COURBURE

Gela posé , considérons les ellipses Ek et Ev comme les Bases de deux cylindres de projections ; ces deux cylindres ayant les mêmes plans tangens , en A et B , auront une commune section plane , passant par A , B , P , et dont E» et Ev seront les projections ( Mém. fur les contacts des sphères et des surfaces du second degré. Dupin ).

Cette intersection des deux cylindres oscule nécessairement C en P; d'où il suit que le plan conduit par P et AB est osculateur de C en P.

Et, comme le rayon de courbure, en P de l'intersection plane des deux cylindres est aussi celui de la courbe C au même point ; il s'ensuit que ce dernier est troisième proportionnel à la distance de P à AB et à la moitié de la longueur de cette droite.

Voilà donc la courbe exprimée en fonction du rayon de courbure cl de» coordonnées du centre.

L'équation du diamètre parallèle à la tangente, ou à l'axe desx, est y=/J; en la combinant avec l'équation (4) , il vient

tquatfon qui fera connaître les deux extrémité» du diamètre , et qui donne

Si l'on appelle a* la longueur entière du diamètre dont il s'agit , a sera la demi-difféience de ce» deux valeurs ; c'est-à-dire qu'on aura

o=yfhï ou ^:a,R't

tonformément • l'énoncé du thc'oàme.

DES COURBES. a3 Remarque* 11 est un cas particulier qui mérite d'être remarqué : c'est celui où la tangente T 4 C, par le point P , t>e trouve dan» un plan perpendiculaire à la fois aux deux plans de projection. Il ne suffit plus alors que Ek et £v aient avec Ck et C,, un contact du second ordre , pour que E oscule C en P. Il est nécessaire , dans ce cas , que les daux contacts soient du troisième ordre , ainsi qu'il serait facile de le démontrer. - .

Si de plus , dans ce même cas , on suppose le plan osculateur de Ja courbe proposée parallèle à l'intersection des deux plans de projection ; le rayon de courbure de cette courbe se trouvera immédiatement donné par ce théorème , que nous avons exposé ailleurs ( Décelop. de giom. ) : Si l'on projette une courbe sur deux plans à angle droit , parallèles au rayon de son cercle osculateur en un point P ; au mime point P , la somme des rayons de courbure des deux projections de cette ligne , est égale au rayon même du cercle osculateur de la courbe proposée.

Nous ne saurions terminer sans signaler à l'impartiale justice des géomètres Ja phrase suivante , qui termine la notice sur le mémoire de M. Hachette : « L'application de ces diverses propositions 9 est de la plus haute importance dans les arts graphiques ; » elle donne la mesure de la quantité de courbure des lignes et 9 des surfaces , dont on n'a déterminé , jusqu'à présent , que la » direction , par les tangentes et les plans tangens. » .