XII

9. En donnant ce tableau , j'ar fait remarquer que la série de* erreurs suivait une marche beaucoup plus irrégulière que la nature^ du problème et les moyens de solution que j'y avais appliqués ne semblaient devoir le comporter. On voit , en effet , que les erreurs sont négatives pour 1,1, III , positives pour IV , V , négatives pour VI , VII , positiver pour VIII , IX , X , XI , et négatives de nouveau pour XII. Elles forment ainsi une progression , tantôt croissante et tantôt décroissante. Mais , dans tout ceci , il n'y a rien qui choque le sens commun et qui soit contraire aux principes^ Soit, en effet, ( fig. 3 ) l'arc de courbe DEF , rapporté &. l'axe

a48 FORMULES

AC. Divisons cet axe en deux également en B , et élevons les trois perpendiculaires AD , BE , CF. Dans ce cas , la première valeur approximative de l'arc DEF sera DE+EF. Divisons le même axe AC en trois parties égales , aux points G et H ; élevons les deux perpendiculaires GI , HK , et menons les trois cordes Dl , IK , KF ; la somme Dl-HK-hKF représentera la seconde valeur approximative de l'arc AF ; et il est très visible qu'il n'y a aucune sorte de rapport constant et nécessaire entre DE-hEF et DI+IK-4-KF ; et il en irait absolument de même , si l'on multipliait d'avantage le nombre des divisions do AC (*).

10. M. Bérard n'a pas seulement vu que j'avais manqué ; mais il a do plus découvert la raison de ma méprise ; elle consiste , suivant lui , dans un certain point d'inflexion , dont j'ai négligé la considération ; et faute d'y avoir fait attention , j'ai été entraîné dans de fausses conséquences. « Si la courbe a quarrer , dit-il , présente » un point d'inflexion , entre les limites de l'intégrale cherchée , » il sera bon d'évaluer séparément les portions d'aire situées de part » er d'autre de ce point j car le défaut de cette attention ne pourrait

(*) Comme il s'agit ici , non pas d'un problème de rectification , maïs d'un problème de quadrature; il nous semblerait plus exact de parler de ta. détermi-* oation de l'aire du segment mixtiligne ADFC ; en considérant ADEB-f-BEFC comme première , et ADIG+G1KI1+HKFC comme seconde approximation. Or, tant que , dans toute son e'tenduc , la courbe aura constamment sa convexité tournée dans le même sens, il-y aura nécessairement entre ces valeurs approchées successives celte relation qu'elles iront continuellement en croissant , si la première est plus petite que Taire curviligne , et en décroissant dans le cas contraire. Mais il n'en «era plus ainsi s'il y a , entre les limites de l'intégrale , quelques points d'inflexion. H n'en sera plus de même non plus , lorsque, comme le fait M. Kramp dan» son second mémoire , on substituera aux corde» des courbes parabolique^ qui pourront passer tantôt au-dessus et tantôt au-dessous de la courbe qu'il g'agit de quarrer.

D'INTÉGRATION. M9 » qu'altérer sensiblement l'exactitude du résultat. On verra ci-après » comment M. Kramp , pour avoir négligé celte remarque , a été » conduit à de fausses conséquences ; il a cru voir un paradoxe là » où il n'en existe pas. 11 est presque superflu d'observer qu'il faudrait » à plus forte raison en user ainsi , si , entre les limites de l'in- » tégrale , la courbe offrait un ou plusieurs points de rebrousSc- » ment (*) ».

ii. Je conviens volontiers que je n'entends absolument rien à tous ces points d'inflexion et de rebroussement. J'avais dît d'ailleurs ( tom. VI , pag. 299 ) : Elle ( l'équation de condition ) est satisfaite, » quoiqu'avec une différence presque insensible , lorsque ta portion 1» de courbe qui est comprise entre les limites de l'intégrale est sans 9 asymptote , sans imaginaires , sans points d'inflexion ni. de rebrous- 1» sèment ; lorsqu'enfin elle ne s'écarte pas trop de quelque courbe > rentrante , telle que les ellipses des différons degrés ». Cependant M. Bérard y revient encore (pag* no). « Ce géomètre, dit-il ,' » pour n'avoir pas fait attention au point d'inflexion , a tiré de ses » résultats des conséquences tout-à-fait fausses. En effet , sa formule » n.' 8 lui a donné plus d'exactitudo que ses formules n.° 9 et

(•) Il nous paraît qu'en remarquant un point d'inflexion , entre *=o , *=i ,

dan» la courbe dont l'équation est y=~, , M. Bérard a donné , en effet , une

raiioo très-plausible des anomalies que présente la série des erreurs des approximation» successives de M. Kramp ; et nous pensons même que cette raison serait toutf -fait péremploire , dans le cas de l'emploi des trapèzes rectiligne» ; mais noue ne saurions partager l'opinion de M. Bcrard , sur la nécessite de diviser l'intégrale en plusieurs parties, lorsqu'il se rencontre quelques points d'inflexion entre «es limiu>3. Tout ce qu'il peut résulter de l'existence de ces points , c'est qu'os obtienne accidentellement , par l'emploi de certaines formules, une approximation plus parfaite que celle que , généralement parlant , on serait en droit d'en attendre ; et certes , on conviendra qu'il n'y a pa» la un très-grave inconvénient.

35o FORMULES

y n.° io ; ce qui, au premier abord , présente un vrai paradoxe»

* Mais U faut remarquer que , par l'emploi de la formule n.° 8 , » il a pu s'opérer entre les aires des deux branches de la courbe » une compensation d'erreurs qui a pu ne pas avoir lieu d'une » manière aussi avantageuse dans l'application des formules n.° 9 » et 10 (*). Au reste, dans la courbe même qui n'a pas d inflexion , » les résultats successivement obtenus par les diverses formules , ne » semblent pas présenter un accroissement régulier d'approximation

* qui permette l'application de la méthode de M» d'Obenheim » » comme 'M. Kramp l'avait espéré ».

12. Jamais je n'avais espéré une application de la méthode de M. d'Obenheim , tant aux cas qui ne semblent pas présenter un accroissement régulier d'approximation qu'à ceux qui en présentent un ; et du moment que j'avais trouve ma seconde méthode , exposée dans mon Deuxième recueil de formules , etc. ( tora. VI, pag. 3;2), j'avais parfaitement renoncé à l'autre, à laquelle je ne reviendrai plus (**). Jamais non plus je n'ai tire un vrai paradoxe de ce que la formule n.° 8 m'a donné plus d'exactitude que les formules n.° 9 et n.° 10 ; jamais la série de» erreurs , telle qu'elle s'était présentée à moi, dans le calcul que j'ai pris la peine d'en faire, ne m'avait paru paradoxale ; et jamais je n'ai rien trouvé là dedans

(•) Hou* en demandons birn pardon à M. Kramp , dont la méthode nom parafe , au surplus , préférable à celte de M. Bérard ; mais tout ce qui précède nous parait as&er exact. Ce ne «ont point les résultat» n.° g et n.° 10 qui sont trop peu approches ; c'est le résultat n.° 8 qui l'est plus que ne le comporte U formule sur laquelle it est calculé.

(*•) On doit peat-être regretter que M. Kramp, qui e'tait si bien en état de tirer parti de l'idée de M. d'Obenheim , l'art si vile abandonnée : cette idée nous a touiours paru extrêmement ingénieuse et originale ; nous pensons

qu'on m> doit l'appliquer qu'aux approximations fWs à l'aide des trapèze» , el arec la précaution encore d'éviter le* pointa d "inflexion.

D'INTÉGRATION. 201 qui fût conlraire aux principes (*) Enfin , s'il faut le dire , il y avait encore assez loin des formules de M. d'Obenhcim aux méthodes consignées dans mon premier mémoire. Voici , en effet , de quelle manière s'exprime ce professeur , dans sa Balistique : « Je suppose que l'on partage en un nombre de parties divisibles » par 24 ( c'est le seul nombre auquel M. d'Obenheim ait fait l'ap- » plication de sa méthode ) l'abscisse à laquelle correspond la surface » qu\ n veut quarrer : que a représente la somme des trapèzes rec- » tilignes , larges de seulement ; et que b , d , f , g , h , k • représentent respectivement celles des trapèzes larges d* 2 , 3 ; » 4, 6, 8 et 12DX; on aura, d'après l'iqustion précédente. . ......

» De ces sept équations on tire rigoureusement

—80520944^+33322968/*— 2467 io7£

-33G96à+ii2A .

» Ce calcul , dont je garantis l'exactitude , se trouve fait une >> fois pour toutes , et peut être d'un fréquent usage ». Il y a sans doute prodigieusement loin de cette première esquisse , trèsimparfaite, jusqu'aux méthodes très-générale* 4* mon premier mémoire. 11 y a, de plus, une faute d'impression d'une unité dans le septième chiffre de l'un des nombres de la formule précédente ; la somme de ces nombres étant 253252O0O et nullement 25225s 000,

(•••) De ulles anomalies , dans le cas de l'emploi unique des trapèzes rectîligoes , seraient pourtant tout-à-fait inexplicables et paradoxales , sans l'existence d'jm point d'inflexion cotre les limites de l'intégrale.

a52 FORMULES D'INTÉGRATION.

comme elle devrait l'être; ce qui me fait présumer que M. d'Obenheim n'a jamais fait l'application de sa formule à aucun exemple numérique quelconque. Enfin , ce qu'il y a de très-singulier , c'est qu'en suivant môme les préceptes de M. d'Obecheim , je trouve des pombres entièrement différens des siens ; j'obtiens , en effet ,

35aa 5aooo^=42467 328û'— 249080832^ +954204 16^— I9459440/+732 160^

t-33696/"'4 iMg/ ;

M. BéYard , comme l'on voit , n'a jamais connu la Balistique de M. d'Obenheim , autrement que par ce que j'en ai dit dans mon premier mémoire,

QUESTIONS RÉSOLUES. a33

QUESTIONS RESOLUES

Observations sur les deux théorèmes de géométrie énoncés aux pages 2Ôo et 320 du IV? volume des Annales ;

Par M. J. B. Durrande.

M . Servois , dans un article ituévi à la page i5o du IV.* volume de ce recueil , fait mention d'un beau théorème de géométrie plane , qu'il attribue à Simson , et dont M. Gcrgonne donne une démonstration analitiquc dans une note du môme article. On a proposé ensuite à la page 3ao du même volume , un autre théorème qui est exactement dans la géométrie à trois dimensions ce qu'est le premier dans la géométrie plane. J'ai cherche à ramener la démonstration de ces deux théorèmes à la belle théorie des transversales que MM. Carnot , Servois et Brianchon semblent s'être approprié , par les dévcloppcraens i m port ans qu'ils lui ont donnés et les nombreuses et intéressantes applications qu'ils en ont faites. J'ai réussi, encfTct, a trouver une démonstration assez simple du premier de ces deux théorèmes ; mais , en examinant le second avec plus d'attention je n'a» |>as tardé à en découvrir la fausseté ; ce qui prouve que , s'il peut souvent être très-utile de se laisser guider par l'analogie , on ne saurait néanmoins, sans imprudence, accorder constamment un» confiance entière aux résultats qu'on en déduit. Je vais d'abord faire Temê VU. 34

connaître la démonstration que j'ai obtenue pour le premier des deux théorèmes ; je prouverai ensuite la fausseté du second.

THÉORÈME I. Les pieds des perpendiculaires abaissées sur les directions des côtés d'un triangle quelconque , de l'un quelconque des points de la circonférence du cercle circonscrit , sont tous trois sur une même ligne droite.

Démonstration. Soient ABC ( fig. 4 ) le triangle dont il s'agit , P un point situe* d'une manière quelconque sur la circonférence du cercle circonscrit , et P* , Ptf , P£ les perpendiculaires abaissées respectivement du point P sur les directions AB , BC , CA des côtés de ce triangle. Il s'agit de prouver que les trois points a, 6, c appartiennent à une même ligne droite.

Pour y parvenir , soient d'abord menées les droites PA , PB , PC ; on aura évidemment les proportions que voici ;

Cb.Aè:. VCSin.CPb :PA5w.AP£ , kc : Bc : : PAS/7i.AP<: : VBSin.VVc .

En multipliant ces trois proportions terme à terme, on obtiendra, par la suppression des facteurs communs ,

ha.CÙ.Ac:Ca.kb.Be

: : Sin BPtf.Sin.CPJ.Sin.AP* : Sin.CPtf.Sin.APi.Sin J5P<r.

Or, i.° les angles BP* , AP£ sont égaux, comme ayant pour eomplcmens PBC et PAC inscrits au même arc ; 2.0 les anale» C?b , BP* sont égaux , comme ayant pour complémens PCA et PBC mesurés par la moitié du môme arc ABP ; 3 ° enfin , AP* et CPtf sont égaux , comme ayant pour compl«**nens PAB et PCB

RESOLUES. *55 inscrits au même arc ; donc les deux termes du second rapport de notre dernière proportiou sont égaux ; et on a conséquemment l'équation

Ba.O>Jic=Ca.A&.Kc ;

ce qui , par les théorèmes connus , prouve que a , h , c sont en ligne droite.

THÈOBÈME 11. Les pieds des perpendiculaires abaissées sur les plans des faces d'un tétraèdre de tun quelconque des points de la surface de la sphère circonscrite peuvent n'être pas tous quatre dans un même plan.

Démonstration. Supposons, en effet, que le point dont il s'agit soit pris dans le plan de Tune des faces du tétraèdre ; il sera luimême le pied de la perpendiculaire abaissée sur le plan de cette face ; si donc les trois autres pouvaient être dans un même plan avec celui-là , ce plan devrait aussi contenir les trois perpendiculaires elles-mêmes ; les faces sur lesquelles elles tombent devraient donc être perpendiculaires à ce plan ; il devrait donc en être de même de leurs intersections deux à deux ; le tétraèdre aurait donc les trois arêtes d'un même angle parallèles entre elles ; ce qui est absurde.

QUESTIONS PROPOSÉES

QUESTIONS PROPOSEES

Polyèdrographie.

sait que , pour qu'un polyèdre convexe soit réputé régulier ? Il faut , à la fois, que toutes ses faces soient d'un même nombre de côtés et que tous ses angles solides soient d'un même nombre de faces.

Mais on peut , en outre , concevoir ;

Des polyèdres termines par deux sortes de polygones, en nombre égal de chaque sorte , et ayant d'ailleurs tous leurs angles solides d'un même nombre de laces ;

2. " Des polyèdres ayant , au contraire , deux sortes d'angles solides , en nombre égal de chaque sorte , et ayant d'ailleurs loutes leurs faces d'un même nombre de côtés ;

3. ° Enfin , des polyèdres ayant , à la fois , deux sortes de faces , en nombre égal de chaque sorte, et deux sortes d'angles solides, aussi en nombre égal de chaque sorte.

On propose de faire rénumération complète de tous ces divers polyèdres ?