serait parvenu. "

Mais , soit que le géomètre qui avait ainsi éveillé ma curiosité ait été détourné , par l'enseignement dont il est chargé , du soin de condescendre h ma prière ; soit que , comme il arrive assez souvent, le champ s'étanl agrandi devant lui, à mesure qu'il le parcourait, il n'ait pu encore en atteindre la limite ; soit peut-être aussi que des réUexiona nouvelles aient dissipé tout-à-fait les nuages qui s'étaient

élevés dans son esprit ; je suis encore à attendre aujourd'hui le mémoire qui m'était presque promis.

Dans l'attente eu j'étais de ce mémoire , je pensai convenable? de proposer, dans diverses livraisons des Annales , des questions bien circonscrites , relatives à la recherche de la moindre surface entre des limites données. J'étais d'autant plus fondé a le faire que , si ceux qui ont écrit sur le calcul des variations ont donné l'équation de la surface minimum , ainsi que son intégrale générale -T aucun d'eux , du moins que je sache , n'a montré , par des exemples, comment on doit déterminer les fonctions arbitraires qui naissent de son intégration , et combien de conditions sont nécessaires pour déterminer la forme de ces fonctions. Je pensai d'ailleurs que , si effectivement il existait quelque surface moins étendue que celle qu'on donne pour minimum , quelqu'un saurait peut-être la trouverî et que sa quadrature , comparée à celle de l'autre , serait le moyen îe plus propre de tous pour renverser les doctrines reçues , ou pour montrer l'impuissance des efforts dirigés contre elles.

C'est faire comprendre assez que j'avais un moment partagé , de Très-bonne foi , les scrupules qu'on avait cherché à m'inspircr; des réflexions ultérieures les ont fait entièrement évanouir; mais j'ai pensé qu'il n'en serait pas moins utile , avant de présenter la solution qu'a donné M. Tédenat de l'une des questions relatives aux surfaces minimum , d'entrer dans quelques détails sur ce sujet.

Le problème de la moindre surface entre des limites données est 'évidemment identique avec celui où l'on demanderait quelle courbure doit affecter une toile parfaitement flexible et élastique , tendue par ses extrémités , sur des lignes fixes données , planes ou courbes , i simple ou à double courbure ; et Ton voit par là que ce problème peut être considéré comme n'appartenant pas moins à la mécanique qu'à la géométrie. Mais , quel que soit d'ailleurs celui de ces deux points de vue sous lequel on l'envisage , on voit également que la surface cherchée doit être telle que , si l'on en circonscrit une

portioa

RÉSOLUES. 145 portion quelconque , par une ou plusieurs lignes droites on courbes, formant une figure fermée , l'aire de la portion de surface déterminée par cette figure soit moindre que celle de toute autre surface se. terminant au même contour.

Cette propriété , qu'on peut regarder comme caractéristique , et sur laquelle M. Monge insiste en plusieurs endroits de son Application de Fanatise à la géométrie , parait précisément avoir été le fondement des scrupules de notre estimable professeur. • Soit tracée v en effet , dit-il, sur la surface prétendue minimum , et que nous » supposons déterminée par des conditions qui la rende différente » d'une surface plane ; soit tracée , dis-je , sur cette surface une » courbe plane fermée quelconque ; on pourra à la portion de » surface circonscrite par cette courbe substituer une surface plane , » se terminant au même contour ; surface de moindre étendue qu'elle, » et qui , réunie à la partie excédante , formera conséqueroment ■ une surface totale moindre que la surface prétendue minimum. » La conclusion de ce raisonnement serait qu'il n'existe point d'autre surface minimum que le plan t et que conséquemment , lorsque les limites données de la surfare minimum demandée sont de nature à- ee que cette surface ne puisse être plane , il ne saurait proprement y avoir de surface minimum; conclusion que la géométrie et la mécanique semblent également s'accorder à repousser.

Ne serait-il p*s plus exa> t de remplacer ce raisonnement par Te suivant : « Entre des lignes droites ou courbes, planes ou à double » courbure , invariables de nature et de situation , il existe toujours* » une surface de moindre étendue que toute autre surface déterminée » par les mêmes lignes ; puisqu'on peut toujours concevoir une toile » parfaitement flexible et élastique tendue entre ces limites ; et' qu'il » faudra bien enfin que celle toile affecte une forme déterminée. »

m Supposons que ces limites soient telles que là surfaee minimum » ne puisse être plane ; si l'on pouvait tracer sur elle une figure * plane fermée quelconque ; en substituant a la portion de surface* » comprise dans l'intérieur de cette figure la surface plane terminée 2am. VIL v»

i46 QUESTIONS

» au même contour, on obtiendrait- une aire totale moindre qut a la première , qui conséquemment ne saurait être un minimum. »

» Donc la surface minimum , entre des limites données , doit » être telle qu'il soit impossible de tracer sur elle aucune figure plane » fermée ; ou , ce qui revient au même , d'en détacher aucune » poition , limitée dans tous les sens , par une section plane. »

» Or, comme c'est là ce qui arriverait infailliblement , si la sur- » face avait , du moins dans quelques point» , ses deux courbures » dirigées dans le même sens , il en faut conclure que la surface • minimum, entre des limites données, doit avoir , dans toute son » étendue , ses deux courbures de signes contraires » j et c'est précisément ce qu'apprend l'ana'ise.

Mais poussons plus loin. Par un point quelconque de cette surface, menons-lui, dans une direction quelconque, deux tangentes perpendiculaires l'une à l'autre; et considérons les fibres de cette surface , supposée élastique , dont la direction est la même que celle ,de ces deux tangentes. Ces fibres seront courbées en sens inverse, et ne le seront que par contrainte , à raison de leur élasticité ; chacune d'elles fera donc effort pour se redresser , et conséquemment pour augmenter la courbure de l'uuire , et , puisqu'elles se font équilibre , les deux efforts inverses devront être égaux*' ^l«i> ils sont évidemment proportionnels aux rayons-, de courbure des courbes qu'affectent respectivement les deux .fibres , au point où elles se coupent; donc ces deux rayons de coujbure doivent être égaux.

Or,, si. l'on suppose que les deux tangentes dont il s'agit soient, pour c^ajue^poin^ dirigées suivant les deux courbures de la surface i les deux rayons de courbure dont il est question ici deviendront les rayons de courbure même de cette surface.

Il résulte donc de ce qui précède que , non seulement la surface minimum doit avoir , en tous ses points, ses deux courbures principales de signes contraires, mais que de plus ces courbures doivent être égales. Nous ne prétendons point , au surplus , donner ce raisonnement pour une démonstration proprement dite ; mais on, voit

RÉSOLUES, m cependant qu'il en renferme le germe , et qu'il suffit du moins pour faire pressentir les résultats d'une analise plus rigoureuse ; ce %[ui est , dans bien des cas , d'un très-précieux, avantage*

Loin donc qu'il soit paradoxal de dire que la surfade dont les deux rayons de courbure sont , en chacun de ses points , égaux et de signes contraires , soit en même temps celle dont Taire est un minimum ; loin que l'on conçoive possible de prouver qn'elle ne l'est pas , il nous semble , au contraire , qu'il est peu de propositions aussi faciles à deviner ; parce qu'il en est peu , en effet , qui soient aussi exactement conformes aux indications du simple bon sens.

Mais, dira-t-on encore t en accordant , si l'on veut qu'il soit impossible de tracer , sur la surface minimum , une figure plane exactement fermée, dn moins sera-t-il toujours possible de la couper par un plan , de manière à obtenir r pour ses intersections avec lui , deux courbes distinctes, telles que seraient , par exemple, deux hyperboles opposées ; et si , entre ces deux courbes , on substitue le plan à la portion correspondante de la surface prétendue minimum , on obtiendra un total moindre que cette surface , qui conséquemment ne saurait jouir réellement de la propriété qu'on lui attribue.

Ce raisonnement pourrait être bon , s'il s'agissait d'une surface qui dût jouir indéfiniment de la propriété du minimum ; et, dans ce cas , la surface demandée ne saurait être qu'un plan ; mais il s'agit d'une surface qui jouisse de cette propriété parmi toutes celles qui ont des limites fixes données , c'est-à-dire , parmi toutes celles qui se terminent au même contour. Or , lorsque deux surfaces sont simplement assujetties à passer par deux courbes données , isolées l'une de l'autre, et que ces deux surfaces ne se confondent pas, îl est impossible de les comparer sous le rapport de leurs aires ; puisqu'elles sont indéfinies l'une et l'autre , et ne se terminent point, au même contour.

Ces difficultés ainsi cclaircics , venons à la solution dé la question» proposée.

i43 QUESTIONS

Solution du problème proposé à la page 99 de ce

volume ;

Par M* Tédénat , correspondant de l'institut , recteur de

l'académie de Kismes.

Problème. Couper un cube en deux parties , de telle manière çuc la section vienne se terminer aux diagonales inverses de deux faces opposées , et que f aire de cette section , terminée à la surface du tube y soit un minimum ?

Donner , en outre , l'équation de la courbe suivant laquelle la surface coupante coupe chacune des autres faces de ce cube ?

Solution. Soient A , B , Ç , D les quatre sommets de la base inférieure , et A' , 13' , C , \)' leurs correspondons dans la base supérieure. Soient , en outre ,0,0' les centres respectifs de ces deux bases. JLn supposant , pour fixer les idées , le cube tellement dispose que l'axe 00' soit vertical , ses deux bas*s seront horizontales.

Concevons qur , par QQ' on conduise un plan vertical , parallèle 4 AU , CD , A'B' , OD' ; son intersection avec le cube sera un quarré dont les bases seront horizontales , et conséquemment les deux autres côtés verticaux*

Concevons la surface de ce quarré comme formée de fibres élastiques verticales et horizontales se croisant à angles droits , et se terminant à ses côtés opposés. Si l'on fait éprouver à ce quarré , autour de 00', un double mouvement de torsion et d'extension, de manière que ses deux bases parcourent , en sens inverse , un demi- angle droit, en prenant la grandaur et la direction des diagonales inverses des deux bases du cube , sans que les points 0

RESOLUES. i49

et 0' cèdent d'en être les milieux ; le plan de ce quarré deviendra ainsi une surface courbe ; et , comme cctle surface sera évidemment celle que formerait une toile parfaitement flexible et élastique , assujettie aux diagonales inverses des deux bases du cube ; ce sera évidemment la surface minimum., c'est-à-dire, la surface demandée. Cherchons donc l'équation de eette surface.

Pans le mouvement de torsion du quarré t on peut concevoir que les deux bases tournent , d'un mouvement égal et contraire , autour des points O, O' , jusqu'à ce qu'elles soient devenues perpendiculaires l'une à l'autre; les fibres horizontales, n'étant sollicitées que par des forces qui sont elles-mêmes horizontales , conservent cette direction , et ne font que tourner simplement , autour du point où elles coupent l'axe 00', dans un plan parallèle à ceux des bases du cube , en demeurant toujours rectilignes (*).

On voit aisément que la fibre horizontale , également distante des deux bases , se trouvant ainsi également sollicitée , dans deux diversions contraires, à tourner horizontalement sur le point où elle occupe 00' t ne prendra réellement aucun mouvement ; de sorte qu'après la torsion terminée , elle formera des angles égaux et demidroits avec les diagonales inverses des deux bases du cube auxquelles doit aboutir la surface dont il s'agit.

On peut dire, plus généralement, que, si l'on considère trois libres horizontales , également distantes entre elles dans leur situation primitive • après la torsion exéeutée , la fibre intermédiaire devra former des angles égaux avec les deux fibres extrêmes.

Il résulte évidemment de là qu'en général l'angle de deux fibres horizontales quelconques sera , après la torsion , proportionnel à la

(*) On pourrait raisonnablement demander si cette direction recliligne des libres )ioiir.ont«le» n'éprouvera pas quelque altération, par l'effet de la résistance des fibres verticales à la courbure qu'elles seront peut - être contraintes de prendre pour ob^ir au mouvement des premières.

i5© QUESTIONS

distance qui les sépare , ou , ce qui revient au même , a ta portion» de l'axe OO' interceptée entre elle* (*) ; et c'est conséquemment en exprimant analitiquement cette propriété que nous parviendronsà l'équation de la surface cherchée.

Soient donc pris l'axe OO' pour axe des z * son milieu pour origine , et les z positifs du côté de la base supérieure du cube» Soient pris les axes des * et des y respectivement parallèles aux côtés des deux bases de ce cube ; de telle sorte que des deux diagonales inverses , auxquelles doit aboutir la surface cherchée, celle qui appartient à la base supérieure tombe dans les angles des x et y de mêmes signes , tandis que l'outre sera située dans les angles des x et y de signes contraires. Supposons encore que le mouvement de torsion s'exécute des x positifs vers les y positifs , de manière que la fibre horizontale immobile soit dirigée suivant l'axe des Nommons enfin sa l'arête du cube.

La diagonale supérieure , distante du plan des *y de la quantité a , fait avec l'axe des x ou la fibre immobile un angle j w ; mais toute autre fibre horizontale , distante de la quantité z du même plan , fait avec cette même fibre fixe un angle dont la tan-

çente tabulaire est — ; ainsi , on doit avoir

* __Arc(Tang.=*)

c'est à-dire ,,

z= Arc. ^Tang.= -j^ ,

ou encore

(*) Cela revient évidemment à dire que celle surface ett celle qu'engendre une droite horizontale , tournant autour de l'un de ses points , d'un mouvement uniforme , tandis que ce point se meut , aussi uniformément dans une direction, vwlicale ; c'est la courbe rampante circulaire de Al. Monge.

r=*Tang. « .

Toute valenr constante donnée à z dans cette équation la réduira à celle d'une ligne droite , ainsi que cela doit être , puisque les fibres horizontales sont rectiligiics : mais on voit qu'il n'en sera pas de même des valeurs constantes données à jr ou y , qui conserveront k l'équation sa forme iransccndjnte. On trouvera , en particulier , pour les intersections de la surface dont il s'agit avec les deux faces du cube parallèle» aux plans des yz , la double équation

J=^Tang.~ .

Il faudrait bien se garder de confondre cette surface avec la surface gauche du second ordre qu'engendre , par son mouvement, une droite qui , passant constamment par les diagonales inverses des deux bases de notre cube , ne cesse point , dans son mouvement , d'être parallèle au plan des yz. L'cqualion de cette surface est évidemment »

et ses intersections avec la surface du cube sont quatre diagonales » formant un quadrilatère gauche -, elle coupe d'ailleurs la surface à v '../laquelle nous venons de parvenir snivant les axes des s et des z.

' • i Si l'on demandait généralement de déterminer la surface mini- "• fffUm , entre des limites données ; en po>ant , suivant l'usage , ^t—pàx-\-qày , à*z — rdilx-\-isàxày-\-tày% , on remarquerait que l'élément de cette surface étant djtdj^/ i-f^>-f.y» , l'équation du pioblème doit être

En traitant cette équation par les procédés connus de la méthode des variations , on parvient , comme l'on sait, a l'équation du second ordre

(i+?*>— awH-(,+/>,y=° > (A)

commune à toutes les surfaces qui ont , en chacun de leurs points , leurs deux courbures égales et de signes contraires. Il est facile de s'assurer que l'équation

x= Àrc.(Taog.= £) (B)

est comprîse } comme cas particulier dans eette équation générale; on en tire en effet

4» r uif. *

valeurs qui , substituée» dans l'équation (À) r réduit son premier membre a zéro (*)..

(*} Cette vérification dissipe cota platement les doutes qu'aurait pu laisser dans l'esprit le raisonnement qui a servi a parvenir a l'équation (B) ; et il est certain que cette équation est celle . d'une si.rfmc qui , passant pnr nos diagonales inverses , jouit en outre de cHte propriété ; que la portion qu'on en pourra comprendre dans une figure fermée quelconque , aura moin* d'étendue que la portion ctvreapoadantc de toute autre surface courbe m terminant au m {me

L'équation.

RÉSOLUES. i53 L»éq»itton (A) t été intégrée par M. Legendrê étais les Mémoires de V académie des sciences de Paris , pour 1787. Ce géomètre a trouvé que « et * étant les deux racines de l'équation

en posant

contour. Mais, de toutes le* surface» passant par nos diagonales iaveraes , estelle la seule qui résolve le problème ? Ne ponrrail-on pas , par exemple , demander la moindre surface entre toutes celles qui passent par le quadrilatère gauche que détermine sur la surface du cube la surface gauche du second degré dont il a été question toot-a-l'heurc ? et cette surface minimum , qui doit être différente de notre surface du second ordre , et dont l'existence ne parait guère pouvoir être contestée , ne sera-! -elle pas moindre qne la surface minimum1 dont il est question dans la présente solution ? En un mot , par combien de courbes données peut-on se proposer de faire passer une surface minimum , pour que cette surface soit possible et unique ? C'est la un peint sur lequel aucun des traites d'analisc , même les plus complets , ne s'exprime nettement.

Quoi qu'il en soit j toujours est-il vrai de dire que rien ne prouve que la surface minimum trouvée ici soit celle qui résont la qnestion , telle qu'elle a été proposée. Il ne s'agissait pas simplement , en effet , de trouver la surface de moindre étendue , entre toutes celles qui passent par les diagonales inverses des deux bases du cube ; mais de trouver , entre toutes les surfaces qui passent par ces diagonales , celle dont la partie interceptée dans le cube a la moindre étendue possible ; «t il se pourrait fort bien que la surface gauche du second ordre , qui pourtant n'est pas la moindre de toutes celles qui remplissent cette condition , fût néanmoins , entre ces limite» r d'une moindre étendue que celle qu'on donne ici. Ce serait , au surplus T une chose facile a vérifier.

Le problème général , dont celui-ci est un cas particulier , serait le suivant r Deux portions de courbes , isolées l'une de l'autre , se terminant de part et d'autre à deux surfaces courbe» , aussi isolées l'une de l'autre i\va\ données ; faire passer par ces deux courbes une surface dont l'étendue r comprise entre elles et le* deux surfaces données , soit la moindre possible l

Tom* FIL ai

,54 QUESTIONS l'intégrale de cette équation (À) était le résultat de l'élirai de m et fi entre les trois équations.

z=JA*'{.)à~-JB*'\fiyAfi ; (3)

f' , , , W désignant des dérivées des deux premiers ordres.

Pour en déduire la forme des fonctions p et $ qui convient à la surface dont il s'agit , nous remarquerons que la première revient à

mais nous avons trouvé, d'un autre côté, i

z=^Arc.(Tang.= ^)

d'où l'on voit que, lorsque x=o , on doit avoir 7=0 ; donc

ce qui nous apprend que les deux fonctions ï et •¥ sont ici de la même forme ; de sorte que nous pouvons poser

les deux racines de l'équation (C) août donc égales , et conséqucmment on doit avoir

RESOLUES, a+f'+^so , d'où !+/»•=— ^ et

donc

Mais , en éliminant y et z entre l'équation

r«Tang.^- , et ses deux différentielles du premier ordre , on obtient

qn a donc d'un côté

*:=af'(.) ;

et de l'autre

donc

QUESTIONS PROPOSEES

QUESTIONS PROPOSÉES

Problèmes de géométrie , dépendant de la méthode

des variations. (*)

I. Entre toutes les surfaces qui passent par le eontour d'un même quadrilatère gauche dont les angles et les côtés sont donnes , quelle est celle dont la partie interceptée entre les côtés de ce quadrilatère est la moindre possible ?

II. Entre toutes les surfaces qui passent par les circonférences des deux cercles donnés de grandeur ét de situation dans l'espace , quelle est celle dont l'étendue , entre ces mêmes circonférences, est la moindre possible ?

III. Quelle est la moindre des surfaces qui, se terminant au périmètre d'un quarré donné , comprennent entre elles et ce quarré une volume donné ?

IV. Quelle est entre toutes les surfaces qui , se terminant au périmètre d'un quarré donné , ont , entre ces limites , une aire donnée, celle qui renferme le plus grand volume entre elle et ce quarré.

(*) Le lecteur voudra bien se rappeler qu'un autre problème du même genre a été proposé à la page 68 de ce volume , et e*t demeuré jusqu'ici aaos solution*

Ton* VU PU.Ï Paq

ABREVIATION DES CALCULS. >57