AN ALISE TRANSCENDANTE

Sur la manière dinlégrer , par approximation , entre deux limites données , toute /onction différentielle d'une seule variable;

Par M. Chrétien Kramp, professeur doyen de la faculté des sciences de Strasbourg , chevalier de l'Ordre royal de la légion d'honneur.

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1. Dans un premier mémoire ( Annales , tom. VI , pag. 371—388), j'ai donné la solution du problème indéterminé d'intégrer numériquement , par approximation , une fonction différentielle quelconque d'une seule variable , entre des limites données. En prenant pour unité l'intervalle constant qui sépare les ordonnées extrêmes , en supposant que la première se confond avec l'axe des y , et en les

représentant consécutivement par a , h , c , d i j j'ai fait voir

qu'on aura

formule dans laquelle Aa , A'a , A'a , sont données par

les équations

i A a=b — a , i.2A1a=c—2è-i- a , i.2.3Aia=d-3c-\-3b— a , ï. 2.3.4 A*<?.=*— 4</4-6£—4M-<* ,

3. Si l'on veut faire usage de ces formules , il faut d'abord s'entendre sur le diviseur général qu'on veut choisir. En supposant que ce diviseur doive être le membre entier n , on mettra partout x—n f et on arrêtera la série à A"a. Prenons pour exemple n = j ; on aura

£%^= '7Aa+ V A'a-f ^ A'a + ^ A**+ ^ A'a +^A^+Vr^a ;

ou bien , en substituant et chassant les dénominateurs ,

120960^=^= 6o48o(£— a) +no88o(*— aM-*) +ia6ooo(</— 3^+33— a) -f- 89554(^— ^-f-6#-4^+û) + 38556:/-5*+io//-ior-f-5J-tf) + 8834^-6/"+i5/r— 30^+15^-6^) + 75 1 (A— 7^+21/— 35H-35</— 2 1*4-7 J— a) ;

ou , en réduisant >

+3577(*+tf) +i 323(^7)

L'unité de cette expression étant la septième partie 'de l'intervalle qui sépare les ordonnées extrêmes ; si l'on veut prendre pour unité cet intervalle entier, on aura finalement

3. On reconnaît que le calcul est bien fait , et à l'abri de toute erreur , lorsque les ordonnées également distantes des extrêmes , telles que a et // , b et g , c et / , d et e sont multipliées par le même coefficient numérique , et lorsque , de plus , en faisant les huit ordonnées a,b,cfd,4,f,g,h égales à l'unité, l'intégrale J[yàx devient elle-même égale à l'unité. Un autre avantage de cette méthode , c'est que les valeurs numériques des coefficiens

de a , b , £ , d , paraissent toutes développées , sans être

déduites d'aucun système d'équations du premier degré qu'il faille préalablement résoudre. C'est là principalement ce qui m'a permis de calculer mes formules depuis le diviseur un jusqu'au diviseur douze. J'aurais été plus loin que douze , et jusqu'au diviseur vingtquatre y si la longueur présumée des calouls ne m'avait effrayé. J'observai, au surplus, qu'il devait inévitablement y avoir quelque autre méthode , beaucoup plus abrégée , pour parvenir au but dans tous les cas; mais «jue , jusqu'ici du moins, j'avais fait de vains efforts pour la découvrir.

4. J'avais lieu d'espérer que quelques géomètres jugeraient cette recherche d'un assez haut intérêt pour en faire le sujet de leurs méditations. M. BERARD , principal du collège de Briançon , dans un mémoire ayant pour titre : Méthode nouvelle pour quarrer les courbes , et intégrer , entre des limites données , toute /onction différentielle d'une seule varialle {Annales, tom. VII, pag. 101 et suiv. ) , prétend être parvenu au but. Il trouve , pour le diviseur général six , les quatre équations

6= 2A+ aB+aC+D ;

343= 4o5^+ BoB-hSC ,

2i87~5ioa.4-K480-r-7C ;

<Tou il tire ; par l'élimination ,

gt, après avoir multiplie par 6 , il a finalement

8o4y$rd*=* 4Kro4-r«) H- ^(yt-brJ

Il aurait sept de ces équations , dans le cas du diviseur général douze , et treize dans le cas du diviseur général vingt-quatre. Il faut observer que , dans ce dernier cas , l'une des treize équations renfermera toutes les inconnues , et que chacune des douze autres en renfermera une de moins , c'est-à-dire douze. 11 faut remarquer de plus que l'opération connue des soustractions réitérées ne suffira ptt pour diminuer chaque fois d'une unité le nombre des inconnues, ce qui rendra la résolution complète des treize équations beaucoup

plus

D'INTÉGRATION. a45 plus laborieuse qu'on ne pense. Toul cela n'empêche pas M. Bérard de dire ( pag. io3 ) : « J'ai donc cherche à perfectionner un travail > si utile ; j'ai vaincu la difficulté qui avait arrêté M. Kramp ; et » j'ai eu la satisfaction de rencontrer une nouvelle manière de pro- » céder, qui n'a rien de commun avec celle de cet habile géomètre , » et qui permet de pousser l'approximation aussi loin qu'on le désire ». Examinons , au vrai , ce qu'il en est.

5. Premièrement. La nu thode de M. Bérard n'est immédiatement applicable qu'à un diviseur pair. Dans le cas d'un diviseur impair , l'auteur serait un peu embarrassé , peut-être , de nous indiquer la modification qu'il faudrait faire subir à ses formules , pour les rendre également applicables (*)

G. Secondement. Nous pouvons assurer M. Bérard que les valeurs numériques des coeffioiens qu'il nous a données , pour les sept termes qui répondent au diviseur général douze , sont entièrement erronnées et fausses. Les seules valeurs véritables sont celles que donne notre douzième formule ( tom. VI , pag. 377 ). Elles sont très-différentes de celles de M. Bérard ; et , comme elles satisfont à toutes les conditions du problème , qui d'ailleurs ne saurait admettre qu'une solution , il faut nécessairement en conclure que les autres ne sauraient donner que des résultats trompeurs. Nous pouvons donc , à bien plus juste titre que M. Bérard , nous appliquer à nous-mêmes ce qu'il dit ( tom. Y1I , pag. 114 ) : «Cette singularité » semblerait assez difficile à expliquer autrement que par quelque » erreur de calcul ; mais le point essentiel est de savoir laquelle » des deux formules doit être préférée; et l'expérience assure l'avan- » tage à la nôtre ». Cette expérience sur laquelle M. Bérard croit pouvoir s'appuyer se réduit au simple calcul du logarithme naturel

C) ne nous semblerait pas U un très-grave inconvénient , attendu que , le diviseur génériaV étant un nombre arbitraire » on est toujours maître de 1* fhoisir pair.

Zom. VIL 33

de deux , qu'il trouve, d'après sa formule =0,6931 4 71806 261 ; et, d'après la mienne, =0,69314 71807 262; ce qui présente une différence d'une unité dans la dixième décimale. Il en résulte que la mienne laisse une erreur un peu plus grande que celle qui résulte de la forma e de M. Bcrard , eu supposant toutefois que les calculs , de part et d'autre , sont rigoureusement exacts. Mais que peut-on raisonnablement conclure d'une application unique (*) ?

7. Troisièmement. A plus forte raison sera-t-il permis de douter de l'exactitude de la formule (F,4). Elle a coûté à son auteur cent heures de travail. Je serais bien fâché que le calcul de mes douze formules m'eût seulement coûté la moitié de ce temps (**).

8. Quatrièmement . En employant successivement toutes mes douze formules , au calcul du huitième de la circonférence entière , qui , comme l'on sait, est l'intégrale de 7^»» prise depuis /=o jusqu'à /=i ; et , en mettant en regard de chaque résultat l'erreur dont il se trouve affecte , j'ai eu le tableau suivant :

(*) Tout ceci nous semble mériter quelque explication.

D'abord , il ne paraît point exact de dire nue le problème dont se sont occupés MM. Kramp et Bérard ne puisse admettre qu'une solution unique. Nous en avous déjà fait l'observation dans la note de la page 102, et c'est une vérité reconnue par M. Kramp lui-môme qui , au commencement du présent mémoire , le qualifie ^indéterminé. Il n'y aurait donc que la solution rigoureuse de ce problème qui pourrait être unique ; mais celle solution rigoureuse est impassible, tant qu'on ne fixe pas la nature de la fonction y.

On oc peut donc rien conclure , pour ou contre les formules de MM. Kramp •t Bérard , des différences qu'elles présentent , dans les applications. Celle de» deux qui a l'avantage dans un cas peut le perdre dans un autre { et M. Kramp a grandement raison de dire en ce sens qu'une seule application ne suffit point pour prononcer entre elles. jNous en avions déjà fait la remarque l pag. 113).

(**) Nous ne courrions probablement pas un Irês-grand risque en non* engageant h calculer en moins de cent heures, par la méthode de M- Kramp , la formule qui repond au diviseur 24.

T=o,75ooo 00000 ,

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