ABRÉVIATION DES CALCULS

•4-Cos.(of-0— h) i

8Co«.tfCMiCM.K>)s^=Cos.(tf4-H^+^+Cos.(^+r-f^-<)

-J-Cos. (a -\-b — </)-|-Cos.(r-f-<J-+"fl— ^) -t-Cos.(*4* -i- </)-r-Cos.(</4-<H-*-<0

et ainsi de suite.

- La loi de ces formule* ne diffère de celle des précédentes que dans les seuls points que voici : si m est le nombre des facteurs, le coefficient du premier membre sera simplement 2/!"" ; il faudra, dans cé même premier membre , substituer les cosinus de a , b-, t, a ces lettres elles-mêmes ; il faudra finalement , dans le second membre , changer -les m.mt$ puissances en cosinus, et affecter indistinctement tous ces cosinus du signe -4~.

Nous pensons qu'en voilà assez pour faire voir que ce ne sont point seulement les tables h double entrée que l'on peut remplacer par des tafclés à uu seul argument. On voit , eu effet, par ce qui précède V qu'il en est absolument de même pour les produits de ïactéurs variables ; en quelque nombre qu'ils «oient d'ailleurs.

On voit en même temps que les tables des puissances des nombres naturels ont plus d'un genre d'utilité ; mais nous pensons que pourtant les géomètres leur préféreront toujours , et non sans raison , 4eê tables âV logarithmes. ; : • «

i67 TRIANGLE ET TÉTRAÈDRE.

GEOMETRIE ELEMENTAIRE

Théorèmes divers , /e triangle et le tétraèdre ; Par M. Frégier , ancien élève de l'école polytechnique.

Théorème ï. Dans tout tronc dé triangle , à hases parallèles r l intersection des deux diagonales est en ligne droite avec Us milieu» des bases du tronc et le sommet du triangle. . Démonstration. Soit pris l'angle du sommet pour angle des coordonnées. Si a et & désignent les segmens interceptés sur les axes , depuis l'origine , par l'une quelconque des deux bases du tronc , lessegmens interceptés sur les mêmes axes, aussi a partir de l'origine,, par son autre base , pourront être représentés par na et ni ; » étant un nombre abstrait quelconque.

Les deux diagonales auront ainsi pour leurs équations-

oy=nb(a-x) , ox=n*(6-r) .

d'où l'on conclura encore , par l'élimination de n ;

ay—lx ,

équation d'une droite qat doit contenir le point d'intersection desdeux diagonales ; mais cette droite passe évidemment par l'origine' et par les milieux des deux bases du tronc ; le théorème est dbno- «omplètement démontré.-

x68 TRIANGLE

Remarque. Dans le cas particulier où n—2 ou 7 , c'est-à-dire , lorsque la hauteur du tronc est moitié de celle du triangle , l'intersection des deux diagonales est évidemment le centre de gravité de l'aire du triangle total.

THÉORÈME IL Dans tout tronc de tétraèdre , à bases parallèles , les droites qui joignent les sommets de l'une quelconque des bases aux milieux des côtés de Vautre base qui leur sont respectivement opposés , concourent en un même point qui est en ligne droite arec les centres de gravité des aires des bases du trôna et arec le sommet du tétraèdre,

Démonstration. Soient prises les trois arêtes du sommet du te'traèdre pour axes des coordonnées. Si a , b , c désignent les segmens interceptés sur ces axes , depuis l'origine , par l'une des bases du tronc , les segmens interceptés sur les mêmes axes, aussi a partir de l'origine , par l'autre base de ce trône , pourront être représentés par na , nb . ne ; n étant un nombre abstrait quelconque, 11 est de plus aisé de voir que les centres de gravité des aires des deux bases auront respectivement pour équation*

* mm

zrz'-c , x=-tnc ; Lesquelles satisfont également à la double équation

qui est conséquemment celle de la droite qui joint le sommet ou l'origine aux centres de gravité des aires des deux bases.

Cela posé f les équations des droites qui joindront les sommets de la première base aux milieux des côtés opposés de la seconde , seront , comme il est aisé de le trouver ,

ET TÉTRAÈDRE. i6j

:jia(<r-z) , acy=nb[c—z) ,

*bz—ne(b—y) , a.bxz=no{b-y) .

Quant aux droites qui joignent , au contraire , les sommets de )é seconde base aux milieux des cotes opposes de la première , elles auront respectivement pour équations

zncx~a(nc-~z) , artcy=b(nc—x) ,

snay=*b(na-x) , znoz<*c(na—x) ,

znbz=c(nb—y) , 2nbx^a(nb—y) ,

De trois équations prises au hazard dans le premier groupe» on tire

résuluts dont la symétrie prouve qu'ils doivent également satisfaire aux trois autres équations , ainsi qu'on peut directement s'en assurer; et que , par conséquent , ils expriment les coordonnées d'un point commun a nos trois premières droites.

Pareillement , trois équations prises au hasard dans le second groupe t donnent

ne i*a ne

résultats dont la symétrie prouve encore , comme il est d'ailleurs facile de le vérifier , qu'ils doivent également satisfaire aux trois autres équations , et qu'ainsi ils expriment les coordonnées d'un point commun à nos trois dernières droites.

j7o TRIANGLE

Nos trois premières droites se coupent donc en un même point (2) , et les trois dernières en un autre point (3). 11 est de plus aisé de voir que le point (2) comme le point (3) est sur la droite (1); ainsi le théorème est complètement démontré.

Remarque. Il est aisé de voir qu'en supposant , dans les équations (3) , «=f , elles deviennent celles du centre de gravite du volume de tétraèdre ; et , comme on a alors V

il s'ensuit que ce point est situé au milieu de la dooite qui joint les milieux des deux arêtes opposées quelconques. C'est aussi ce qui a été démontré , d'une autre manière , par M. Mongc , dans la Correspondance sur T école polytechnique , ( tom. II , pag. 1 ).

Si l'on fait une projection de notre tétraèdre sur un plan quelconque , les projections des milieux des arêtes et des centres de gravité des aires des faces seront les milieux et les centres de gravité des projections de ces arêtes et de ces faces ; et les projections des points en ligne droite seront situées sur les projections de ces droites. Ôn peut donc, de notre théorème, déduire comme corollaire la proposition suivante.

Corollaire. Lorsque deux triangles , tracés sur un même plari ; ont les cotés parallèles , chacun à chacun , les droites qui joignent les sommets de l'un d'eux aux milieux des côtés respectivement opposés dans l'autre , se coupent en un même point situé en ligne droite avec les centres de gravité des aires de ces triangles et leur centre de similitude.

THÉORÈME III. Si trois droites partant des sommets d'un triangle concourent en un même point , leurs parallèles respectives partant des milieux des côtés opposés concourront aussi en un même point , et réciproquement. En outre , la droite qui /oindra ces deux points contiendra le centre de gravité de l'aire du triangle , lequel la divisera en deux parties dont l'une sera double de t autre.

Démonstration. Soient At B , C les trois sommets du triangle,

ET TÉTRAÈDRE. i7«

ë , l , e les milieux des côtés opposés , et G «on centre de gravité. a% b , c seront les sommets d'un triangle semblable à ABC , dont les côtés , moitié des siens , leur seront respectivement parallèles. Il est de plus aisé de voir que G sera le centre commun de gravité des aires de ces deux triangles , et conséquemment leur centre de similitude.

Soit P un point situé d'une manière quelconque sur le plan du triangle ABC , et soit p son homologue par rapport au triangle abc ; ces deux points devront être en ligne droite avec le centre de simi-