DE REVOLUTION
'A»-BC=u , J5-K-3^'Cos.-=:«' ;
B»-CA=b , C+A-iB>Cos.t=b> ;
C»-AB=c , A+B-zC'Cos.y^c' ; j
trouvera d'abord
a'Sîn.»/»— i'Sin.'* oSin.'*— 5Sin.»«
«Sin.»S— A5in.>* *
ob>—ba'
5'Sin.»y— c'Sin.'S
iSm.»y— cSin.'S
ASin.*y-^cSin.,/»
c'Sîn.*»— o'Sio.'y
r SIn.d — flSin.'y
Voill donc la valeur de k sous six formes différentes ; et noua avons en outre les trois équations de condition
(aSin,**-*Sîn.'«)*4-(a£'— Sa'Xo'Sin.*/*— PSÎn.»»):=o , Nous aurons encore
^Sin.» m— a'Si n. *y cSia.1*— oSin.Jy '
J~~r flSio.»*-*Sin.«» J ce qui donnera pour h double équation de Taxe de révolution
(*4?CoS.>*zCoS.*) T/ *Sin..,r->Sin?r
VIL aS
18a FORMULES
En combinant entre elles d'une manière convenable les équations de condition , on pourrait sans doute les remplacer par d'autre* d'une forme plus simple , et qui permettraient de présenter ces derniers résultats sous une forme entièrement rationnelle.
Lorsque les coordonnées primitives sont rectangulaires , le calcul «'abrège d'une manière notable; on a alors
Sin.«===Sin.js=Sin.y=i ;
C08.«=CoS.j8=C0S.y=O .
En conséquence , les équations (7) deviennent simplement
. tf=A'k , fd=B'k , de^C'k .
En divisant successivement par chacune d'elfes le produit des deux autres , il vient
valturs qui , égalées a celles qui résultent des équations (6) donnent
(AA>-B>C>)k=A> , (BB>-CA')k=B> , {CO-A^tesC ; d'où , par l'élimination do k ,
AA>—B>Q BB'—C'A' CC'—A'Bi A~' ~~ ~B> ~~ C ' '
et telles seront les équations de condition. On aura ensuite, par les équations (10)
QUESTIONS RÉSOLUES. i8l
A'd=Bfe=C'f ;
mais , dans le cas actuel , les équations (8), qui déterminent la direction de l'axe de révolution , sont
elles deviendront donc , d'après cela ,
résultats conformes a ceux qu'on rencontre aux endroits cites air commencement de cet article.
QUESTIONS RÉSOLUES
Démonstration des deux théorèmes dé géométrie énoncés à la page 348 de ce recueil ;
Par M. J. B. Durrande.
Les théorèmes dont il s'agit ici reviennent, en dernière analise; aux deux suivans :
THÉORÈME L Soient AB , À'B' , K/W trois droites parallèles Quelconques , tracées, sur un même plan. Soit C le point de concours de À'À" et B/B// ; soù O le point de concours de A"A*
i$4 QUESTIONS
et B"B ; soit enfin C" le point de concours de AA' et BB' ; les
trois points C , Ç/ , C" seront en ligne droite,
THÉORÈME IL Soient ASB , A'SW , A"S"B" trois angles ayant les côtés respectivement parallèles , tracés sur un même plan. Soient M le point de concours de S'A' et S"B" , et N le point de concours de S'B' et S^A" ; soient M' le point de concours de S" A" et SB , et N' le point de concours de S"B" et SA ; ioient enfin M" le point de concours de SA et S'B' , £/ N7'
/W/i/ de concours de SB */ S'A' ; les trois droites MN , AVN' , M"N" concourront en un mime point.
C'est sous ce point de vue que noua «lions envisager ce» deux théorèmes.
I. Soit pris l'axe des x parallèle aux trois droites AB , A'B' A^B" » et soient l'origine et la direction de l'axe des y supposés quelconques. Soient les équations des extrémités de nos trois droites ainsi qu'il suit ;
( xz=a , ( x=a/ t [ x—a" ,
Poor A \ Pour A' { Pour A" \
PourB Pour B' 5 Pour B" j
On aura donc pour De AA' ,
De BB' ,
d'oa l'on conclura , pour le point C" de concours de ces deux droites ;
les équations
RÉSOLUES. j85.
' B>l—ol> b'l—bV ^
Par une simple permutation d'accens, on trouvera pour le point C de concours de A'A" et B'B"
•t pour le point C de concours de A"A et B"B
o/"— a»l bl»—b»l
Or , puisque l'axe des y est quelconque , on peut toujours Sup~ poser qu'on la fait passer par C et C' ; on devra avoir alors
iou plus simplement
o>>l'=a>l» ; aV'=a»l \
d'où encore
•t par conséquent
a>1—aï l—L>
le point C" sera donc aussi alors sur Taxe des y ; ce point es| donc en ligne droite avec les deux autres.
H. Soient pris les axes des coordonnées respectivement parallèles aux côtés des trois angles ASB , AW , A"S"B" e l'origine étant d'ailleurs quelconque.
a8C QUESTIONS
Soient alors les équations des sommets S , S> , S" ainsi qu'a
Pour S J Pourri Pour S" {
En conséquence , les équations du point M" , intersection de SA et S'B' et du point N" , intersection de SB et S'A' , seront
Pour M" { Pour N" {
l'équation de M"H"
bu encore
Par une simple transposition d'accens , on trouvera \ pour les équations
De MN ; (3/-^0*4-(^-«/'}H-(^//-^^)=o ,
De Mil' , a )y+{a b —a!>b<>)=o .
Puisque l'origine est quelconque » on peut supposer qu'on l'a placée à l'intersection de ces deux dernières droites , ce qui revient i supposer qtfeU<<* passent toutes deux par cette origine ; on doit avoir alors
a»l"=a'h' , al=a»l» ; .
et par conséquent
e'b'=ab ;
RESOLUES. 187 la droite M"N" passe donc aussi alors par l'origine ; elle concourt donc au même point avec les deux autres (*).
(*) De* droites comprises dans un même plan n'étant qu'on cas parliculier d'un système de droites situées d'une manière quelconque dans l'espace , et des droites parallèles , soit sur un plan soit dans l'espace , n'étant /gaiement qu'un cas particulier d'un système de droites concourant en un point ; il s'ensuit que le premier de nos deux théorèmes n'est qu'un cas très-pari iculier du suivant : .
THÉORÈME. Soient AB , A'B' , A"B" , rroiV droites situées dans l'espace d'une manière quelconque , en sorte néanmoins que leurs directions concourent en un mime point. Si C est le point de concours de A'A" et tVW ; que C soit le point de contours de A "A et B"B ; et qu'enfin C" soit le point de concours de AA' et B& ; Us trois points C , C , O» seront situés sur me mime ligne droite,
La vérité' de ce théorème s'aperçoit immédiatement en remarquant que AB t A'B' , A"B" peuvent être considères comme les arêtes late'rales d'un tronc de pyramide triangulaire , dont alors les deux bases sont AA'A" , BB'B" ; et que , les points C f C , C" étant ceux où concourent les côtes corresponds™ de ces deux bases , ces points doivent se trouver sur la commune section de leurs plans , et par conséquent en ligne droite.
Mais on peut aussi supposer que les deux bases AA'A? , BB'B" se coupent, 1 entre les arêtes latérales ; donc , si D est le point de concours de A'B" et A"iyt que Ty soit celui de A"B et AB" , et enfin D" celui de AB* et A'B ; D» et D" seront en ligne droite avec C , D" et D avec O, et D, & avec C" g dp sorte que te» six points C , O , C" , D , D' , D" seront sur quatre droites , et conse'queniment dans un même plan.
Soient présentement quatre droites AB , A'B' , A"B" , A'" , B"' , concourant, en un mime point dans l'espace ; en combinant ces quatre droites deux à deux , comme nous l'avons fait ci -dessus ; c'est-à-dire , en menant A A' et BB' , AA* BB" , A'A" et B'B" , AA"' et BB"' , A'A'" et B'B'" , A"A'" et B"B"' j on obtiendra six points de concours, lesquels, devant être situés sur quatre droites, seront conséquemment dans un même plan.
Eu menant , au contraire, les droites AB' et A'B , AB" et A"B , A'B" et A1V, AB"' et A"'B , A'B'" et A'"^ , A"B'" et A"'B" , on obtiendra six nouveaux points qui seront deux à deux en ligne droite avec un des six premiers , ou trois à trois dans nn même plan avec trois des six premiers 1 de sorte que les douse
188 QUESTIONS PROPOSÉES
QUESTIONS PROPOSÉES
Théorème d'analiso indéterminée.
IL nombre n , plus grànd que deux , est ou n'est pas premier , suivant que a*-' — i est ou n'est point divisible par n.
Problème de Combinaison,
On a m lettres , parmi lesquelles il se trouve des a en nombre m , des l en nombre a , des c en nombre > , et ainsi de suite ; en
aorte qu'on a ssm. De combien de manières différentes
ces m lettres peuvent-elles être disposées circulairement les unes à côté des autres ?
points seront «or seiie droite» , lesquelles seront elles-mêmes situées sur qua.tr* plan*.
De ces propriétés, il est facile de déduire celles des centres et des axes de «imilitude f tant interne qu'externe , des cercles et des sphères , qui ont clé établies ( ton». VI , pag. 3i6 et suiv. } j il ne s'agit pour cela que de considérer les cordes de contact des cercles ou les plans des lignes de contact des sphères comme des eétés homologues ou comme des plans de faces homologues de polygones ou de polyèdres semblable» , inscrits à ce» cercles et à ces sphères.
