ARITHMÉTIQUE

Sur divers moyens d'abréger la multiplication ; Par M. Gergonnb.

On s'est occupe* , dans tous les temps , de la recherche des moyens les plus propres à abroger la multiplication des grands nombres. Parmi ces moyens , l'usage des logarithmes a généralement prévalu et conservera probablement toujours le premier rang. 11 est , en e/Tet , peu de méthodes abrégées qui soient aussi expéditives ; et ce n'est pas seulement les multiplications qu'elle abrège , maïs encore trois autres opérations , dont deux en particulier sont bien d une autre difficulté. Les logarithmes d'ailleurs ne sont point seulement utiles , comme moyens d'abréviation ; mais leur usage est tout-àfa it indispensable dans une multitude de recherches mathématiques.

On ne doit donc pas être surpris que cette Ingénieuse invention ait presque fait entièrement oublier d'autres inventions pfas anciennes , telles que les baguettes de Ncper , la machine arithmétique do Pascal , etc. Cependant , sous Te point de vue théorique , on ne saurait douter que ces divers moyens d'économiser le temps et d'éviter une trop forte contention d'esprit , dans îa pratique du calcul , ne doivent continuer à offrir un véritable intérêt aux géomètres de profession.

On peut remarquer d'ailleurs que , excepté dans Tes recherches approximatives , ce qui est , il est vrai , le cas le plus fréquent , le calcul par logarithmes ne peut guère être appliqué qu'à de petits Tarn. VU , ».° FI , i décentre 1816. a*

i58 ABRÉVIATION nombres , c'est-à-dire , aux seuls nombres à l'égard desquels on consentirait très-volontiers a se passer d'un semblable intermédiaire, On peut remarquer, en outre, que les tables logarithmiques, d'une construction compliquée , sont par là même assez difficiles à vérifier , que les interpolations que leur usage nécessite si fréquemment, sont ou laborieuses ou peu exactes; et qu'en un root l'emploi de ces logarithmes , qui ne sont à peu près tous que des nombres approches , semble s'écarter , en quelque sorte , de cette rigueur si précieuse aux yeux des véritables géomètres. Ajoutons enfin que, pour se servir sûrement et avec célérité des tables de logarithmes , il est presque indispensable d'avoir, sur ces sortçs de fonctions, des connaissances théoriques qu'on ne parviendra jamais que difficilement à mettre à la portée de tout le monde ; ce qui fait qu'on ne peut guère se promettre d'étendre généralement l'usage de ces tables aux calculs vulgaires.

C'est sans doute dans cette vue qu'on a cherché a étendre la table de Pythagore ; et on trouve en effet des tables de ce genre qui sont poussées jusqu'au quarré de a5 ; mais on sent qu'en les poussant même jusqu'au quarré de 100 , le secours qu'elles offriraient serait loin encore d'être en proportion avec les usages les plus ordinaires; et ( qu'en voulant les étendre au-delà , leur excessif volume les rendrait à la fois d'un prix élevé , et d'un usage incommode.

La table de Pythagore est une table à double entrée ; et M, Laplace a observé (♦) que souvent , au moyen d'un calcul préalable assez facile , une telle table peut être suppléée par une «impie série , c'est-à-dire, par une table à simple entrée , ou à un seul argument. Cet illustre géomètre en donne plusieurs exemples qu'il déduit d'une analise de nature à en fournir beaucoup d'autres encore. Notre but ici est beaucoup moins élevé ; et nous nous proposons seulement de faire voir , par les règles élémentaires do l'algèbre , qu'on peut obtenir , par des tables à simple entrée , non seulement

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(*) Journal de Picole polyttchniqu* , XW cahier , page a58»

DES CALCULS. i5g le produit de deux facteurs , mais même U produit de tant de facteurs qu'on voudra.