LIEUX GÉOMÉTRIQUES

GÉOMÉTRIE ANALITIQUE.

Sur les intersections des lignes et des surfaces.

Extrait d'un mémoire présenté à l'académie royale des sciences , en décembre 1816;

Far M. Lame , ancien élève de lecole polytechnique.

On sait qu'un même point peut être donné sur un plan , d'une infinité de manières différentes , par l'intersection de deux courbes; qu'une même courbe peut être donnée dans l'espace , d'une infinité de manières différentes , par l'intersection de deux surfaces ; et qu'enfin un même point peut élre donné dans l'espace , d'une infinité de manières différences , par l'intersection de trois surfaces.

Lors donc que , cherchant analitiquemcnt un point sur un plan , par l'intersection de deux lignes , ou une ligne dans l'espace par l'intersection de deux surfaces , ou enfin un point dans l'espace par l'intersection de trois surfaces , on est parvenu à des lignes ou surfaces qui par leur intersection déterminent le point ou la ligne cherchés , on ne doit point s'arrêter là ; et , pour ne rien laisser à désirer dans la solution du problème dont on s'occupe , il est souvent nécessaire d'examiner si le point ou la ligne cherchés ne pourraient pas être obtenus, ainsi qu'il arrive fréquemment, par l'intersection de lignes ou de surfaces plus simples que celles qu'on avait d'abord obtenues. C'est ainsi , par exemple , que l'on peut substituer aux intersections de deux cercles celles de l'un d'eux avec la corde quii Tom. VU , n.° FII1 , 1 ."JèrrUr 4817. 3 u

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leur est commune ; elle recueil à qui je livre ces réflex'ons offre, en particulier , un grand nombre d'exemples , très-remarquables , de l'emploi le plus heureux de ces sortes de substitutions.

On se trouve donc naturellement conduit, par ces considérations, a la recherche des conditions nécessaires, i.° pour que trois lignes tracées sur un même plan se coupon t en un même point } a.0 pour que trois surfaces se coupent suivant une même courbe ; 3.° enfin , pour que quatre surfaces se coupent en un même point. Je vais traiter ces questions pour les lignes et surfaces du premier et du second ordre seulement ; je tirerai ensuite des résultats que j'aurai obtenus quelques conséquences théoriques et pratiques qui ne me paraissent pas dépourvues d'intérêt. Je supposerai constamment , d'ailleurs , que les coordonnées sont rectangulaires.

PROBLÈME IL Trouver la condition nécessaire pour que treis droites passent par un même point f

Solution. Soient les équations des trois droites ainsi qu'il suit :

l'élimination de x et y entre elles donnera sur-le-champ , pour la condition cherchée , l'équation

ob>c»~ac'b»+ca'b»—bo'c»+bc'a»— cPo»=o . (2)

Mais on peut parvenir au même résultat par un procédé un peu différent qui , à la vérité , n'a dans le cas présent , aucun avantage marqué sur celui-là ; mais qui nous sera fort utile pour les autres recherches auxquelles nous aurons ensuite à nous livrer.

En prenant la somme des produits des deux premières équations^!) par deux multiplicateurs indéterminés m, m' , il viendra

GÉOMÉTRIQUES. a3t

(am+a'm')x+(om+è'm')y+(cm+c'm') =o, (3)

équation qui , à cause de l'indétermination des multiplicateurs m , w'.cst propre à représenter toutes les droites qui passent par Tintersection des deux premières droites (i).

Si donc on veut que ces trois droites se coupent en un même point , il devra être possible de disposer des indéterminées m et m' de manière à faire coïncider la troisième équation (i) avec l'équation (3). Cela donnera

am-\-a'm>=a» % lm+l'ml=b» , cm-\-c<ml=c" ; (4)

et , en éliminant m et m' entre ces trois équations , on retombera de nouveau sur l'équation (a).

PROBLÈME IL Trouver les conditions nécessaires povr que trois lignes du second ordre se coupent suivant les mêmes points ?

Solution. Soient les équations des lignes dont il s'agit ainsi qu'il suit :

a s*+2b xy+c y*+2d jr+a* y-\-f =0 , «' x*+*h> xy+c> y*+*d! x+*e> y+f =0 , o"x*-\-2ù"xy-\-c"y*+2d"x+2e "y+f'= o .

Soit prisa la somme des produits des deux premières équations par deux multiplicateurs indéterminés m et m' ; on aura ainsi

(tfm^-tf'/l»0**^-a(3OT4■^/»Oaf/-^-(r/n^-r/mOr, +*{dm+dm')x+2{em+e/m')y{fm+fm')x=o ; (a)

équation qui , dans sa généralité , représente toutes les lignes du second ordre qui passent par les intersections des deux première» lignes (1).

Remarquons , avant d'aller plus loin , que cette équation pourrait

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fort Lien , en général , appartenir à une parabole , mais de deux manières seulement, puisque la condition

(J>m+b'my=. {am+o'm'){cm+c?m')

détermine le rapport — , et ne lui assigne uniquement que deux va-

leurs. Remarquons encore que celte équation ne saurait généralement appartenir à un cercle. 11 faudrait , en effet , pour cela , qu'on eût en même temps

am+a'm'=.cm'\rc'm' , Im+b'm'—o ,

c'quations d'où on tire

m ____ a' — c> m fr m' a — c * m! ~ b '

et , par suite ,

Ha'— S)=l>'(a— c) :

Telle est done' la condition nécessaire et suffisante pour qu'un cercle puisse passer par les intersections de nos deux courbes.

Mais cette même équation (2) pourra représenter une infinité d'ellipses et d'hyperboles; et , si l'on veut , en particulier, qu'elle représente la troisième courbe (1) ou, ce qui revient au môme, si l'on veut que les trois courbes (1) aient les mêmes intersections , il faudra qu'on ait, à la fois,

am+a'm'—a" , lm-\-b'm'—l" ; cm+c'm'=c" , )

àm+d'm'=à' , cm+c>m'=c» , fm+fm'=f . )

^'élimination de m et m' entre ces six équations conduira à quatre autres qui exprimeront les conditions cherchées. JUs équations

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am+a'm'^a" ,

dm^d'm'—d" , " sont ( Pro3. / ) celles qui exprimeraient que les trois droites

a x+o y+d =o , a' x+l' y+d» =o , a"s+B"Y+d"xio ,

eoncourent en un même point. Mais on sait d'un autre côte" ( Annales , tom. VI , pag. 160 ) que chacune de ces dernières équations est celle du diamètre de chaque courbe qui coupe en deux parties égales les cordes parallèles à l'axe des x\ et, puisque d'ailleurs la direction de cet axe est quelconque , on en peut conclure le théorème suivant : THÉORÈME. Si plusieurs sections coniques ont quatre points communs ; dans quelque direction qu'on leur mène des diamètres parallèles , les conjugués de ces diamètres concourront en un même point.

Au moyen de ce théorème , on peut facilement résoudre les deux problèmes suivans : •

PROBLÈME 1. Étant donnés cinq points du périmètre d'une section conique, déterminer graphiquement son centre? - Solution. Soient A, B, C, D, E (fi g. i) les cinq points donnés. Le système des deux droites MBA, MCD peut être considéré comme une section conique, passant par les quatre points A , B , C , D ; et il en est de même du système des deux droites ANC , BND ; mais la courbe dont il s'agît doit aussi passer par ces quatre points ; voilà donc trois sections coniques qui ont quatre points communs;

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d'où il suit que les conjugue'* des diamètres qui , dans ces trois lignes, sont parallèles à la corde DE de la troisième doivent concourir en un même point P. Or , ces conjugués MP , NP sont trèsaisés à déterminer , pour les sections coniques AMD , AND , dont les centres M , N sont connus ; leur construction déterminera donc le point P , qui sera aussi conséquemment un des points du conjugué du diamètre qui, dans notre courbe, est parallèle à la corde DE; mais le milieu Q de cette corde est aussi un point de ce conjugué] donc la droite PQ , conduite par ces deux points , est un diamètre de notre courbe. En opérant ensuite par rapport, à AE comme nous l'avons fait par rapport à DE , on déterminera un autre diamètre de la même courbe, lequel , par son intersection O avec le premier, en fera connaître le centre.

Une fois le centre connu , on pourra déterminer les autres élémens de la courbe , par des procédés sur lesquels nous n'insisterons pas , parce qu'ils sont tout-à-fait étrangers à notre objet.

PROBLÊME IL Étant donnés quatre points du périmètre d'une parabole , construire graphiquement la direction commune des diamètres de la courbe ?

Solution. Soient A , B , C , D (fig. 2) les quatre points donnés. Le système des deux droites MBA , MDC peut être considéré comme une section conique passant par les quatre points A , B , C , D ; et il en est de même du système des deux droites AND , BNC ; ces deux systèmes forment donc , avec la parabole dont il s'agit , trois sections coniques ayant quatre points communs j d'où il suit que pour ces trois lignes les conjugués des diamètres parallèles à une même droite fixe doivent concourir en un même point } donc , en particulier, si, pour les deux lignes AMC, ANC, on trouve deux systèmes de diamètres conjugués parallèles, l'une des deux direction* qu'ils affecteront sera la direction d'un diamètre de la parabole.

Tout se réduit donc à mener par le point B une droite , rencontrant ND en X et MC en Y , telle que P et Q étant les milieux respectifs de BY et 0X, les droites MP et NQ soient parallèles?

GÉOMÉTRIQUES. 235 Supposons le problème résolu. Considérons lo parallélogramme BNXlt ; RQ sera égal à NQ ; la droite BXY sera donc conjuguée à RN , et à sa parallèle EF ; U figure BFYE sera donc aussi un