AN ALIS E

sera, tenté d'accorder la préférence à la synthèse t «foi a fait faïraaux géomètres 4e l'antiquité tant de difficiles- découvertes.

38. Mais il y a > dans tout ceci r une équivoque qu'il est d'abord nécessaire de lever. Ce qu'on appelle vulgairement algèbre se compose de deux parties tout-à-fait distinctes : l'une enseigne à «our mettre au calcul les grandeurs indéterminées, tandis que l'autre se borne à enseigner, à résoudre des problèmes à l'aide des équations. Celte dernière partie a été la première inventée , et on lui a donné le nom à! analise algébrique , parce que les procédés sont en tout semblables à ceux de l'analise logique. L'autre partie de l'algèbre , au contraire y n'ayant été créée que peu à peu , on n'a pas songé

à lui donner un nom- particulier ; on l'a regardée simplement comme ' une sorte de perfectionnement accessoire de l'analise algébrique , dont elle a continué à ponservc,r le nom ; et c'est ainsi qu'en mathématiques les mots algèbre et analise ont long-temps été réputés , et sont encore regardés aujourd'hui 1 par beaucoup de gens , comme exactement synonymes. Par opposition , les géomètres ont appelé synthétique toufe méthode mathématique dans laquelle on parvient, à son. but sans faire auçun usage des symboles algébriques.

39. Mais , si l'on veut conserver aux mots synthèse et analise l'acception universellement admise , on sera forcé de reconnaître que ce qu'on appelle vulgairement en mathématiques algèbre ou analise se compose de deux parties essentiellement distinctes, qui sont l'art de calculer les grandeurs indéterminées et l'art de résoudre }cs problèmes à l'aide des équations. La première de ces deux parties , plus synthétique qu'analitiquc t pourra conserver le nom d'algèbre (*);

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(•) On comprend assez par la que je ne pense pas qu'il soit nécessaire, ni

m<vme rotivehablc de commencer un li aile d'aigre par la' résolution analilique

d'un .problème ; parce que ce n'est point en cela proprement que l'algèbre

corniste. Je, ne , la , fais pas même consister dan» l'emploi des signes indicateurs

des opérations; signes qoi lui sont, i| la vérité ,. indispero^blernent nécessaire* )

ET SYNTHESE. 359 et l'on donnera , si l'on veut , à l'autre , le nom banalise algè* brique ; quoique dans le fait cette analise soit purement arithmétique , du moment que les seules inconnues sont représentées par des lettres. Il sera nécessaire de reconnaître aussi qu'on fait très-souvent de la synthèse en algèbre, même en employant les équations; tandis que des recherches de géométrie pure sont, le plus souvent, conduites par l'analise , ainsi qu'un examen attentif des ouvrages tant des géomètres de l'antiquité que de ceux d'entre les modernes qui ont marché sur leurs traces, le prouve victorieusement.

3o. Condillac dit encore que les langues sont des méthodes analitiqucs ; que toute science se réduit à une langue bien faite ; et que c'est parce que l'algèbre est une langue de cette nature , et môme une langue qu'on ne pouvait mal faire , que son usage a si puissamment contribué au progrès des sciences mathématiques ; d'où il tire cette conséquence que , pour parvenir , dans toutes les autres sciences, à là certitude rigoureuse que personne ne conteste à celle-là , il ne s'agit uniquement que d'en refaire la langue.

mais qui ne loi appartiennent pas plus qu'à l'arithmétique , dans laquelle jo pense mime qu'on ferait fort bien de Je» introduire généralement. Cette algèbre; que j'appellerais plus volontiers calcul algorithmique , réside essentiellement <lant In représentation des grandeurs par des symboles indéterminés.

Je sais bien qu'on m'objectera que je m'écarte ici do la marche repliement suivie par les inventeurs ; cl que l'iuvenlion de ce que j'appelle exclusivement algèbre est bien postérieure à l'analise de Diopbnntc ; mais ceite objection 'ne •aurait m'arrêlcr ; parce que je ne pense pas qu'il soit le moins du monde né» cessnire «le se conformer dans l'exposition Je quelque doctrine que ce puisse être à l'ordre chronologique des découvertes. Il est sans doute d'une haute importance de s'assujettir, dans l'enseignement des sciences, A l'esprit d'invention ( mais comme une même science pouvait , suivant les circonstances et la variclé des exprils , itre iuvcnlce d'une multitude de manière* diverses; celui qui veut en développer les principes doit choisir, entre toutes les manière* de l'inventer , celle qui peut le mieux se concilier avec l'ordre et la symétrie , et eu rendre l'étude aisée et profitable.

36o ANAtïSE

3r. Mais d'abord , comme , excepté les noms propres et ceux des idées simples , tous les mots de nos langues expriment des collections, des combinaisons d'idées, que nous avons nous-mêmes formées avec des idées simples ; on serait tout aussi bien fondé à regarder les langues comme des méthodes synthétiques qu'à les envisager comme des méthodes analitiqucs. Quoi qu'il en puisse être d'ailleurs , ces langues sont bien réellement des méthodes , et même des méthodes extrêmement précieuses ; mais dont le caractère essentiel et distincliP consiste à remplacer les objets de nos pensées par des signes purement arbitraires et conventionnels , n'ayant avec eux aucune liaison nécessaire ; et , comme on en use de même en algèbre , il est très-vrai de dire que l'algèbre est aussi une langue ; mais , puisque cette langue s'est perfectionnée peu à peu , et se perfectionne même encore tous les jours, il s'ensuit qu'il est faux de dire qu'on ne pouvait la mal faire. Si, en effet, il en était ainsi , elle aurait dû recevoir d'un premier jet toute la perfection dont elle est susceptible.

32. A la- vérité, si , dès l'origine, l'algèbre n'a point été et n'a point pu être une langue parfaite , elle n'en a pas moins été une langue exacte et rigoureuse ; mais , prétendre que c'est à l'exactitude de cette langue que tient la rigueur des vérités mathématiques, c'est , ce nous semblé , prendre l'effet pour la cause et vice cersa. Si, en effet, on a pu rendre, dès l'origine, la langue algébrique tout-à-fait rigoureuse ; ©'est que cette langue n'avait à exprimer que des objets et des rapports abstraits , tout à-fait simples et nettement circonscrits. Aussi raisonnait-on déjà très-rigoureusement sur ces objets , an moyen de la langue vulgaire , bien avant l'invention de celle-là , qui n'a fait que rendre les raisonnemens plus aises , en les rendant plus concis , et en les ramenant à des règles presque mécaniques.

33. Loin donc que l'extrême rigueur que personne n'a jamais songé à contester aux sciences mathématiques ait sa cause dans la perfection du langage de ces sciences ; il y a beaucoup plus d'appaxeuce que c'est au contraire à cause de l'extrême simplicité des

objets

ET SYNTHESE. 36i objer» auxquels ces sciences sont relatives , qu'on a pu parvenir à donner tant de précision à la langue qui en exprime la nature et les propriétés. Mais , du moment que nous voudrons porter nos méditations sur d'autres objets moins simples et moins abstraits , sur des objets réels existant hors de nous , et dont nous ne pouvons apercevoir que les propriétés les plus apparentes , nous aurons beau faire et refaire la langue , nous aurons beau recourir à tout autre expédient quelconque ; nous n'atteindrons jamais à une rigueur comparable à celle qu'on rencontre dans les sciences mathématiques (*).

34. Condillac enfin répète , presque à chaque page de sa logique , qu'on ne peut aller que du connu à F inconnu ; s'il veut dire par là qu'il faut nous prendre à ce que nous savons pour nous conduire à ce que nous ne savons pas encore ; c'est très-cerlainement une grande vérité , mais qui , par là même était à peu près inutile à dire (*•) : Apollonius comme Euler , Arcbimèdo comme Lagrange,

(*) On a voulu , il y a une trentaine d'années , suivant le précepte de Condillac , refaire la langue de la chimie ; mais c'est le progrès de la science qui avait précédé et amené cette réforme : a-t-elle rendu celte science plus rigoureuse ? Non, sans doute j des découvertes postérieures ont montré que la nou- Tolle langue a\ait été mal faite , sous beaucoup de rapports ; et les chimistes d*aujouid'hul mctlcnt une partie de leur soin à corriger le travail de leurs prédécesseurs , en attendant que les chimistes a venir leur rendent à eux-mêmes, un semblable service. Qu'en faut-il conclure ? C'est que le progrès de la science n'est pas tant l'cfTit que la cause du perfectionnement de La langue qui lui est propre. La bonne composition de la langue d'une science peut sans doute contribuer puissamment X en faciliter l'étude , tout comme , en mathémalimjrr, dea notations bien appropriées à • la question dont on s'occupe , en font plus aisément rencontrer la solution ; mais , de même qu'en algèbre , on peut calculer exactement avec des notations mal choisies ; il est possible également , lorsque la nature des objets le permet , de raisonner rigoureusement avec une languetrès-imparfaite j et les travaux «k« anciens géomètres eu offrent une preuve manifeste.

H faut pourtant la répéter aux grammairiens , aux praticiens qiu écrivent

Tom. VU. 49

3Ga ANALISE

n'ont jamais prétendu nous instruire par une autre vole. Maïs; comme Condillac dit quelque part que l'analise commence toujours bien , tandis que la synthèse commence toujours mal ; on est fondé à soupçonner qu'il pense que l'analise seule va du connu à l'inconnu , tandis qu'au contraire la synthèse va de l'inconnu au connu.

35. La vérité est pourtant que c'est précisément l'inverse ; que , s'il est une méthode de laquelle on puisse dire, en quelque sorte, qu'elle va de l'inconnu au connu , c'est tout justement l'analise , tandis que la synthèse , au contraire , procède constamment du connu à l'inconnu. Cette dernière méthodo , en effet , comme nous l'avons déjà remarqué (8), s'élève peu à peu des vérités les plus simples et les plus populaires aux plus sublimes conceptions auxquelles il soit possible à l'esprit humain de parvenir j tandis que l'autre , au contraire , redescend par degrés de celles-ci aux notions triviales dans lesquelles toute proposition vraie doit se résoudre en effet.

36. La seule manière de faire de la logique de Condillac un ouvrage raisonnable serait , à ce qu'il nous parait , d'y remplacer partout les roots analise et synthèse , par ces expressions : bonno méthode et mauvaise méthode ; mais, par cette substitution même f on en ferait un ouvrage tout-à-fait inutile ; puisqu'il se réduirait à dire quo , dans toutes recherches , il faut soigneusement s'attacher aux bonnes méthodes , et éviter les mauvaises ; ce que personne jusqu'ici n'a probablement encore songé à contester.

37. Pious désirons bien sincèrement que ces réflexions puissent contribuer à détruire l'illusion et l'espèce d'engouement peu philosophique qu'a produit , dans sa nouveauté , la logique de Condillac j

sur la musique , aux arpenteurs quî écrivent mr la géomeirie , et aux négocia m cl financiers qui écrivent sur ïariihmetique. Tou« <*« gen»-la , dane leurs ouvrage», supposent d'ordinaire lo lecteur très au courant de ce qu'il» te proposent do lui apprendre.

ET SYNTHÈSE. 363 engouement que le talent supérieur de quelques- uns des disciples do ce métaphysicien célèbre , beaucoup plus que le mérite i«tiitt>cque de sa doctrine , à contribué à entretenir. Peut-être se convaii.cra-t-on , en lisant ceci , que Condillac n'en point un gn'dc anssi sûr et aussi utile qu'il a l'air de l'insinuer dans le dernier chapitre de son ouvrage ; et que, parmi les philosophes qui l'ont précédé, et qu'il traite avec un dédain si superbe , il en est qui ont vu , avant lui , et peut-être mieux que lui , en quoi consiste réellement tout l'artifice du raisonnement. Puisse -t -on aussi se dégoûter enfin de la' manie d'employer le mot analise en toutes rencontres, sans aucune sorte de discernement

38. Dans le premier chapitre d'un ouvrage tres-rccommandable , sous beaucoup de rapports (**) ; M. Carnol a expose , sur l 'analise

<•) Aujourd'hui , le métaphysicien qui divise an sujet compliqué* en ses parlici •t celui qui forme de* groupe» d'idées auxquels il impose des noms , regardent également des opérations si difléreutes comme des anal i te s. Le commentateur qui développe longuement le texte d'un livre, et l'abréviateur qui , dans un cadre réserre, nous en offre la substance , prétendent l'un cl l'autre l'avoir avalisé. I.c naturaliste qui décrit une plante ou un insecte , tel que la nature l'offre k nen regards , et le chimiste qui , après en avoir détruit l'organisation , en met a nu les principes constitutif» , sont également réputés avoir fuit une analise. On analise des pièces de théâtre , des procès , des arrêts , etc. Ou flatte l'araour.proprc d'un homme en disant de Ini qu'il a l'esprit anal ili que ; et un auteur qui veut attirer sur son ouvrage les regards et l'attention du public , ne manque guère d'y écrite en tête : Traité analitique. Certes , si les mots sont autant de signes institués pour diflerentier et distinguer nos idées les unes des autres , je ne vois pas ce qu'on peut gagner à tout appeler du même nom ? Et quand même on voudrait s'obstenir à voit* quelque chose â'ana: lilique dans tous les actes de notre intelligence ; on ne serait pas m'uux fondé & les désigner tous par la dénomiattou commune d'atialise que pourrait l'être un bibliothécaire à n'écrire uniquement que le mot /»Vre au dos de chacun de» nombreux volumes d'un vaste dépôt littéraire qui serait commis à sa surveillance.

<") Géométrie de position, in.4.0 , Paris, i8o3 , pages 9 et suivantes.