A N A L I SE

7. Maïs îl est clair que celte revue peut être faîte dans deu* sens differens ; et qu'on peut établir une vérité nouvelle soit en montrant qu'elle est une conséquence inévitable d'autres vérités déjà admises , soit en faisant voir , au contraire , qu'elle se réduit au fond à ces mômes vérités.

8. Ces deux manières inverses de procéder ont reçu , dès la plus haule antiquité , des dénominations différentes. On a appelé Synthèse ou Méthode synthétique , le procédé par lequel on s'élève , par degrés , des vérités les plus élémentaires à celles qui le sont moins; et on a appelé Analise ou Méthode analitifjue , la méthode qui consiste , au contraire , à redescendre des vérités les plus élevées aux plus élémentaires , dans la vue de faire voir que les premières se réduisent au fond à celles-ci. Ces deux méthodes font donc parcourir la même route , mais dans des directions tout-à-fait inverses ; et elles n'ont absolument aucun avantage l'une sur l'autre , soit sous le rapport de la rigueur, soit sous celui de la brièveté.

9. Pour faire apercevoir plus clairement la marche et le caractère propre de ces deux méthodes , appliquons-les successivement aux théorèmes et aux problèmes. Soient en premier lieu £ une vérité* à établir , A une vérité dont on veut la faire dépendre , et B , C ,

D les intermédiaires qu'on a choisis pour les lier l'une à Tautrë. -

qu'en vertu de quelque autre proposition , exprimée ou sous-entendue , que l'on peut considérer comme au ti lia ire ou collatérale de celles qui forment proprement la chaîne du raisonnement.

On peut remarquer aussi qu'il n'est point généralement vrai , comme quelques métaphysiciens l'ont voulu prétendre , que !«• prupuntiiuiis dont un raisonnement se compose soient toutes équivalentes , et ne diffèrent uniquement qut par l'expression. Cela arrive bien quelque fois ; mais souvent aussi , si une proposition renferme celle qui la suit , celle-ci , à son tour , ne renferme pas l'autre , parce qu'elle n'en est qu'un cas particulier.

On peut , au surplus , consulter , sur tout ceci , la page 206 de ce volume. . \

ET SYNTHÈSE, La démonstration' synthétique du théorème E aura ht forme <pc voici j > » :■■••■»

Si A est vraie , B le sera aussi j -,

: '..}•.. "j fi ; ci. 'A ît,r* ' > ■

Si B est vraie , G le sera aussi ;

Si C est vraie , D le sera aussi ;

; ■ ■ . •,?'.-• . t '..t. il- 1 » V !» il Si D est vraie , E le sera aussi j

Or , A est vraie ,

Donc E l'est aussi.

La démonstration analitique du m^rne théorème ajrait , au con^ traire, la forme suivante ;

' 1 1 Eserâït vraie ; si D T'était ; • 1 ' ' 3 1 ' ^

D serait vraie , si C l'était ; C serait vraie , si B l'était ; B serait vraie > «i A, l'était f Or t A est vraie; ; i- .

Donc E l'est aussi. *

10. Supposons, en second lieu, qu'il 4orr question de résoudre

35o À. N A LISE '

mu problème'; que E toit la chose qu'il s'agit de trouver, À une

chose qu'on sait trouver et au moyen de laquelle on veut partenir à l'autre ; en6n B , C , D , les choses à l'aide desquelles on s'est déterminé à établir la liàî&ofa entre ceiles.là. La solution synthétique du problème aura la forme que voici:

À étant connue , on peut trouver B ;

B étant connue , on peut trouver C ;

^ » . . . ii- - ' é -- «

C étant connue , on peut trouver D ;

D étant connue , on peut trouver E ;

■ t. " i "■ Or , on sait trouver A ;

'©oric on satt trouver E.

Si, an contraire . .on voulait^ procéder analitiquement , il faudrait raisonner de cette autre manière :

E sera connu , si l'on sait trouver D ; D sera connu , si Von sait trouver C ; C sera connu , si l'on sait trouver B ; B sera connu , loo sait trauvet A ; Or , ou sait trouver A -r Donc on «ait trouver E.

ET SYNTHESE. S5t »! î*. Il pmlt évident , d après ces notion. , consacras depuis sringt siècles , que lorsqu'on sait bien par quels intermédiaires les ▼ente», soit théoriques soit pratiques , sont enchaînées les unes aux autres ; on peut toujours , a volonté , dans l'exposition de ces vérités* •uivre la méthode analitique ou la méthode synthétique. Il n'est pas moins évident que rien n'est plus aisé que de rendro analitique une démonstration ou une solution synthétique , et vice venà. Enfin l'on conçoit qu'on peut même, dans l'exposition de la vérité» mélanger entre elles ces deux méthodes d'une multitude de roa«!« ttièfes diverses. Ainsi, par exemple , si A est une vérité élémentaire de, laquelle on se propose de déduire une antre vérité U , d'un ordre plua élevé , ex que K. soit une des vérités intermédiaires par les* quelle* on veut parvenir de l'une a l'autre ; on pourrai s'élever synthétiquement de A à K et descendre ensuite analitiquement de U à K; on bien on pourra descendre d'abord anaUtiquemeût de X à A , et monter ensuite synthétiquement de K à U. . 12. Il parait d«oc incontestable que l'analise est, tout ausfri bien que la synthèse , une méthode de doctrine -, que chacune de ce* deux méthodes est de. nature à se suffire a elle-même ; et qu'enfui, lorsqu'on les emploie concurremment dans un même raisonnement , il euflit, à la rigueur, que l'une d'elles parcourra tout l'espace que •l'autre n'aura pas parcouru (*).

i3. Mais remarquons bien que nous n'avons encore considéré*

(•) Toufefoij , edmme nous ne saurions compter asse* sur notre attention pour être certain de ne jamais nous tromper , dana un raisonnement an peu étendu , il peut être bon , et U eu même très-convenable de vérifier , p*r Tune des deux méthode» , les résultats obtenus par l'autre s a peu près comme le calculateur s'assure , par un calcul inverse , de l'exactitude d'un premier calcul qu'il vient de terminer ; mais il ne faut pas confondre une simple mesure de précaution et de prudence , aiec ressente de la méthode nécessaire pour parvenir k un certain résolut, et regarder cette mesure comme en faisant essenr tellement partie. '*

35a AVALISE

.dans tout ce qui précède , que le cas où il s'agit d'enseigner a autrui des vérités déjà découvertes , et dont l'enchaînement est bien connu. Voyons présentement de quelle manière on devra se conduire dans le cas où , au contraire , il s'agira d'ajouter des vérités nouvelles aux vérités déjà découvertes , et d'élever ainsi , de plus en plus , l'édifice de nos connaissances.

i4* Ici il se présente deux cas très-distincts ; tantôt, en effet, on n'a d'autre but que de découvrir des vérités nouvelles sans en avoir spécialement aucune en vue ; tandis que d'autres fois, au contraire , l'analogie ou le besoin nous conduit à pressentir quelque vérité dont nous désirons nous assurer, sans savoir précisément à quelle vérité antérieurement établie elle peut se rattacher , ou' à désirer la solution de quelque problème , sans connaître de quel problème déjà résolu on peut le faire dépendre.

15. Dans le premier cas, c'est-à-dire , lorsqu'on n'est mu que par le désir vague de parvenir à des vérités nouvelles , ce qu'il •y a de mieux à faire est sans doute de tirer des vérités déjà découvertes, toutes les conséquences qui pourront en être déduites, •dans l'espoir d'en rencontrer quelques-unes qui soient dignes de remarque ; c'est-à-dire qu'il faut s'abandonner alors à la méthode synthétique» Mais on conçoit que , dans ce cas même , on ne saurait se promettre des fruits précieux de cette méthode si elle n'est ■employée avec un talent convenable- Elle conduira bien , de quelque manière qu'on l'emploie , à des vérités nouvelles ; mais toutes les vérités" nouvelles ne sont point également dignes de remarque \ et îl serait fort possible qu'on n'en rencontrât aucune qui valût la peine d'être remarquée. Voilà aussi , sans doute , pourquoi , dans le grand nombre de ceux qui cultirent les sciences , il en est si peu qui leur fassent faire des progrès de quelque importance.

16. Dans le cas où , au contraire, on a besoin de s'assurer, en particulier, de la vérité -d'une certaine proposition, ou de parvenu*

.à la découverte d'une chose inconnue ; on ne voit guère d'autre moyen de parvenir au but , s'il s'agit d'un théorème à démontrer ,

que

ET SYNTHÈSE. 353 <|ue d'en faire passer l'énoncé par une suite de traductions de plus en plus simples , et qui soient telles que chaque énoncé nouveau , supposé vrai, entraîne la vérité de celui dont il est la traduction immédiate , en continuant ainsi , jusqu'à co qu'on arrive à quelque proposition de la vérité de laquelle on se soit préalablement assuré. Est-il question , au contraire , de résoudre un problème ? on tentera de ramener la découverte de la chose cherchée a celle d'une autre chose , la découverte de celle-ci à celle d'une troisième , et aimi de suite y jusqu'à ce qu'on soit parvenu à une chose qu'on ait antérieurement appris à trouver ; d'où l'on voit que , dans l'un et dans l'autre cas , c'est la méthode analitique qu'il convient ici de préférer (*). Mais on conçoit qu'ici encore on pourra passer éternellement de traduction en traduction sans rencontrer sur sa route aucun théorème antérieurement démontré ou aucun problème antérieurement résolu. Ainsi , dans la découverte de la vérité , on ne saurait se promettre plus de succès de l'analise que de la synthèse , si cet instrument de découverte n'est manié , tout comme l'autre , par une main habile et exercée. Voilà sans doute pourquoi tant de problèmes sont demeurés jusqu'ici et demeureront encore longtemps peut-être sans être résolus.

17. Dans l'exposition des vérités déjà découvertes , on tient entre ses mains la chai ne du raisonnement , et il n'est question que de la montrer à ceux qu'on enseigne , et de leur faire parcourir successivement les divers anneaux qui la composent, ce qui se peut faire d'un grand nombre de manières diverses , partie' dans un sens et partie dans un autre. Mais , dans la recherche des vérités nouvelles, on n'a plus la même liberté. On ne connaît alors , en effet , que l'une des deux extrémités de cette chaîne ; et , suivant que

<*) CeU Flalon qui , au rapport de Tnéon d'Alexandrie , a enseigne' le-' iox géomètres de la Grèce cette manière de raiwnaer. Jom. VU. Ifi