ABRÉVIATION

vue qpe celle qui nous occupe ici. Elle est précédée d'une introduction <rès-détaillée , qui indique tout le parti qu'on en peut tirer, on a donc lieu d'être surpris que l'auteur qui , dans cette introduction , se montre géomètre , n'ait pas songé à l'usage que nous venons de faire de sa tablç.

Malheureusement cette table ne donne les quarrés des nombres que jusqu'à rooop seulement ; mais il serait facib>-de la prolonger

.au,~4cla ; et l'on conçoit que si , par exemple , ou voulait la pousser jusqu'à iouooo , il suffirait , comme dans les tables de logarithmes,

,de la faire commencer à 10000 ; attendu que tout co qu'on pourrait mettre auparavant ferait double emploi.

Cette table serait d'autant plus facile à prolonger que les séries de chiffres des difFérens ordres y forment constamment des suites périodiques ; de sorte que , pour la construire , on n'a , pour ainsi dire , que la peine d'écrire. Ainsi , par exemple , pour les unités la période , qui a dix termes , est

pour les dixaincs, la période qui a quarante-sept termes v est

et ainsi de suite j on pourrait même réduire ces périodes à moitié ; •en observant que chaeune se compose de deux autres qui ne sont que le renversement l'une -de l'autre.

Voilà donc deux avantages incontestables des tables dont il est question ici : c'est , d'une part , leur facile construction que l'on pourrait en quelque sorte mettre en fabrique , comme eelle des indiennes et papiers imprimés •> c'est , d'une autre , la facile vérification qui en résulte , et qui est telle qu'il est presque impossible qu'il s'y glisse une faute , sans qu'aussitôt elle soit aperçue (*).

(•) On pourrait également former ce» table» par des additions succewtvea, et je ne sai» pas même si ce ne serait pas là le moyen k la fois le plus court et le plus commode,

DES CALCULS. 161 Un autre avantage que présentent ces sortes de tables , c'est que , ai l'interpolation y est un peu plus laborieuse que dans les tables de logarithmes , elle a sur celle-là l'avantage de pouvoir toujours . être rigoureuse , puisque la suite des quarrés des nombres naturels est une suite aux secondes différences constantes et égales à deux.

La formule générale de l'interpolation, pour les suites aux seconde» différences constantes est , comme Ton sait ,

a et s étant respectivement les indices de h et y ; mais tel où A'£=2 , on aura simplement

Supposons donc qu'avec les tables de M. Séguin on ait besoin du quarré de 543627 ; on cherchera celui de 5436,27 tombant entre 5436 et 5437 , dont les quarrés sont respectivement 29550096 «t 29560969 dont la différence est 10873; on aura donc ici

«5436,27 , AJ= io873 ;

donc

jr=(5436,27),=2955oo96+o,27.io872,27 î

ou biea

(5436,27)»ra29553o3i,5i2gi

donc enfin

Au moyen d'un semblable calcul , la table de M* Séguin pourra servir pour les nombres supérieurs à ceux pour lesquels elle a été calculée , ainsi que pour le» nombres fractionnaire» ; et elle donnera , dan» tous le» cas , de» résultats rigoureusement exact». Il serait '

16a ABREVIATION

seulement à désirer qu'elle contînt les différences des quarrés consécutifs. L'impression en est d'ailleurs très-soignée et très-correcte.

Un homme qui parait être beaucoup moins géomètre que M. Séguin , mais qui pour cela même n'en a peut-être que plus de mérite , M. Antoine Voisin , a su apercevoir , par ses propres réflexions , du moins à ce qu'il parait , le parti qu'on pourrait tirer d'une table des quarrés des nombres naturels pour abréger lés multiplications , et il vient de publier , sous la dénomination , impropre d'ailleurs , de tables de logarithmes , une table des quarrés des nombres naturels, étendue jusqu'à 20000 {*)» Mais , dans la vue d'éviter au calculateur la peine légère d'une division par 4 t l'auteur n'a inscrit dans sa table que le quart de chaque quarré» en rejetant l'unité de surplus pour les quarrés impairs. En conséquence , lorsque, des deux facteurs à multiplier, l'un est pair et l'autre impair , le résultat se trouve fautif en moins d'une unité qu'il faut lui restituer. Pour la même raison , lorsqu'on veut avoir , au moyen de cette table , le quarcé d'un nombre impair ; il faut non seulement multiplier le nombre qu'on trouve dans la table par 4 » niais encore ajouter une unité au produit.

L'auteur annonce qu'il a le dessein de prolonger sa table jusqu'à 100000; mais , s'il l'exécute, nous pensons qu'il fera bien d'y inscrire tout simplement les quarrés des nombres naturels , à partir de 10000 seulement, et de placer dans une colonne à droite les différences consécutives de ces quarrés. Il aura ainsi une table qui pourra servir à beaucoup d'autres usages que celui qu'il a ett spécialement en vue , en dressant celle qu'if vient de publier.

Lorsqu'on veut obtenir , au moyen de pareilles tables , le produit de trois facteurs , il se présente tout naturellement de chercher d'abord le produit des deux premiers , et ensuite le produit du résultat obtenu par le troisième. On pourrait aussi construire , pour

(•) Cette table in-ia , qui renferme i5o page» d'impre«$ioo , le trouve che* M.m« veuve Courtier , à Paria.

DES CALCULS, i63 cet effet , une table a triple entrée ; mais nous allons voir que cette table , comme la table à double entrée , peut être suppléée , •vec avantage , par une table a un seul argument.

IL On a , par los premières règles de l'algèbre ,

d'où l'on voit qu'avec une simple table des cubes des nombres naturels , on peut obtenir, tout d'un coup , le produit de trois facteurs , au moyen de quelques additions et soustractions et d'une division par z4 , laquelle se réduit à deux divisions consécutives par 6 et par 4* Or, l'ouvrage de M. Séguin, que j 'ai cité plus haut, outre les quarrés des nombres naturels , renferme aussi leurs cubes ; on peut donc s'en servir , avec avantage , pour déterminer immédiatement le produit de trois facteurs , en «e conduisant comme dans l'exemple suivant.

Exemple. On propose de déterminer le produit des trois facteurs 73i ; 471 , 317.

(73i+47i-T-3i7),=i5i9s=* 35o488i359 (471+317— 731)*= 57J= i85ig3

(317+731— 47 1)'= 577'= 192100033 88543935i (73i+47i 3i7)'=s 885,=693i54ia5

34 fois le produit =a6i944aoo8 4 fois le produit s 436573668 Produit cherché 1 091 434 »7 •

Ici encore les interpolations pourront être faites rigoureusement ; mais elles seront un peu plus laborieuses que dans la table des quarrés; puisque , dans la suite des cubes, ce sont seulement les troisièmes différences qui sont constantes.

i6< ABRÉVIATION

III. On peut pousser plus loin encore , et , m l'on veut déterminer immédiatement le produit de quatre facteurs : un aura pour cela la formule

\^iabcd=i{a-{-b+c-\'d^ — (a+b-\-c — d)* +(a+b-c— J)>-(b+£+d-o)> 4-(<* b— J)* —(c+d+a—b *

H faudrait donc ici une table des quatrièmes puissances des nombres naturels ; mais , comme ces puissances sont des quarres de quarrés , la table de M. Séguin suffira encore.

Si l'on avait une table des cinquièmes puissances des nombre naturels , on pourrait également en déduire immédiatement le produit de cinq facteurs ; on aurait pour cela la formule

1 9aoa$tf^=(tf-f-J+r-f-<?-|-*)s — (ib-\-c+d+e — «)s •Ka+b+c-d-eJi-(c+d+e+*--b)i Ha+b+d-c-ey-id+e+a+b-c)* +(o+c+d— b— ef—ic+o+b+c—df1 +(b+c+d— a—*)*— (a+b+c+d—ef +{a+b+e-c-d* Mt+c+ê-è-dr ■^t+c+t—a—d)*

+{c+d+c-o-by .

La

DES CALCULS. i65

La loi de ces formules est facile a saisir. Si le nombre des facteurs dans le premier membre est 01 , son coefficient sera (i. 2.3... m)^"*"'. Le second membre contiendra des m.mtt puissances de polynômes, de m termes chacun , formés de tous les facteurs dont il s'agit . ces polynômes seront au nombre de a"~'. 11 y en aura un et un seul où tous les termes seront positifs ; m où chaque terme sera

à son tour négatif ; ~ '• ~"7~ ou\ ^eux terme* ««ront tour-à-tour négatifs et ainsi de suite , jusqu'à ce qu'on soit parvenu à rendre la moitié des termes négatifs . si m est pair , ou la moitié de m—i , si m est impair. Ces puissances de polynômes ont d'ailleurs U signe -h ou le signe — , suivant que le nombre de leurs termes négatifs est pair ou impair. |-

IV. Dans le mémoire cité plus haut y M. Laplace rappelle qu'environ un siècle avant l'invention des logarithmes , on avait déjà eu l'idée ingénieuse de faire servir les tables de sinus naturels à abréger les multiplications # et cela au moyen de la formule

2Cos.ffCosi=Cos.(a— *)+Cos.(tf+*> ;

En séparant r en effet , sur la droite des deux faetsurs un nombre de chiffres décimaux suffisant pour les rendre l'une et l'autre moindres que l'unité , on pourra les considérer comme les cosinus tabulaires des deux arcs, a , b , que l'on trouvera dans les tables. Cherchant donc , dans les mêmes tables , les cosinus de a-^-b et de a-—b leur demi-somme , en y rétablissant la virgule où il convient , sera la produit cherché.

Rien n'est plus facile que d'étendre cette méthode s> la recherche immédiate du produit de trois ou d'un plus grand nombre de fac-; leurs ; on a , en effet ,

Tom. Vlh a?