ttTang.I^ng,dupérihélie(wr/V/://>/;>i

H résulte clairement , de tout ce qui précède , que le problème de la recherche des élémens de l'orbite d'un astre se réduit , en dernière analise , à trouver pour un instant quelconque donne les coordonnées de son centre , par rapport à trois axes rectangulaires passant par le centre du soleil , et ses vitesses , pour le même instant , parallèlement à ces trois axes. Dans un autre article , nousessayerons de traiter ce dernier problème , du moins par approximation , et eu partant d'observations peu distantes les unes des autres.

(*) Ce qm les astronomes sont dans l'usage d'appeler longitude du périhélie sur l'orbite , n'est point proprement une longitude , suivant la dtTinition de ce mot ; et cela est d'autant plus propre à induire en erreur que souvent ils désignent cette donnée , d'une physionomie as se* bizarre d'ailleurs , sous la simple, ^nomination de longitude du périhélie,

T*m. VIL $

i3 COURBURE e ■ 1 =

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

Recherche du plan oscillateur et du centre de courbure dune ligne courbe , en un point donné;

Par M. Ch. Dcpin , capitaine da génie maritime , correspondant de l'académie des sciences , institut de France.

a inséré depuis peu , dans le Bulletin des sciences , la notice d'un mémoire , dans lequel M. Hachette traite la question suivante : Trouver , pour F un quelconque des points d'une courbe plane ou à double courbure , donnée dans l'espace par deux surfaces dont elle est t intersection , /* plan osculateur et le rayon de courbure de cette courbe ?'

Un illustre géomètre avait déjà traité cette question, par la considération des surfaces développables. M. Hachette y emploie des surfaces gauches, ce qui en complique nécessairement la solution, sans la rendre au fond difïdrente de celle de M. Monge.

Lorsqu'une courbe est donnée , dans l'espace , par l'intersection de deux surfaces , ou de toute autre manière ; il faut , pour pouvoir lui appliquer les procédés de la géométrie descriptive , la projeter •ur deux plans. Or , nous allons voir qu'alors la simple méthode des projections suffit pour résoudre complètement le problème dont il s'agit.

LEMME. Les centres de courbure , pour un mime point P ,

DES COURBES. 19 de tovtes les projections orthogonales d'une même courbe , sur des plans conduits par sa tangente en ce point P , sont tous situés sur une mime droite , perpendiculaire au pian oscillateur mené à la courbe primitive par ce mime point P.

Démonstration, Considérons l'un des cylindres projetans de la courbe proposée , ainsi que là sphère ayant pour grand cercle le cercle osculateur de la projection , base de ce cylindre. Ces deox surfaces auront , suivant la tangente en P , un contact du second ordre ; d'où il résulte ( Dévelop. de géom. pag. 3G ) que tout plan conduit par celte tangente, et conséquemment le plan osculateur, coupera la sphère et le cylindre suivant deux courbes ayant de même entre elles un contact du second ordre ; mais ce dernier plan coupe la sphère suivant un cercle ; donc ce cercle est le cercle osculateur de la courbe primitive en P ; et conséquemment le centre de la sphère , centre de courbure de la projection , est aussi un des centres de courbure de la courbe primitive. Les centres de courbure de toutes les projections se trouvent donc être ainsi les centres d'une suite de sphères passant toutes par le cercle osculateur de la courbe primitive ; ces centres sont donc sur une même droite perpendiculaire au plan de ce cercle et passant par son centre*

PROBLÈME. Construire le plan osculateur et le centre de courbure d'une courbe donnée en un point donné ?

Solution, 7.*r Cas. Supposons d'abord que la courbe soit projetée orthogonalement sur deux plans quelconques, passant par sa tangente en P ; on verra sur-le-champ , par ce qui précède :

i.° Que la droite joignant les centres de courbure des deux projections en P , sera , pour ce .même point , le lieu des centres de courbure ;

2.0 Que le plan conduit par P, perpendiculairement a cette droite, sera le plan osculateur de la courbe en P ;

3.° Enfin , que l'intersection de ce plan et de cette droite sera le centre de courbure de la courbe , pour le même point P.

Il n'est pas difficile de voir , d'après cela , ce qu'il y aurait a

ao COURBURE

faire , si les deux plans de projection , au lieu de pftsjer par La tangente , lui étaient simplement parallèles.

//.m* Cas. Supposons présentement que les plans de projection soient quelconques par rapport à la tangente en P ; soient T cette tangente et C la courbe (*) ; de manière que CA , C„ soient les projections de la courbe Tk , Tv celles de sa tangente , et enfin t Vh t Pv celles du point de contact. Soient de plus H et V les rayon$ de courbure de Ch et Cv, en Pfc et Pv.

Soit menée la droite de projection PAPV et soient menées à cette droite deux parallèles quelconques qui en soient équidistantes ; et concevons que Th et Tv représentent les longueurs des parties de tangentes interceptées entre ces parallèles ; PA et P„ seront ainsi les milieux respectifs de Tt et Tv.

Soit menée à Ta, du côté de la concavité de CA, une parallèle (AB)A , qui en soit distante d'une quantité troisième proportionnelle à H et à >T\. Soient Oa le point où celte droite (AB\ coupe P^Pvi «t AA , Bfc les points où elle coupe les deux parallèles à PAPV.

Soit pareillement menée à Ty , du côté de la concavité de Cv î une parallèle (AB\,, qui en soit distante d'une quantité troisième proportionnelle à V et à fT,,. Soient Ov le point où cette droite (AB)V coupe PAP„ , et Av , Bv les points où elle coupe les deux parallèles à P^

Alors le plan conduit par P et par AB sera le plan osculateur 8c la courbe G en P ; et son rayon de courbure au même point sera une troisième proportionnelle à la distance du point P a AB et à la moitié de la longueur de cette droite.

Démons/ration. Concevons que , sur OfcPfc et OhAh , comme demi-

(*) Nous cmploîron» ici une notation commode , dont nous avons d«!i» fait l'essai , dans nos Développemens Je géométrie. Elle consiste a représenter les projetions horizontale et verticale des divers objets , considères dans l'espace , par les lettres même qui représentent ces objets , mais affectées des indices respectifs h et v.

DESCOURBES. ai

diamètres conjugues on construise une ellipse EA et que sur OvP^ et OwAv , pris aussi comme demi-diamètres conjugués , on construise une autre ellipse E„; ces deux ellipses se trouveront ainsi comprises entre les deux parallèles a P^Pv » qui en seront des tangentes communes. De plus , d'après la construction £A et Ev seront respectirement osculatriccs de Ch cl C*, en Vh et P„ (*).

(*) Ceci est fondé sur le théorème que voici :

THEOREME. Le rayon de courbure d'une ellipse , en un quelconque de set points , est troisième proportionnel à la distance de ce point au diamètre parallèle à ta tangente , et à la moitié de ce diamètre.

Ce théorème , dont M. Dupin fait tro grand- usage dans ses Développement de géométrie , se déduit fort simplement de la théorie qu'il y expose ( voyes la page 2g de cet ouvrage ). Il peut aussi se démontrer directement comme il suit.

On a vu (Annales, tom. VI , pag. 239 ) qu'en prenant respectivement pour •xcs des x et des y la tangente et la normale en jin point quelconque d'un* ligne du second ordre, l'équation de cette courbe était de la forme

R étant le rayon 4« courbure qui repond a l'origine»

Il est connu d'ailleurs ( Annales , tom* VI , pag. 160 ) quâ le* dérivées de cette équation , prises successivement par rapport i * et à y , sont les équations de deux diamètre», c'est -4-dire , de deux droites qui se coupent au centre de la courbe ; de sorte qu'en désignant par m et fi les coordonnée» de ce centre » m doit avoir

N—ARt—o , 2fi—A*—Nzso ; (a)

dVu on tire

Cet valeurs étant substituées dan* l'équation (O , elle devient