II

dA , dA # dA ,

dÇ dt) ^ dÇ

On en déduit

Hais en différentiant, par rapport à Ç, y), i; séparément, la relation identique

dA , dA „ dA on voit que les parenthèses se réduisent respectivement à

dA dA

Ainsi :

^dx ^fdx j,„ dx ,dA , dA ^

^dj? ^,d2 ^„ d5 dA ,dA

Ensuite :

!,/ d»l , d»A „ d»A \ •*-M''dF"^d|dr''d|rff)

Mais en différentiant successivement par rapport à ^,r„ i; la relation

dA , dA „ dA ^dr'rfÇ'^^dT^"'

on voit que les pareotbëses se réduisent respectivement &

Aiosi:

dx ,dx „ dx .dA,, .

dz , dz „ dz d^,

Maintenant, si Ton désigne par F" (af, t/, z') la transformée de F par la substitution (II), on aura :

d£' , dJ^ ^ ,, dF"

I4 second membre en ve^ de (tt) peut s'écrire :

./dfdl^dfG[A^dfdA\ JdFd^ ^dA^df^\; ^ ((te di, ■*■ dy dV "*" ds di)"J "** ^ \dj? dÇ "*" dy dC "*" d2 dÇ")

or, les deux parenthèses sont précisément les dérivées

dr dr

j^ » Ti » Q'^*^" tirerait des relations (11) en considérant F

dy dz

comme dépendaat de w\ y\ z'. Donc :

, dF" dF" dF" dF" ,dF"

'** ^dç -^^'di'-*-^"dr'=î^di;"' "' d^' •

Pois:

dF" , dF" „ dF" "^ dç -^-"^ dÇ'"*-"^ dÇ"

f dF( dx ,dx „dx\ dFt dy ,dy „dy\

dF [ dz , dz „ dz \

- 57 1" d| •*• 'î 51' * "i 5|"j • Le second membre en vertu de (^) revient à :

,/dFd\^dFdl dFd^\ ^ \dx'^ * TyM''^dîd^"r mais, comme précédemment, les relations (H) fournissent-:

dF'dFdx ^rfyrffrff dx' dx dx' dy dx' dz dx'

c'est-à-dire la parenthèse ci-dessus. Ainsi :

dF' ,dF" „dF" .dF"

<^> ^dl -^^'■^^5r=-î'5ï'-

Si Ton suppose F bomogëne et de degré n par rai^rt à jr, t/, jï, on aura :

,dF" ,dF" ,,dF"

dir' ^ dy' dz'

dF" ce qui permettra d'écrire nF" — x' —„ an seo(»d mop-

bre de l'égalité («')• Dans cette même hypothèse de l'homogénéité, OD aura donc le tableau suivaut relatif à toute transformée F"{oif^ t/, z') par la subsUtutioo adjointe (II) :

Les groupes identiques (a) et (6) vont conduire de la manière la plus simple aux conditions spéciales qui caracté-

risent et déterminent les invariants, les covariants, les formes adjointes et les formes intermédiaires ou mixtes. Mais avant de quitter ces identités, on peut remarquer que le groupe (a) donne symboliquement :

et par suite :

etc...

Si F' est homogène, on ad'ailleurs(l) -^ (jj -^ (;) =^; à*où Ton conclut :

HI)=«*(i)(^K)(i)-(l)(!)-(!)(l)-

Ainsi, pour une forme homogène, les opérations hj peuvent s'exprimer par les P j , ( ? j ,.. .

On déduirait semblablement du groupe (b) relatif à une substitution adjointe :

(m-m=ii)-{'ù

'(l)='-'(ï)(^(5)ÏHy(ï)-(^)(l)^

au lieu de 2n il faudrait écrire (x— l)n, si x désigne le nombre de variables (T^ y, z...

(A continuer.)