IV. Analyse de trois Mémoires de Fresnel

V. Différentes méthodes de calcul. — Analyse infinitésimale. Méthode des variations. Calcul aux diflerences finies ; interpolation. Méthode des moindres carrés. Calcul des probabilités. Calcul algébrique ordinaire. Remarque sur l'homogénéité de Fourier. Observation finale.

YI. Histoire de la physique mathématique. — (Ce chapitre n*a pu être fait dans le délai fixé pour la clôture du concours.)

. Toute science est le développement d une idée fondamentale, ée fondamentale qui sert de base à la science mathématique est otion de quantité. Cette notion acquise, nous en étudions lobjet toutes ses formes, nous le suivons dans toutes ses variations, enfin cherchons les rapports qui lient les différents états sous lesquels présente, et à chacun desquels en particulier on a laissé le nom ^prandeur ou quantité. Nous formons ainsi la science des quantités les mathématiques : cette science n'est autre chose que Fenble systématique des lois ou des rapports des quantités, lois Ht toutes pour génération commune Tidée fondamentale de gran-^ r ou quantité.

Ouant à son utilité, elle consiste dans l'évaluation, ou la mesure s grandeurs : elle embrasse la connaissance du monde physique entier. Pour saisir cette utilité , il suffit d ouvrir les yeux : dain nous apercevons une foule de grandeurs que nous savons sipprécier exactement, sans avoir eu à vaincre les obstacles, souvent 'invincibles, qui nous en séparent : telles sont les distances astronomiques. Cette appréciation se fait au moyen des rapports qui existent entre les quantités : connaissant un rapport entre une grandeur inconnue et une autre déjà connue, ou plus facile à connattre, ^us arrivons à l'évaluation, à la mesure de la grandeur inaccessible. ^ rapport peut être direct ; souvent il ne Test pas : de là une complication qui rend raison des difficultés que comporte quelquefois \d mesure de certaines grandeurs. C est dans ce but pratique que Vhomme s est d'abord livré à la recherche de la science dont il s'agit. Ce mémoire n'a pas pour objet d en retracer l'histoire , mais bien de donner à cette utilité pratique une base rationnelle. Il s'agit de montrer que cette science doit servir à l'étude des phénomènes physiques ; que les lois des quantités ne sont en définitive que la

traduction des lois de ces phénomènes. Nous aurons en outre Toccasion de constater la solidarité qui lie les progrès de nos connaissances dans les unes et dans les autres.

Il importe à ce sujet d'étudier la notion qui sert d*origine aux mathématiques, et de voir naître en quelque sorte Tidée fondamentale de quantité, qui leur sert de base.

2. La sensibilité est évidemment la première faculté qui s^ manifeste chez Thomme : avant de connaître, il sent. Mais bient6\ subissant les conditions de son essence, d autres facultés, celles c^ lesprit, se manifestent aussi successivement en lui; et aussitôt, L^ appliquant aux phénomènes perçus par sa sensibilité, il acquiert 7 conception de \si quantité (nombre ou collection), par la plural « des objets qui Tentourent; de V espace, par les divers aspects cE forme ou de position sous lesquels ces objets se présentent; dM temps, par la simultanéité ou la succession de ses perceptions.

3. L espace et le temps sont les deux conditions essentielles'^ dans lesquelles notre esprit conçoit Texistence des objets extérieurs. Ces deux notions fondamentales n entrent d ailleurs complètement en nous que par suite de la comparaison d un temps à un temps,

d un espace à un espace ; qu après qu elles ont revêtu une forme , qui est celle de quantité, nécessaire à la conception complète du temps et de lespace, et qui les précède dans Tordre logique.

4. La conception première de quantité, s'jexerçant sur les notions fondamentales du temps et de Tespace, donne lieu à la notion dérivée de nombre, évaluation quantitative du temps, dune part; et, d'autre part, à la notion dérivée d'étendue, évaluation quantitative de lespace. Ce sont ces notions explicites qui forment la base de notre étude sur les phénomènes naturels, et d oii dérivent k leur tour toutes les autres notions que nous fait acquérir cette étude. En effet, l'univers, dont nous étudions les phénomènes, peut être envisagé de deux manières : 1 "* simultanément et à l'état de repos (ou, pour mieux dire, à l'état statique) : alors nous pouvons foire

DE LUTILITB DU CALClL. 475

attraction du temps comme quantité , puisque, dans ce cas, sa

variation nest d'aucune conséquence, et il ne nous reste quà

oumérer (compter) les objets, et à étudier les lois de Tétendue;

2* à Tétat dynamique tel qu'il est en général, c'est-à-dire en ayant

égard aux changements qui s opèrent dans la progression du temps.

Ces divers changements, appelés mouvements, sans avoir besoin de

recourir à la notion des causes qui les font naître, impliquent

nécessairement et avant tout le temps et lespace, à la suite desquels

seuk peuvent être conçues les notions subséquentes qui font l'objet

de notre étude, telles que les vitesses, etc. (i).

5. On voit déjà, par ce qui précède, l'universalité. rigoureuse et

nécessaire de la science des lois des quantités, n'eût-elle même pour

objet que Tévaluation des grandeurs : car celle-ci se réduit, en

dernière analyse, à l'évaluation ou à la mesure du temps et de

l^pace , lesquels ont fourni l'idée mère de cette science. C'est en

^ basant sur cette considération que le temps et l'espace sont les

conditions primordiales du monde physique, que le philosophe Kant

p>x>pose de définir les mathématiques, en ce qui concerne leur

^Implication à ses lois, la science des lois du temps et de l'espace,