PROBLÈME V

GÉOMÉTRIQUES. 237 PROBLÈME V. Trouver les^ conditions nécessaires pour aue

trois surfaces du second ordre se coupent suivant une même courbe ? Solution. En supposant , pour les équations des surfaces dont

il s'agît ,

• y*+c ri+aj Xy+„ xz+*fyz+2g x+*h y+*k z+l •' x>+b'y*+c> z*+2d' xy+zt' xz+2f yz+2g' x+ih> j+ik> z+l'=o , ) (i) o»x*^yt4*»z*+ïâ»xy+2e'>xz+2fyz+3g»x+2h'y+2k"z+l>'z

et exprimant que la dernière est la somme des produits des deux autres par deux multiplicateurs indéterminés m , m/ 1 on obtiendra les dix équations

lm-\-l>m>= b" , cm+dm'— c" t dm+d'm'=d" ; em-^-e'm'—e" ,

Jm+fm> =f> gm+g'm<=g" hm-\-h'm'-h" Itm+k'm'—h" tm + ïm'=l"

entre lesquelles éliminant m et m! , on obtiendra lej condition» cherchées , lesquelles conséquent ment seront au nombre de huit.

La première , la quatrième et la cinquième équations de la première colonne , jointes à la deuxième de la seconde , prouveat {Prob. III) que les trois plans dont le* équations sont

se- coupent suivant une même droite ; mais ces plans sont ( Annales 'r ?omx VIL 3*

a38 LIEUX

tom. VI , pag* i65 ) les conjugués des diamètres de nos trois surfaces parallèles à l'axe des x , c'est-à-dire à une droite quelconque ; on a donc le théorème suivant.

THÉORÈME. Lorsque plusieurs surfaces du second ordre si coupent suivant une même tourbe , les plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles de ces surfaces se coupent tous suivant une même droite.

Si la troisième équation (i) représentait une sphère , il faudrait qu'on eût , à la fois ,

am-\-a/m/=pm-\-b/m'=cm+c/m' • dm-\-d/m/=em+e/m/=/m-\-fm/ ; entre lesquelles éliminant — , il viendrait

conditions , au nombre de quatre , qui expriment que la commune section des deux premières surfaces (i) est sur une sphère.

PROBLÈME VI. Trouver les conditions nécessaires pour que quatre swfaces du second ordre aient les mêmes points dintersection.

Solution. En supposant , pour les équations des surfaces dont il s'agit,

o y*+c r'+2«* xy+2e xz+if yz+tg *+aA y+ik r+/ =o , j

C y*+c, r»+aj, XY+3e, xz+yj> yz+ig, y+afc/ r+/' —o ,

o» *r+ae" xz+sf'yz+zg» y+ik" z+l" =0 ,

GÉOMÉTRIQUES. -3g îl faudra exprimer que la quatrième est la somme des produits des trois autres par les multiplicateurs indéterminés m 7 mf , m" , ce qui donnera les dix équations

am+a'mf+a"m''=a'" , fm+fm>-\-f'm»=f» , \

lm+b'm'+bf'm''=b"' , gm+gfm'+g»m''=S"' ,

cm->t-ctm'-\-c»in"-ct" , hm+h'm'-rh"m"=h»> ,

dm+d'm'+d''m»=d'" , km+k'm'+k»m»=k>" ,

tm+e/m'+e"m"=e"' r lm + l'm'+l"m"= 1"' -t

entre lesquelles éliminant m , m' , m,f , on parviendra aux conditions cherchées t lesquelles seront conséquemment au nombre de sept.

Les première , quatrième et cinquième équations de la première colonne , jointes à la seconde de la deuxième prouvent ( Problème IV) que les quatre plans donc les équation» sont

a' x+d' y+Cz+g* =o ; a" x+d» y+e"z+g» = o ;

concourent tous en un- même point; mais ces plans sont ( Annales, tom. VI , pag. i65 ) les plans diamétraux conjugués aux diamètres qui , dans nos quair* surfaces , se trouvent parallèles à l'axe des x , c'est-à-dire- a une droite quelconque ; on a donc le théorème que voici :

a4o LIEUX GÉOMÉTRIQUES.

THÉORÈME. Lo rsquc des surfaces du second ordre passent toutes par les neuf mêmes points donnés , leurs plans diamétraux conjugués à des diamètres parallèles concourent tous en un même point.

Par des procédés analogues à ceux que nous avons employés ci-dessus pour les lignes du second ordre, on parviendrait à déduire de ce théorème la solution du problème que voici : Étant donnés neuf points d'une surface du second ordre , déterminer son centre ?

Si la quatrième des équations (i) appartenait à une sphère ; il faudrait qu'on eût

am+a'm'-\-a»m"=. bm+l'm'+L''m"=cm+c>m'+£''m" ;

dm+d'm'-\-d"m»s=:cin+efm,+e"m"= fm+fm'-\-f'm"=. o ;

ce qui donnerait f en éliminant — et — , les trois conditions

{a—b){d>e»—e'd>^+{fl'~l^{d»e~t''d^W ; (a^Xd>c>'~e'd»)^a<~c'){d>'c—e»d)+ (*"-*")(*'— «*0=o i dc'f'-dfe»+fd>e»-ed'f>+ef'd»-fe'd»=<i ,

qui expriment que les huit points d'intersection de trois surfaces du second ordre se trouvent situés sur une même sphère^

FORMULES D'INTÉGRAT IOS. -41