On trouve, d'après ce qui précède

— .^WW V^S--(h -cYe-Slo-h) \/=ï

Cette expression remarquable, qui montre que 27^*-f-4/>s doit être le dernier terme de l'équation aux quartés des différences des racines de la proposée , prouve évidemment que , lorsque les trois racines a , b , c de la proposée sont réelles , leurs expressions , en fonction dos rocfficiens , doivent être compliquées d'imaginaires ; propriété qui est réciproque , ainsi que nous le dirons plus loin ; elle montre aussi que l'équation \ f+±p'=o exprime 1» condition d'égalité entre dcnx racines de la proposée.

4» On trouve encore

— il »

et telles sont les expressions , très-symétriques , des trois racines cubiques de si=^iq+^ ^2+77 pi.

En y changeant le signe de , ce changera aussi m

en 1», on aura les expressions analogues des trois racines cubes de

tOu a donc 1m racines de la réduite en fonction des racines <k

*€* RÉSOLUTION

la proposée. Lagrange n'y est arriré que par le calcul différentiel , et d'une manière plus longue (*).

5. De là il suit que l'expression de l'une quelconque des trou racines de la proposée les comprend toutes ; car l'expression

donne , par la substitution des râleurs de s et / , en fonction de a, bt c

et il en serait de même de chacune des deux autres expressions

x— : Is-h /,

pourra qu'on eût soin de ne combiner ensemble qne des râleurs de s et / telles que s/=~\p, ainsi que cela doit être (a). 6. Comme on a j^'ss— r,P* * ce donne

lit que la méthode résout , non seulement l'équation proposée x'+px+ç =o ,

dont les racines ««ont

x=a , *=J , ; mais encore l'équation conjuguée

(*) Ce n'est presque pas la peine de dite que Lagrange se sert du calcul différentiel en cet endroit ; il ne IVmpluio que par pure élégance ; et l'usage qu'il en fait pourrait facilement élio suppléé par le Théorème des racine!

DES ÉQUATIONS. a63 dont les racines sont

jr=I v3 ^—-y-j J=Z!T^,;

et pareillement l'équation conjuguée

dont les racines sont

7. Si les racines de la proposée se présentent toutes sous une forme embarrassée d'imaginaires , ce qui arrive lorsque f ?M~r?/,> négatif, c'est-à-dire, lorsque les racines de la réduite, con>idérée comme équation du second degré , sont imaginaires; on sait que les premières sont toutes réelles : en voici une démonstration directe et rigoureuse.

D'après la théorie générale des équations , l'équation du troisième degré , a titre d'équation d'un degré impair , doit avoir au moins une racine réelle ; ce que je pourrais d'ailleurs démontrer par mes formules.

Une des trois racines a , b , c , est donc réelle ; mais , lorsque \^1-3tr;Pi est négatif, une de ces racines ne peut être réelle , sans que les deux autres ne le soient aussi.

En effet , si a est réelle , b-\-c=—o est aussi réel. D'ailleurs , ç=[b+c)bc est réel ; donc , puisque b~\ c est réel , bc doit l'être pareillement. De plus , on a

d'où

*64 RÉSOLUTION

v—w'+TiP-** ^3 ;

or, le premier membre de cette équation est réel; donc le second l'est aussi ; iim'is le facteur î'b-\-c)-\-bc est réel , pui*que b-\-c et bc le sont ; donc l'autre facteur b — e l'est de même ; et , puisque b-{-e et b—e sont réels , b et c le sont nécessairement *, donc enfin les trois racines a , b, c sont réelles.

Je ne crois pas que ta réalité des trois racines, dans le cas irréductible , ait jamais été si complètement ni si directement démontrée.

Résolution de V équation du quatrième degré.

i. Nommant a , 5 , r , d , le» racines de la proposée H"^ *-K=o » on a , par la théorie générale des équations ,

*b+ac+bc+ad+bd+cd=p ;

cbc+abd+acd+lcd=~q ,

aicd=r ;

En faisant

ce qui donne

d'où la réduite et les valeurs

pour les trois racines de cette réduite , considérée comme équation du troiiièmc degré; valeurs dans lesquelles A et B désignent de* fonctions connues des coeffiuicns de cette même réduite. Cela posé , on a

donc

Tom. VIL 3(?

aC6

RÉSOLUTION

expressions qui donneront les quatre racines de la proposée , si l'on y met pour / une des six valeurs connues représentées par ^/ » +/w , +/i , n'importe laquelle.

3. Mais, pour exprimer les racines de la propose'e , en fonction de celles de la réduite , nous observerons que cette réduite , d'après la théorie des équations , donne

et que , de cette dernière équation , on tire

-^lmn — q ;

le signe supérieur ou le signe inférieur ayant lieu, su'vant que q est positif ou négatif ; car nous supposons / , m , n les racines positives de /* , m* , «\

Nous prendrons d'abord q positif, parce que, s'il était négatif, les racines de la proposée seraient les mêmes aux signes près.

Substituant donc ces valeurs de — 3p et de -\-q dans ce/les do a , b , c y d , et prenant arbitrairement -y=i , ces dernières deviendront

4J4fn— n

formules qui donneront les racines de la proposée , lorsque q est positif.

Et par conséquent les* doubles formules

prises avec le signe supérieur ou avec l'inférieur, donneront respectivement les racines de la proposée , suivant que q sera positif ou négatif.

On a donc les racines de la proposée , en fonction des racines de la réduite.