SUR LES FORMES ALGÉBRIQUES

Doetcar iS'Ccieneei.

L'arilhmélique fournit à Talgèbre ses principes tondafflentaux, puisés dans les propriétés élémentaires des nom* bres; mais, par Tintroduction des symboles dont elle fait continuellement usage, l'algèbre s*est ouvert une voie nouvelle et féconde, qui a été pour Tarithmétique la source (fane foule de vérités d'un ordre très-élevé, dont Tensemble constitue la théorie des nombres. L'emploi des symboles algébriques ne s'est pas borné là. On s'est attaché à étudier ces symboles en eux-mêmes, comme des objets d'une nature nouvelle, n'impliquant plus directement l'idée dénombre ou de grandeur, qui leur avait donné naissance , et puisant directement leur existence et leurs principales propriétés dans l'ordre et la situation des éléments qui les composent, en un mot dans leur forme propre.

Une même forme ou fonction, bien déOnie et déterminée, peut admettre une infinité de valeurs numériques. Mais des tMmes différentes, composées des mêmes éléments ou lettres quelconques, ne conservent pas, en général, une valeur Qumérique commune, pour toutes les valeurs possiUes de ces éléments. Cependant, comme on n'a pas tardé à rencontrer, dès les premiers pas de l'algèbre, des. expressions de forme extérieure bien différente, qui possédaient au contraire la propriété de rester toujours numériquement équi- Talentes pour toutes les valeurs des éléments , on s'est posé Datureliement la question de savoir quelles ét£ûent les for* mes équivalentes à une forme primitive donnée : problème

H^ioiRn. — 1861. 10

important, car sa soluUon, qui est loia d^étre complète, dans Tétai actuel de la science, aboutit à une classiOcation où Ton voit la totalité des formes distribuées en divers groupes caractérisés individuellement par une forme-type ou canonique. C*est à cette réduction que tendent, en partie, les recherches de Lagrange, Abel, Bauchy, Serret, Bertrand, etc., sur le nombre de valeurs quur^ fonction peut acquérir lorsqu'on y permute les lettres qu'elle renferme. Mais la notion de cette équivalence simple ou absolue peut être généralisée, et Ton peut imaginer un grand Dombre d'équivalences relatives , c'est-à-dire subordonnées à de certaines conditions particulières, spéciflées dans chaque cas. C'est à ce genre d'équivalence que se rattache aujourd'hui la théorie des formes homogèms^ qui comprend les théories partielles des déterminants, des covarianU, etc. On sait que l'idée première des déterm'mants remonte à Leibnitz, qui la communiqua en 1693 à L'Hospital. Mais ce fut seulement en 1750 que Cramer montra l'importance de ces fonctions par les applications qu'il en sut faire. Vandermonde, Bezout, Lagrange, Laplace, Binet, et surtout Gauss, Bauchy, Jacôbi, mirent successivement en lumière des propriétés remarquables de ces formes, qui en font un des plus puissants instruments de l'analyse moderne.

Une des propriétés caractéristiques des déterminants, reconnue presque dès Torigino, consiste dans l'int^artaW/tté de ces formes lorsque les éléments dont elles dépendent sont soumis à certaines substitutions linéaires. Cette propriété avait été observée aussi dans les courbes et les surfaces du second ordre pour quelques fonctions particulières des coefficients. Mais il n'y a pas plus de quinze ans environ qu'un illustre géomètre anglais, M. Cayley, s'est posé directement la question de trouver qu'elles sont les fonctions homogènes qui jouissent de la propriété de se reproduire intégralement lorsque les lettres dont elles dépendent ont été soumises à certaines substitutions. Ces fonctions, que M. Sylvester a nonmiées invariants, et d'autres comme les formes adjoin-

ta, lescomrianls, etc., qui se ratlacbent à la môme idée ei compreûneot les premières, comme cas particulier, oDt été l'objet, depuis leur découverle, de savantes recherches que Ton doit priooipalemeQt k MM. Gayley, Sylvester, Aronhold, Hermite, Brioschi, etc., et qui se trouvent consi** goéesdans divers recueils périodiques : \e Journal de Crelle, les Trcmactions philosophiques, le Journal de Cambridge HÙublm (actuellement le Quarlerly Review), les AnnaUs k Tortolinij etc.

Je me propose d*indiquer brièvement ici les calculs au iDoyen desquels on peut retrouver les principales formes qoe Ton considère dans la théorie générale des fonctions algibriques homogènes. J'ai eu occasion de les développer v^ détail pour les covariants. J'avais communiqué, en lîM, les priDcipaux résultats relatifs aux formes adjointes A aux formes intermédiaires, à M. Brioschi, qui a pubMé récemment une savante monographie sur la théorie des forloes dans les AnncUes de Tortoli/ni,

CORDmON GÉNÉRALE DE L'INVARIABILITÉ DBS FONCTIONS.

Soient a, 6, c,... A, 2 un nombre quelconque de variables ifidépendantes, et a^ &S c',... /(', /' un nombre égal de variables qui en dépendent par les équations du premier degré :

a' = aa + P6 + TC + ... + A/,

Kit en même temps /(a, b,c,...k, l) une fonction quelattqoe des variables a, 6, c... et f(a\ b\ c',... k\ V) ce qœ devient cette fonction quand on y remplace a, 6, c... nspecUvement par les seconds membres des égalités (1). ITonpose:

|2) f(a\b\d...)^Rf(a,b,c...)

OÙ R ne dépend que des éléments a, p, y*-, de la subsUtotion ( 1 ), on peut se proposer : 1 ** de trouver comment il faut prendre ces éléments pour que la fonction f, supposée donnée, se transforme en elle-même, au flacteur R près, conformément à la condition (?); 2"" les éléments a, ^, yétant supposés des fonctions connues d*un certain nombre de paramètres indépendants, ont peut chercher quelles sont les fonctions f qui jouissent de la propriété de se transformer en elles-mêmes conformément à la condition (2). Ces fonctions sont alors des invariants relativement à la substitution adoptée.

Au lieu de la seule fonction /*, on peut en prendre plusieurs, A 9, A,... et, ayant déterminé un nombre égal de fonctions f\ g' , h' .,, par les équations linéaires

g'= A'f+B'g-\^ah + h' z=A''f^b''g + C''h'{^

où A, B,C... dépendent uniquement des mêmes paramètres indépendants que les éléments de la substitution (t); ob peut exiger que Ton ait identiquement :

R/'r=.f(a\b',c\..) Sg'^g{a\b',c\..)

c'est-à-dire ;

/ (a', 6', c'...) = R(Af+Bg+ Ch +...) g [a\ b\ c'...) = S {Ar+ B'g-^Ch +...) h(a\b\c\,.] = T(A"f-{-B"g^C'h+.J

R, S,T,.. dépendant uniquement des paramètres indépendants.

aies fonctions f,g,h... sont données, on peut se proposer de trouver la loi des substitutions (1) et (3) de telle bçon que les équations (4) soient satisfaites pour toutes les valairs des variables a, 6, c...; et Ton rentre alors dans une extension du problème de la transformation de formes données en elles-mêmes.

Si an contraire les substitutions (1) et (3) sont réglées dV vance de sorte que les éléments a, 3, y». m A, B, C... dépendent, d^une manière déterminée, de certains paramètres iodépcndanls, les conditions (4) correspondent aux formes que Ion nomme covarianis, formes adjointes ou contravariants, etc., ainsi que cela sera spécifié plus loin.

Dans tous les cas il est utile de connaître la variation que subit chaque fonction /'(a',&',c'...), g(a\ b\ c'...),... lorsque les paramètres indépendants reçoivent des accroissraients infiniment petits arbitraires.

Je vais considérer d'abord le cas d'une seule fonction. En désignant par ^ les différentielles prises par rapport aux paramètres indépendants et à tout ce qui en dépend, on a géDéralement :

lf(a\ b\ c',..) = 1{ la'+% IV -h ^, 8c' +..• aa au ac

)iais en substituant les variables a, 6, c... aux variables a\ b\ c' ... d*après les relations (1), on a :

^à£da[dfd^dfd£ da'^da' da^ dV da- de' da "*"""

c'est-à-dire :

da da- ^ db' ^ de' ^ ' , . df df „ , df „, , df „„ ,

de da'^^ dh'^ ^ dc'^ ^

Si Ton désigne par A le détaminaot de la substitatioa i de façon que

(A est le dénominateur commun qu'on trouverait si Ton résolvait les équations (!) par rapport à a, 6, c,...) et qu'on ait égard aux identités connues

rdR dR ,dR

on déduit des équations précédentes

da' dadad^db'^dfdc'"

jf^ ^^ ,^à[ dRdf db' "" da' da "*" dp' di "^ d^' de "^ " '

On a donc pour la variation cherchée :

i^fir.' h' r' I ia'fdRdf dRdf \,îb'(dRdr.dRfd,

et comme, d'après (I),

en substituant ces valeurs dans Téquation précédente, on aura la variation de f(a\ b'.,,), exprimée parles variables primitives a, 6, o,... et les éléments de la substitution (i). Maintenant par la condition (2) on a :

el, en égalant celte nouvelle expression de la variation à la précédente, Téquation qu'on obtiendra sera précisément la coodition nécessaire et suffisante pour rinvariabilité de la fonction f. Mais cette équation devant subsister pour toutes les valeurs des paramètres indépendants et des variables aussi indépendantes a, 6, c,... se partagera en plusieurs autres qu'il sera facile de former quand le but qu'on se propose sera bien déflni.

Dans le cas de plusieurs fonctions /"(a, ft,...), on formera comme ci-dessus une première expression de leur variation, et, conmie les conditions (4) fournissent tout de suite une autre expression de ces mômes variations, en les égalant respectivement, on aura autant d'équations qu'il y a de œnditions ou de fondions /*, g, h... et chacune d'elles se partagera d'abord en autant d'autres qu'il restera de varia- (ioos arbitraires, etc.

DES LOIS QUI HEGISSENT HABITUELLEMENT LES SUBSTirUTIONS EMPLOYIÉES.

Les variables désignées précédemment par a, b, c... sont ordinairement les coefficients d'une ou plusieurs fonctions données F{x, y, 2...), F, (x, y, z...) qui dépendent d'autres variables indépendantes. On fait subir à ces variables une substitution linéaire dont les éléments sont ici les paramètres indépendants dont il a été question dans le précédent paragraphe. Parla les coefficients a, b, c... se transforment en d'autres a' , fc' , c' . . . liés aux premiers par les relations (1 ) où il faut maintenant entendre que les éléments a, ^, y-*sont déterminés en fonction des paramètres indépendants par le fait de la substitution qui a affecté a?, y^z,.. Une chose à peu près semblable a lieu pour les quantités A,B,C..,R,..

A la substitution primitive qui reste toujours indépendante, on associe ordinairement une substitution spécial^

que Gauss a nommée adjointe à la première, et dont les éléments dépendent, d'une manière qui sera spécifiée, de ceux de la première. Ces deux genres de subslitutions relatifs aux Xf y,z... donnent naissance à plusieurs espèces de formes, suivant qu'on les applique, séparément ou conjointement, d'une manière qui sera indiquée plus loin. Ce sont ces substitutions primitives qui régissent alors les substitutions (1) et (3) du précédent paragraphe, en faisant connaître le mode de formation des éléments a, p... ^4, B.. . fl en fonction des paramètres arbitraires.

Lorsqu'une fonction F {x.y, z..,) ùe variables indépendantes, que je supposerai au nombre de trois pour fixer les idées, est soumise à la substitution linéaire

S= f X , -t-f) y ^ li i

doni les éléments §, ij, Ç... swit des paramètres toul-à-Iait indépendants, il existe pour la transformée F' (a/, y', 2') certaines relations différentielles qui sont identiques et fournissent un nouveau moyen d'arriver, plus symétriquement, à la détermination des covariants, des formes adjointes, etc., qui vont faire bientôt l'objet unique du présent écrit. On a:

dF^ d£ , d£ dF , dF dF ,.

rfÇ ~ da; ^ ' df' ~ d^ * ' dq" ~ dz'^ '

d'où:

^dÇ ^ dÇ' df Vdx^ dy ^ d%}

dP' ,dF' „dF' ,( dF ,dF „dF\

" di ■*"' dT' "^' dT="bdi*''d-r''d^)'

mais, si Ton considère F comme dépendant de x\ j/, s' d'après les relations (1), la première parenthèse revient à

7-. et la seconde à —, . Donc, en posant, pour abréger : aœ dif

on aura, pour toute transformée par la substitution (I), les relations identiques :

Considérons maintenant la substitution adjointe à (I) savoir :