AB BC CA

litude G ; et , comme on a — — = — - = — =2 f on devra avoir éga;

ÛO OC C4t

lement — =2. Enfin , les points P et p étant des points homologues ; et

les deux triangles ayant leurs côtés parallèles, chacun à chacun, les droites PA , PB , PC doivent être respectivement parallèles aux droites pa , pb , pe ; ce qui complète la démonstration de noire théorème.

Remarque. Quoique nous ayons tacitement supposé , dans le raisonnement que nous venons de faire , que les points P et p étaient tous deux dans le plan du triangle ; il est aisé de voir que ce raisonnement n'en serait pas moins concluant , quand bien même cea points seraient situés hors de ce plan. Dans ce cas , ils se trouveraient situés de différens côtés du plan du triangle.

Si le point p est le centre du cercle inscrit , le point P deviendra le point d'intersection des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle sur les directions des côtés opposés. On peut donc de notre théorème conclure comme corollaire la proposition suivante :

Corollaire. Dans tout triangle , les perpendiculaires abaissées des sommets sur les directions des côtés opposés se coupent toutes trois en un même point , situé en ligne droite avec le centre du cercle inscrit , et le centre de gravité de l'aire du triangle. Ce dernier point est au tiers de la droite qui joint les deux autres à partir du second.

»;a TRIANGLE

Cette dernière proposition a été démontrée pour la première fois par M. Le Français , dans son Application de P algèbre à la géométrie. On voit avec quelle simplicité elle se déduit de notre théorie.

THÉORÈME IV. Si quatre droites partant des sommets d un tétraèdre concourent en un même point de /* espace , leurs parallèles respectives , partant des centres de gravité des aires des faces opposées concourront aussi en un même point , et réciproquement» En outre , la droite qui joindra ces deux points contiendra aussi le centre de gravité du volume du tétraèdre , lequel la divisera en deux parties dont l'une sera quadruple de t autre.

Démonstration, Soient A > B > C , D les sommets du tétraèdre , a , b , c , d les centres de gravité des aires des faces opposées , et G le centre de gravité du volume de ce tétraèdre, a , b , c , d seront les sommets d'un tétraèdre semblable à ABCD , dont les arêtes , quatre fois moindre que les siennes, leur seront respectivement parallèles. H est de plus aisé de voir que G sera le centre commun de gravité des volumes de ces deux tétraèdres , et conséquemment leur centre de similitude.

Soit P un point de l'espace situé d'une manière quelconque par rapport au premier tétraèdre , et soit p son homologue par rapport au second ; ces deux points devront être en ligne droite avec le centre

AB AC BC AD BD ED de similitude G ; et, comme on a— -= — =— = — -=-—>=— —=4. on

*b ac bc ad té eè

devra avoir aussi — =4* E°fîn > le* points P et p étant des points

homologues et les deux tétraèdres ayant les arêtes parallèles, chacune à chacune , les droites PA , PB , PC t PB devront être respectivement parallèles a leur» homologues pa , pb , pc , pd ; ce qui complète la démonstration de notre théorème.

Remarque. Il a été démontré ( tom. II, pag. i^i et i43 ) que,* dans un tétraèdre dont les arêtes opposées sont respectivement perpendiculaires , les perpendiculaires abaissées des sommets sur les plans des faces , ainsi que les perpendiculaires élevées aux plans

ET TETRAEDRE. ,73

de ces faces , par Us centres de gravités de leurs aires , se coupaient tontes quatre au même point ; .et l'on voit qtf*<nv verra de notre théorème , chacune de ces deux propositions est une conséquence nécessaire de l'autre. Le même théorème fait voir en outre que la droité qui joint ces deux points contient le centre 'de gravité du volume du tétraèdre , et que ce point la partage en deux parties dont Tune est quadruple de l'autre. . v .1

Si l'on projette le tétraèdre su? un plan quelconque , sa projection sera un quadrilatère avec ses deux diagonales, ; les projections des centres de gravité des aires de ses faces seront les centres de gravité des aires de leurs projections ; | les projections des droites concourrant en un même point, concourront aussi en un même point , et les projections des droites parallèles le seront elles-mêmes. Notre théorème donne donc lieu' au corollaire suivant.

Corollaire. Si quatre droites partant des sommets d'un quadrilatère concourent en an même point , leurs parallèles partant respectivement, pour chaque sommet, du centre de gravité de, l'aire du triangle formé par les trois antres , concourront aussi en un même point j et réciproquement (*).

'(') Oit peut consulter , pour le» antres analogies entre le triangle et le tétraèdre r la page iî3 du deuxième volume et la page 317 du «rowUaue volume de ce

?om~ VIL

i7< SURFACES

GEOMETRIE ANALITIQUE.

Caractères des surfaces de révolution , en général et en particulier , de celles du second ordre , dans le cas des coordonnées obliques ;

Par M. ***.

Om trouve , dans le troisième volume de 1» Correspondance str t école polytechnique ( pag. 196, ao3 , 2o5, 3i3 ), diverses méthodes pour parvenir aux conditions qui expriment que l'équation générale du second degré , à trois indéterminées , appartient à une surface de révolution , du moins eo supposant que ces indéterminées expriment des coordonnées rectangulaires.

Dans le troisième volume du présent recueil ( pag. iti ) , M. Berard a indiqué ce qu'il faudrait faire pour étendre cette recherche au cas où la surface proposée se trouve rapportée à des axes obliques quelconques. En substituant en effet , pour a , b , e , d , dans

(*f-9flj)»— 3tff)(r*— 3^)=o ,

les coefficiens de son équation '+) ( pag. 110) , le premier membre de l' équation résultante doit devenir la somme de trots quarré»;et, en égalant séparément la racine de chacun d'eux à zéro , on doit parvenir à trois équations de condition , telles que chacune d'eUea

DE REVOLUTION. 175 se trouve comportée par les deux autres. Malheureusement , outre que cette manière de parvenir aux conditions cherchées , qui suppose d'ailleurs Ja connaissance préalable de l'équation (4) , est assez laborieuse , il n'est point commode d'en déduire les équations de l'axe de révolution (*).

(•) Ces inconvéniens n'ont point échappé à M. Bérard ; car , dans un inédit qu'il m'a communiqué, au commencement de 1816, il présente celle recherche sous on point de vue un peu différent. Voici , en dernière analise , a quoi son procédé se réduit.

En supposant , pour plus de simplicité , la surface rapportée à son centre , ce qui ne change rien au fond de la recherche dont il s'agit r et en repréa enson équation par

Àx'+By'+Cz'+xd'yt+zB'ix+zC'xy^E -T (i)

il a été démontre* ( ton. VI, pag. 168 ) que

x-mz , ymt , (a)

étant les équations d'un diamètre principal, on devait avoir

(^r»— E)m+{B'r»—ECos.lO «H^V— JECos.y)/! =0 , (Br*—E)n +(£'/-».— £Cos.y)m 4<^r»— JTCos..) = o , (O-»— E) +(^r*— £Cos..> -H*''*— £Cos./s)/n=Oi (

équations dans lesquelles r exprime îa longueur de la moitié du diamètre. S r» entre elles , ce qui conduira à deux équations de la forme

a m'4-h mn+c n*-\-d m-he nArf = 0 ,

et qu'on élimine ensuite n entre ces deux-ci , en obtiendra une équation £»*1»

i"G SURFACE

On â lieu d'être surpris qu'aucun des géomètres qui se sont occupés de cette question , n'ait songé à y appliquer la transformation des coordonnées qui , comme on va le voir , dans le cas même des coordonnées obliques , conduit au but d'une manière

en m qui sera du troisième degré seulement et qui répondra aux trois direction* qu'un diamètre principal peut avoir.

Si la surface est de révolution , l'une de ces directions doit être celle de l'axe, et lis deux autres doivent Jcuieuirr in Jétcrminécs ; il faut donc alors que celte équation du 3.« degré s'anéantisse d'elle-même , c'est-à-dire , que ces quatre COcfhciçns doivent être eg:ilés à zéro.

Jtlais les quatre équations de relation qu'on obtient ainsi peuvent être remplacées avec avantage par deux autres seulement. Pour obtenir celles-ci, on remarquera que , dans le cas dont il s'agit , pour que les équations (4) ne conduisent qu'à uu seul svstcmc de valeurs de m et n , 'il faut qu'elles admettent uu facteur commun , fonction du premier degré de ces deux quantités. Posant donc

za'-J- j mn+~ nl + m-\- ^ n-\- j = (/n+^»+^)('n+<»n+/») ,'

m>+ - mn\- n* + - m+ = (>+/>/î+?)r>+«//!+s/) î

et exprimant séparément que chacune de ces équations est identique , on aura * d'une part , einq équations entre p , q , m , fi , et d'une autre , cinq ôquations entre p , q , m! , fi' ; faisant donc , de part et d'autre , l'élimination de ces quatre inconnues , on obtiendra les deux équations de condition cherchées.

Le calcul nécessaire pour effectuer cette élimination conduira aux valeurs d# * , fi » *' , P. Réiolvant alors Ici deux équation»

m+*n+fi—o , m+ n'a+isAso ,

elle» feront connaître le» yalcurs de m et n qui conviennent à l'axe de révolution.

Tout cela est très-exact ; mai» nous pensons que le procédé que l'on va exposer pourra peul-élrc paraître un peu plu» simple et plu» »> métrique.

DE REVOLUTION. ,77 extrêmement simple , ne présuppose aucune recherche préalable , n'exige que des calculs d'une symétrie parfaite , et a sur-tout le précieux avantage de pouvoir être indistinctement appliquée aux surfaces de tous les degrés.

Pour plus de simplicité , nous supposerons , dans tout ce qui va suivre , que la surface est déjà rapportée à son centre. Le fait prouvera que cette supposition n'ôte absolument rien à la généralité des résultats. En conséquence , nous donnerons à l'équation de cetU surface la forme suivante:

jtx%+JBy*+C£*+2A'yz+2B'zx+aC'sy=E ; (1)

et les angles des coordonnées seront supposés « , j» , yi

Soient / , v , v les coordonnées d'un système rectangulaire de mémo origine que le premier. On sait qu'en posant

/=a x-\-b y-\-c z , J v=a' x+b1 y-\-c' z , \ (2) v=.aux-*f-b"y-\'C"z , J

on doit avoir

i^.^//.-, , j (3) £a+*a<+c"o"=Co$.t ! (4)

Cela pose' ; lorsque la surface est de révolution , on peut la rapi poser d'abord rapportée aux coordonnées rectangulaires ; et , en admettant que l'axe des 9 est l'a*e de révolution , son équation sera de la forme

i7t SURFACES

Jf et /V étant deux constantes dont les grandeurs et les signes particularisent la surface.

Passant ensuite aux coordonne'es obliques , cette équation deviendra

ou , en développant , ordonnant et ayant égard aux relations (3, 4) i

{^(t+A/^'V-HCos.*-- {\+M)b>'c")yz +{ i i +^/,}r>+{Cos. *-( i +M)c»a»}zx -H t -( i -Mf )*"}x'+{Cos.y-(i +My'è")zy

Cette équation ne devra donc différer de l'équation (i) que par le facteur — . Exprimant donc qu'il est ainsi , nous aurons les six équations

£{i-(i+Jf>'*}=^iV , £{Cos.— (i+M)b»c>* = A<Nt JE{i— (i+M)b">\=BN \ £{Cos.*-(i+Jlf)tf^^= B'N , ^|î— (i+My»}=CN ; JÊ'Cos.y— (i+M)a»b»)=C>N . En y Taisant

(•) En général , v étant l'axe de révolution , l'équation d'une surface quelconque de révolution est de la forme

rnau ici ou la surface ett du second ordre et « son centre à l'origine , ott doit avoir /(f)=AIf»+N ; M et N étant deux constantes.

( Nota de fauteur. )