COURBURE

Sur les plans oscillateurs et les rayons de courbure des lignes planes ou à double courbure , gui résultent de l'intersection de deux surfaces ;

Par M. Hachette.

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Extrait du Bulletin des sciences. (»)

De toutes les propositions d'analise appliquées à la géométrie , les plus importantes sont relatives à la courbure des lignes et des surfaces. Eu les de'montrant , par des considérations dégagées de tout calcul , on augmente le domaine de la géométrie , et les théories les plus abstraites deviennent applicables aux arts les plus usités. Le mémoire de M. Hachette conduit à une règle générale pour construire graphiquement, avec le seul secours de la géome'tric descriptive, les plans oscillateurs , et les rayons de courbure de lignes à double ou simple courbure , qui résultent de l'intersection de deux surfaces. Cette règle se déduit des propositions suivantes :

Une surface réglée (**) ( c'est ainsi que l'auteur nomme la

(*) M. Dupin, dans le précèdent article , ayant fait mention de celui-ci s bous avons pensé faire plaisir à ceux de nos lecteurs qui n'ont point sous la nain le Bulletin des sciences , de le transcrire ici tel qu'on l'y rencontre.

i*') Quelques surfaces de cette Camille , qu'on emploie dans les arts graphiques

surface

DES COURBES. a5 surface non développable engendrée par une droite mobile , quelle que soit d'ailleurs la loi du mouvement ) , étant coupée par un plan; qui passe par une droite de la surface , les points d'intersection de ce plan et dé toutes les autres droites de la même surface , forment une courbe : le point de rencontre de cette courbe et de la droite de la surface contenue dans le même plan , est un point de contact de ce plan et de la surface réglée ; en sorte que le même plan est i la fois tangent et sécant.

a.° La normale en un point de la courbe qui résulte de Tintersection d'une surface et d'un plan , est la projection orthogonale de la normale à la surface au même point , sur le plan de la courbe.

3.° Une surface étant coupée par un plan , la surface réglée , lieu des normales menées par tous les points de la courbe plane, et la surface cylindrique qui a pour section droite (*) la développée de la courbe , sont circonscrites l'une à l'autre.

4* Une ligne à double courbure étant l'intersection de deux surfaces , on peut la considérer comme appartenant aux deux surfaces réglées , lieux des normales aux surfaces proposées , qu'on mènerait par tous les points de la courbe à double courbure ; si , par un point quelconque de cette courbe , on mène un plan qui lui soit perpendiculaire en ce point, ou plutôt perpendiculaire à sa tangente , ce

se nomment sut/ares gauchis , ou plans gauches. Le mot réglée signifie qu'on, peut appliquer l'arête d'une règle sur toulea les droites dont la surface se compose. M. Hachette a démontre* précédemment, i.** que la surface lieu des normales menées par tous les points d'une droite . prise à volonté sur une surface réglée , était l'une des cinq surfaces du second degré qu'il a nommée paroboloiie hyperbolique ; a.° que , dans le nombre infini de surfaces du second degré , dites hyperboloides à une nappe , qui peuvent toucher une surface réglée suivant une droite de cette surface , et avoir avec elle un contact du premier ordre , il 7 a un du ces byperboloïdcs , dont le contact suivant la même droite est du second ordre.

O On nomme section droite d'un cylindre , la' section perpendiculaire m ses arêtes.

( tiotet du Bulletin des science*. > T*m* VI. 4

a6 COURBURE DES COURBES,

plan touchera les deux surfaces réglées en deux points , remarquable! par cette propriété , que leurs projections sur un plan quelconque , passant par la tangente a la courbe à double courbure , sont les centres de courbure des deux sections faites par ce plan sur les surfaces proposées. Menant, par le point de la courbe à double courburo que l'on considère, un plan perpendiculaire à la droite qui joint les deux points de contact dos surfaces réglées et du plan normal à cette courbe , ce plan perpendiculaire sera le plan oscu- Iateur de la courbe , et il coupera la droite à laquelle il est perpendiculaire , en un point , qui sera le centre du cercle osculateur.

Il suit évidemment de la troisième proposition , que les cercles osculateurs de toutes les sections d'une surface , dont les plans passent par une même tangente , appartiennent a une sphère , proposition démontrée par Meusnier ; et , ce qui n'est pas moins évident , toutes les sections obliques dont les plans font , avec une normale a la surface , le même angle , ont un même rayon de courbure , lorsque les sections normales perpendiculaires aux sections obliques , ont même centre de courbure.

Ayant construit graphiquement les rayons de courbure de trois sections quelconques , passant par une même normale d'une surface , M. Hachette fait observer qu'on en déduirait facilement les rayons de courbure et les plans osculateurs des lignes de courbure , dont Monge a le premier donné les équations. En effet, on calculerait ces rayons de courbure , maximum et minimum , au moyen de la formule d'Eulcr

— =4 Sin.»^ — Cos.»^ ; « il r

H et r étant les rayons de courbure de la surface , et < le rayon de courbure d'une section normale , dont le plan fait avec le plan osculateur de la ligne de courbure l'angle A (*). ( Voyez la Correspondance sur T école polytechnique , tome 111 , page i34 ).

(•) M. Hachette observe à ce »ujet que le théorème de M. Du pin , qui con- «Ute en ce que les tangents* aux Jeux lignes às covrburt , m un point aval-

CONT. des LIG. DU a.* ORDRE , sun lis SURF, du MÊME ORD. 27 L'application de ces propositions est de la plus haute importance dans les arts graphiques ; elle donne la mesure de la quantité de courbure des lignes et des surfaces , dont on n'a déterminé, jusqu'à présent , que la direction , par les tangentes et les plans tangcns. — — — — — — ■ 1

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

Recherche de la ligne du second ordre qui en touche trois autres données , sur une surface du même ordre (*) >

Par M. J. B. Durrande.

SoiEMT

deux lignes du second ordre tangentes l'une à l'autre , sur une surface du même ordre, et soient considérées ces deux courbe» comme les lignes de contact de la surface arec deux surfaces conique» circonscrites.

coneue /an hyperbolo'ide à une nappe , divisent en deux parties égaies r angle des deux droites de ta surface , qui passent par le mime point, se déduit trèssimplement de la formule d'Euler. En effet , j étant infini , pour lea deux section» normalct, on »

~Sin.»A+ ^Cos.*À=o ;

équation qui est satisfaite quel que soit le signe de A ; donc celle équation appartient tout aussi bien a la sectior» normale , dont le plan fait avec le plan de la ligne de courbure un angle ^gal à A , qu'a la section dont le plan fait avec ce dernier un angle "A , on dont l'inclinaison sur ce dernier est la même que pour l'autre plan , mais qui est situé du côté opposé.

(*) Cette question a déjà été traitée par M. Châties , dans ta Correspondance sur Vlcole polytechnique ( tom. III , n.° janvier 1814, pag. 16 ) ; mais, quelque ingénieuse que soit la solution de ce géomètre , elle n'ôle rien , comme on va le voir * au mérite de celle de M. Durrande.

a3 CONTACT DES LIGNES DU SECOND ORDRE ?

Le point de contact pourra également être considéré comme une ligne du second ordre suivant laquelle la surface est touchée par une troisième surface conique circonscrite, laquelle ne sera autre que le plan tangent en ce point , qui sera en même temps le sommet de cette troisième surface conique.

Les plans des lignes de contact passent tous trois par une même droite, laquelle est la tangente commune aux deux courbes ; donc, par la propriété connue des pôles , les trois sommets doivent être en ligne droite ; c'csl-à-dire , en d'autres termes , que la droite qui joint les sommets de nos deux surlaces coniques est tangente à la surface du second ordre , et contient le point de contact des deux courbes (*) ; cette droite est donc une arête commune aux deux surfaces coniques.

Ainsi , lorsque deux lignes du second ordre , tracées sur une surface du même ordre , sont tangentes l'une à T autre , les surfaces coniques circonscrites , dont ces lignes sont les lignes dâ contact avec la surface du second ordre , ont une arête commune , laquelle passe par le point de contact de deux courbes ; et il est aisé de voir que, réciproquement, si deux surfaces coniques circonscrites à une même surface du second ordre ont une arête commune , leurs lignes de contact avec cette surface seront tangentes Tune à Vautre aû point où cette même sur/ace sera touchée par l'arête commune.

Cela posé ; soient trois lignes du second ordre , données et quel' conques sur une surface du même ordre. Considérons ces trois lignes comme les lignes de contact de la surface avec trois surfaces coniques circonscrites ; ces surfaces coniques se couperont en quelque point. Considérons ce point comme le sommet d'une quatrième surface conique circonscrite; il est clair que cette surface conique se trouvera avoir une arête commune avec chacune des trois autres ; donc ,

(*) Il est aisé de reconnaître celte droite pour la conjuguât de la tangente commune aux deux courbes.

SUR LES SURFACES DU MÊME ORDRE. z9 par ce qui a été dit plus haut , la ligne de contact avec la surface du second ordre sera tangente à la fois aux trois lignes du second ordre données sur cette surface. On a donc le théorème que voici ;

THÉORÈME. La ligne du second ordre qui , sur une surface du même ordre , touche trois autres lignes du second ordre , données sur cette surface , n'est autre chose que la ligne de contact de la surface du second ordre avec la surface conique circonscrite dont le sommet serait à r intersection des trois surfaces coniques qui auraient pour lignes de contact avec la même surface du second ordre les trois lignes du mime ordre données sur cette surface (*).

Chacune des trois surfaces coniques dont l'intersection doit déterminer le sommet de la quatrième ayant deux nappes ; il s'ensuit que huit lignes différentes du second ordre peuvent résoudre la problème dont il s'agit ici.

pu théorème qui vient d'être démontré on déduit le suivant, comme cas particulier :

THÉORÈME. Le cercle qui , sur une sphère , en touche trois autres donnés , n'est autre chese que la ligne de contact de la sphère avec le cône circonscrit qui aurait son sommet à rinter' section de trois autres cônes touchant cette sphère suivant les cercles donnés.

Si quelqu'une des données du problème était un grand cercle ou un point , le cône qui lui serait relatif se réduirait à uu cylindre circonscrit ou à un plan tangent. Les dix problèmes qui peuvent naître de cette variété de données se trouvent donc tous résolus par ce qui précède.

(*) Il n'est point inutile de remarquer , comme moyen propre à simplifier la construction que les trois surfaces coniques se coupent deux à deux suivant une courbe plane , dont le plan passe par la commune section des plans do leurs lignes de contact. Cette proposition , ainsi qu'une autre , dont elle n'est qu'un cas particulier , ont été démontrée* par M. Chasles , dans l'ouvrage déjà cité (Tome III, pag. 14 et 339).

3o QUESTIONS.

On volt en particulier, i.* que le cercle circonscrit a un triangla sphérique est la ligne de contact de la sphère avec le cône circonscrit qui a son sommet à l'intersection des plans qu» touchent cette sphère aux trois sommets du triangle ; z.° que le cercle circonscrit au même triangle est celui suivant lequel la sphère est touchée par la surface conique circonscrite dont le sommet est à l'intersection des surfaces cylindriques qui touchent la même sphère suivant les trois côtes du triangle.

— SHgSBB 1 ===^g==5— — — — =— ==^^

QUESTIONS RÉSOLUES

Solution du problème physico-mathématique proposé à la page 32o du Vh* volume de ce recueil ;

Par un Abonné.

PROBLÈME. A quelle distance du centre d'une sphère , dont la surface est uniformément lumineuse , un point en reçoit-il la plu* gronde lumière possible ?

Solution. Soient C le centre de la sphère , r son rayon » P le point cherché, et frisons CP=x.

Si l'on fait de P le sommet d'un cône circonscrit , ce cône aura avec la sphère une ligne de contact dont le plan divisera sa surface en deux calottes , et celle qui sera tournée vers le point P lui enverra aeule de la lumière. Le plan de la base de cette calotte sera perpendiculaire à CP , et sa distance au point P sera

ëtidemment

RÊSOLÛÉS. & Si l'on conçoit une zône infiniment mince dont hes deux bases soient perpendiculaires a. CP ; en appelant 9 la distance de l'une de ces bases au point P , sa surface sera Zwrdx. Tous les points de cette zône étant a une même distance y/r»— z*+*zx du point P, lai enverront conséquemmfcnt une même quantité de lfanilese/llefserto que la lumière totale reçue par le point P , de tous les points de cette zône , sera proportionnelle a son éteridue divisée par le quarré de la distance commune de tous Ses points a ce point P. Cette lumière sera donc

m étant une constante relative i KntenskéoVla lumière qui s'échappe de chacun des point» de la surface de la< sphère.

On aura donc la lumière totale reçue par le point P en intégrant cette formule, entre ar=sx— r et x étant regardé*

comme constant. On obtient ainsi

Si présentement, dans cette formule , on regarde z comme variable , on voit qu'elle devient nulle en faisant x infini , et qu'eMe croit sans eesse , a mesure que x décroît , et devient enfin infinie , lors» qu'on a z—r.

Ainsi , le point P recevra la plus grande lumière possible , Iors^ qu'il sera sur la sphère même. Ce résultat, contraire à ce que l'énonce de la question paraissait insinuer, pourrait d'abord sembler paradoxal , en ce que , lorsque le point P est sur la sphère même , il n'est plus éclairé que par une calotte infiniment petite. Mais on peut remarquer que l'airo de la calotte qui éclaire le point P est en général

3a QUESTIONS PROPOSEES.'

ane le qn»rré de la distance de «on pôle au point P e«t

de sorte que , lorsqu'elle se réduit à ce pôle , c'est-à-dire , lorsqu'on ftx=r ou ~mt9 ou enfin i— £-=o', la lumière reçue deyient

j»mr>,o awm

du moins si m n'est point infiniment petit.

Tout ce que nous- venons de dire de la lumière doit s'appliquer sans restriction à la chaleur.

QUESTIONS PROPOSEES

Problème de Géométrie.

Trois cercles ont le même centre ; leurs rayons sont a , h , e ; leurs plans font deux à deux des angles * t 0 » r i quelle est l'équation de la surface gauche engendrée par une droite mobile qui passe perpétuellement par les circonférences de ces trois cercles 7

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