Observons que la première expression

-S-V-'-} • des quatre racines de la proposée, comprend tacitement

Or si , dans la formule

on substitue les valeurs de — ip et de q , comme on Ta fait ( Art. 2); et que , de plus , on prenne successivement pour y les six valeurs

on trouvera

d'où l'on voit que la première des quatre formules des racines de la proposée les comprend toutes -, et il en est de même de chacune des trois autres. Ainsi , une quelconque des expressions des quatre racines de la proposée les comprend toutes.

5. Comme on a lmn = ^rqy il est aise de voir que la méthodj résout , non seulement l'équation proposée

dont les racines sont

x=a , x=b , x=.c , mai» encore l'équation conjuguée

xk-\-px* — y*+r=o »

dont les racines sont .- k

6. Si les racines de la proposée se présentent sous une forme embarrassée d imaginaircs , ce qui arrive si les racines de la réduite, considérée comme équaiion du troisième degré , sont , ou toutes trois réelles et positives, ou toutes trois réelles et une seule positive; on sait que, dans le premier cas , elles sont toutes réelles , *!t , dans le second , toutes imaginaires (*). Voici une démonstration directe et rigoureuse de la réalité des racines dans le premier cas.

Si les racines /* , m* , n* , de la réduite , considérée comme équaiion du troisième degré, sont réelles et positives, les racines / , m , n de cette môme réduite , considérée comme équation du sixième degré , sont aussi réelles. Donc , puisqu'on n

les racines a , b , c , d de la proposée sont toutes réelles.

Cette démonstration de la réalité des quatre racines , dans le cas irréductible, est très-simple et déjà connue. Je ne l'ai reproduite ici que pour conserver l'analogie entre le troisième et le quatrième degré.

O Cependant , deux d'entre eues deviendront réelle* , si l'on a l=m ,

i Note J* C auteur. )

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