On appelle nombre l'expression qui détermine, qui définit

Uïi© collection d'objets ayant une même nature. Pour définir une

f^^^^deur quelconque (temps, espace, etc.) , nous sommes obligés de

Uïniter une certaine partie de cette grandeur, et de rapporter à cette

V^slie, prise dès lors pour terme de comparaison , ou unité, toute

^ndeur de même nature : l'unité est l'objet individuel ; la grandeur

^ s y rapporte est la collection d objets de même nature ; elle se

définit par un nombre. Le nombre est donc l'évaluation comparative

d'une grandeur quelconque, rapportée à une portion d'elle-même.

Cette déduction achève de préciser le but définitif de nos recherches

sur le monde physique ; car, soit à l'état statique , soit à l'état

dynamique, ses lois ne sont autre chose que des rapports entre

(4) Viff^z CoHTB, Philosophie positive, iom. le^.

des grandeurs, définies par des nombres : toutes ces questions se réduisent donc à des nombres, évaluations des grandeurs.

7. On voit que nos premières observations sur le monde extérieur révèlent à notre raison l'existence de la science des quantités comme a élément de Tordre universel (i) » : c est alors que nous cherchons à découvrir cette science, et à la connaître indépendamment de ses relations avec les phénomènes sensibles. Mais les premières notions qui nous guident étant prises dans ces phénomènes, toutes les déductions que nous en tirons doivent s y retrouver. Or voici les deux premières remarques que nous ferons :

Première remarque. — Les lois des quantités étant invariables, et ne présentant pas entre elles la moindre contradiction, il doit en être de même des lois de la nature .

L'état actuel de nos connaissances nous autorise en effet à prétendre que ces faits extraordinaires qui nous frappent quelquefois, et tendent à nous faire présumer des contradictions aux lois naturelles, n'en sont, au contraire, que des conséquences nécessaires, dues aux circonstances particulières dans lesquelles nous les observons. L'histoire de l'astronomie offre à cet égard plusieurs exemples décisi& : la gravitation universelle, loin d'être démentie par les apparences d'irrégularités qui se sont quelquefois manifestées aux yeux des astronomes, dans les phénomènes célestes, et dont voulaient {Hrofiter les adversaires de cette théorie, a reçu de ces irrégularités mêmes son brevet de réalité. La précession des équinoxes , expliquée en partie seulement par Newton, resta, jusqu'à d'Âlembert, un problème dont la solution semblait devoir contrarier sa théorie. Mais d*Aleaibert, profitant des observations de l'astronome Bradley, prouva que ce phénomène est une conséquence nécessaire de la théorie newtonienne, due au renflement de la terre à l'équateur, partie surlaqudle l'action du soleil et de la lune doit avoir évidemment plus d'intensité. La nutation de l'axe de la terre fut dès lors aussi un bit qui

0) ^oy^s FocRiEE, Traité de la ckahur.

D£ L ITILITÉ DU CALCUL. 477

ja'âvait plus rien d'illogique. — Les perturbations inexpliquées de la r>laKiète Uranus portaient à croire que lattraction ne suivait pas exac- £^jzment la loi inverse du carré des distances. MaisM.Leverrier, conle principe de Newton tel quil était posé, et le conciliant les irrégularités observées, en déduisit Texistence d*un nouvel qui n avait jamais été remarqué, et que M. Galle vit le premier re au point que lui avaient assigné les calculs de lastrofrançais.

Hien de plus simple, en apparence, que le phénomène qui doit produire quand on intercepte les rayons lumineux par un corps o^>aque : toute section du cylindre ou du cône d ombre semble devoir âlro plongée complètement dans lobscurité... Dans cette section, 9àiJL contraire, lorsque le foyer lumineux est sensiblement réduit à un point, Fombre géométrique est bordée à lextérieur de franges alternativement claires et obscures; bien plus, l'intérieur même de oette ombre présentera des franges lumineuses, si le corps interposé na pas une laideur trop considérable, quelles que soient d'ailleurs ^n épaisseur et sa longueur. Ce fait dut sans doute paraître étrange <hns les premiers temps, et Ton ne doit pas s*étonner qu'il ait excité 'intérêt et les efforts des savants pour l'expliquer : grâce au petit i^^^inbrede principes qui régissent les phénomènes lumineux, principes dont lensemble est soumis à une loi générale, ce fait s'explique trës-Cacilement ; et, loin d'être une irrégularité, un caprice arbitraire delà nature, il est une conséquence nécessaire de la loi générale, (pi, ainsi que nous le verrous plus loin, règle jusqu'à la manière i'fttre de ces franges.

Citons encore l'exemple d'un phénomène remarquable découvert fttrMM. Biot et Savart, et qui consiste en ce que la force directrice de raimant, due à Tinfluence d'un courant, varie en raison inverse àla simple distance, si le conducteur est rectiligne; et, de plus, fn^ifortionneUement à la tangente de la moitié de l'inclinaison du conducteur sur P horizon, si le conducteur, au lieu d'être rectiligne, présente un angle k l'aimant , et qu'on place le milieu de celui-ci SUT l'horizontale qui partage l'angle du conducteur en deux parties égales. Cette découverte a failli démentir un instant l'opinion qui se

formait déjà que laction de toutes les forces naturelles suit la lor ^ générale de la raison inverse du carré des distances. Mais Laplac^^ démontra par un raisonnement analytique que les lois de MH. Bio^^ et Savart sont une conséquence tou^e simple de la loi générale^ appliquée aux circonstances particulières de leur observation. E^ effet, si Ion ne considère qu un élément de la tige conductrice, action variera en raison inverse du carré de la distance, et propo: tionnellement au sinus de langlo que cet élément fait avec la droi^^ qui joint son centre à celui de 1 aimant. Mais cette action est mod^B fiée par celle de tous les éléments, situés à des distances différent^^ et ayant des inclinaisons diverses sur la droite qui joint leurs cent à celui de laimant ; c est ce que prouve le calcul au moyen duq on déduit les données de Fexpérience de la formule élémentai calcul entièrement fondé sur ce raisonnement.

Seœnde remarque. — Les résultats de nos spéculations abstraites qui semblent d abord n avoir qu un intérêt de curiosité, doivent retrouver matérialisés dans le monde sensible. L'observation con — ^ firme encore cette remarque dans bien des circonstances.

Les corps célestes, par exemple, ne nous ont-ils pas montré la ^ réalisation de lellipse et de la parabole, bien longtemps après qu Apollonius en avait fait connaître les propriétés?

Les propriétés des nombres mêmes, découvertes indépendamment de toute observation extérieure se trouvent fréquemment réalisées dans les phénomènes naturels. Citons^n dabord un exemple parmi les plus simples : on sait qu'une barre de fer, exposée par une extrémité à une chaleur croissante, et par lautre à une température constante, étant, dans le sens de sa longueur, divisée en parties égales et portant un thermomètre à chacune de ses divisions, se mettra bientôt dans un équilibre de température tel que, tandis que les distances à partir de la seconde extrémité croissent en progression arithmétique, les températures indiquées par les thermomètres croissent en progression géométrique : alors les relations qui existent entre les nombres représentant les quantités de la première et ceux de la seconde série reproduisent les propriétés

nues des logarithmes. Ainsi ces propriétés, trouvées par la seule ^considération des nombres purs, prennent un corps dans la nature. .Les fonctions elliptiques , abstractions auxquelles trois des plus nds géomètres durent une partie de leur gloire, se retrouvent les lois de la propagation de la chaleur, dans les corps terminés une surlace ellipsoïde, lois trouvées par M. Lamé.

S. Les vérifications de ces deux remarques théoriques montrent le rapport qui existe entre les résultats abstraits de la science thématique et les lois naturelles , et la supériorité des raisonneanalytiques, puisqu'ils peuvent devancer nos perceptions.

9. Abstraction faite des questions sur lessence des choses, sur la cause première des faits, devant lesquelles nous sommes jusqu'ici frappés d'impuissance, il est donc évident que la nature dans toute son immensité appartient au domaine de la science des quantités. Les notions certaines qui viennent d'être exposées (2, 3, 4) forment la base sur laquelle s appuie tout entier le vaste développement de cette science : prises dans lobservation de Tensemble complet du monde physique, elles suffisent pour se faire une idée du champ que doit occuper ce développement et pour concevoir le rapport intime qu'il ne peut cesser d avoir avec les phénomènes naturels, dont il n est, en définitive, autre chose que l'interprétation. Relativement à nos possessions intellectuelles , ce champ est sans doute bien étroit encore, surtout comparé à ce qui nous reste à conquérir : conquête lente et laborieuse, qui se présente avec ce singulier caractère qu'elle satisfait et irrite à la fois notre insatiable curiosité ; qu'à mesure qu'elle avance, elle exige et produit à la fois en nous une activité toujours croissante. Quant à ses limites, nul n oserait les assigner ni même les présumer.

10. Partant de ces notions primitives, la raison, souvent aidée de l'observation détaillée des faits, mais souvent aussi seule, et par sa spontanéité, a incessamment étendu nos connaissances mathématiques. Mais s'il s'agit d'appliquer ces connaissances à l'étude des lois des phénomènes naturels, plusieurs difficultés capitales se présentent. Tâchons d'exposer les principales.

10. Avant de pouvoir rien établir de certain touchant les lois d'un phénomène , nous devons chercher les relations précises qui existent entre les quantités de toute nature qui peuvent y entrer :

DE LITILITÉ DU CALCIL. 481

en un mot, il faut trouver iéf/uation du phénomène. C'est par lobservation que nous devons arriver à trouver ces relations ; c est par nos , aidés de moyens mécaniques (la plupart fondés sur la connaisdes propriétés naturelles précédemment découvertes) . et par la réflexion, que nous saisissons ces relations premières, fondamentales, qui doivent servir de point de départ à toute conclusion.

4 S. Le premier obstacle qui s'oppose à leur découverte est rixxmpcrfection relative de nos organes : la preuve en est dans ces noxnl^reax moyens artificiels ingénieusement imaginés pour venir au

de notre faiblesse et dans la précision, toujours trop peu

I, à laquelle nous tâchons de les amener.

à la lunette de Galilée, et aux perfectionnements successifs

<{ca*eUe a subis, que nous devons de pouvoir interroger le ciel de si

près ; c'est au moyen de son plan incliné, dont la machine d'Atwood

(a^ aiiissi un perfectionnement, que nous avons connu les lois de la

clxmste des corps. Plus tard, le calcul devait déduire ces lois de la

conception de Newton ; mais cette conception même repose sur la

considération des faits. Pourrions-nous juger de la pesanteur de lair

p^t" les seuls effets qu elle a sur nous ? Sans le tube de Toricelli ou

eu serait grand nombre de nos connaissances physiques ?

U appartenait à Thomme de se suppléer ainsi par les conquêtes ^^ ^on intelligence. Cependant, ce point de départ indispensable, iodé ipendant de toute idée pure, nous ne pouvons souvent le posséder ^ malgré les puissants auxiliaires que nous nous sommes créés, qu Q^f rès un travail long et minutieux, tellement important, quil a fofc^ à diviser Tétude de la physique générale en deux branches [p'^ysique expérimentale et physique mathématique) , que les savants $e ^nt partagées, pour y consacrer des efforts spéciaux. Heureux, ^UBnd ce pénible travail lui-même nous permet enfin de pénétrer \e secret que nous poursuivons !

<3. Mais, jusqua présent, nous n'avons pu trouver que les lois des phénomènes les plus simples et les plus généraux de la nature : il semble qu'à mesure que leur importance matérielle s'accroît, ils

présentent une complication qui les dérobe d autant plus à nos investigations.

1 4. Cependant, c est de la connaissance des lois mathématiques des phénomènes que datent les plus grands progrès des branches de la science auxquelles ils appartiennent. Ainsi, en chimie, la découverte de la loi des proportions définies nous a conduits à la loi non moins remarquable et non moins utile des proportions multiples, confirmée par l'expérience, et à la théorie des équivalents, qui réduit à une simple opération d'arithmétique, au calcul d une proportion, la solution de tous les problèmes de quantités pondérables que peuvent présenter les réactions chimiques : on sait avec quelle rapidité a marché la chimie depuis que ces connaissances nous sont acquises.

On sait que, ce pour élever d*un degré la température d un système de corps, il faut une quantité de chaleur égale à la somme de celles qu il faudrait pour élever séparément la température de chacun d'eux d'un degré, » d'où M. Woetzyn conclut que si les forces qui retiennent les éléments d'un corps composé n'altèrent pas ce (ait, la quantité de chaleur nécessaire, pour élever d'un degré la température du corps composé, est égale à la somme des quantités nécessaires pour élever d'un degré la température de chaque élément. Cette loi, que vérifient à peu près les expériences de son inventeur, permettrait de calculer la chaleur spécifique d'un corps composé, connaissant celle de chacun de ses éléments; et réciproquement, connaissant la chaleur spécifique du composé et celle de chacun de ses éléments moins un, on pourrait en déduire celle du dernier. C*est par ce dernier moyen que M. Woetzyn calcule la chaleur spécifique du fluor par celles du fluorure calcique et du calcium.

1 5. Mais s'il s'agit d'étudier les lois de la force qui unit les corps de natures difiérentes : nous voyons ce cas probablement particulier de la gravitation universelle se compliquer de caractères électriques, calorifiques, lumineux, tellement énergiques, surtout le premier et le second, qu'on a cru pouvoir attribuer à la seule influence de 1 électricité l'acte de la combinaison chimique. Quoi qu il en soit,

I ensemble de ces caractères parait rebuter pour longtemps encore,

/)ar sa complication, les efforts les plus ingénieux de lexpérience et

(/e l'esprit. S'il nous était permis de lever un coin du voile qui couvre

tes secrets de Thistoiro future des sciences, nous y verrions peut-être

(pjte ce n est que lorsque les théories physiques de ces trois agents

AéiCiirels seront bien établies, et réunies sous un principe ou une loi

ooKiixnune (on sait déjà Timmense part que lanalyse pourra reven-

dî<juer dans ce progrès) , et lorsque la constitution intime des corps

soirsL mieux connue, que le jeu si confus encore de la force qui pré-

âido à la combinaison chimique sortira de son chaos.

4 C Les phénomènes chimiques sont loin d'être les plus compliet les plus difficiles à observer : les lois de la vie sont encore ystère... Et cependant, là encore, il nest pas difficile de se

ooi^vaincre que le but de nos recherches se réduit à des rapports de

q^aeuQtités.

'I *?. Ce sont, dans une foule de cas, les méthodes propres à trouver ces rapports, qui nous manquent et nous arrêtent : c'est vers leur découverte que tendent les efforts de l'expérimentation. L'observation a donc à faire les premiers pas dans la recherche des lois naturelles : celte tâche est souvent fort longue et difficile. Mais les pt^mières données qu'elle fournit permettent souvent de l'abréger, et même de beaucoup, si ces données forment un ensemble suffisant.

18. Les généralités qui précèdent ont montré que les lois phénomènes naturels dépendent essentiellement des quantités ; oi vu aussi les difficultés qui nous arrêtent dans la recherche de lois : notre faiblesse augmente avec la complication du phénom que nous voulons étudier. Il est clair, dès maintenant, que cette étude, Tanalyse mathématique, ou le calcul, est un instrum rendu nécessaire par la nature même des résultats qu on veutobte savoir : les lois des phénomènes naturels , lois qui s expriment ^ des relations de quantités. G est ce que nous allons essayer de cifier par des considérations particulières, appuyées dexçm pris parmi les travaux des géomètres auxquels la physique quelques-uns de ses plus beaux progrès.

19. On a vu que Tobservation est le point de départ indispens^^^Ho de toute recherche dans Tétude d'un phénomène. Il est rare qn< » ce point de départ suffise à la découverte que Ton veut faire : ce c^b. *'est que dans les phénomènes les plus simples qu elle a pu fournir ^^ résultats complets, par exemple, ceux de Tétendue et ceux de Yàm^'W^^^' libre et du mouvement, abstraction faite de la nature des force&> -' ^ la vérité , ce sont là deux sciences auxquelles s applique pres^y^^ immédiatement le calcul. La géométrie n emprunte à Tobservati'^^^ qu un petit nombre de notions primitives ; la mécanique rationnc/^^*^ part de deux seuls principes : l'inertie et la proportionnalité (fess-^ vitesses aux forces.

20. Mais ce n est pas de lobservation immédiate de lefiet général de la chaleur solaire à la surface de la terre, par exemple, que nous pouvons déduire les lois thermologiques. C'est, au contraire, en séparant les propriétés qui montrent entre elles quelque diffé-

DB l'utilité du calcul. 485

reace et en se mettant dans les circonstances propres à les produire iK>lénient, qu on parvient plus sûrement à en rendre les lois manifestes : il arrive alors quelquefois qu'une seule propriété, bien connue et bien définie, sert à Tétude dune ou de plusieurs autres.

^insi la dilatation des corps par la chaleur, en conduisant à y "izivention du thermomètre, a servi à lexploratiou ultérieure de tous phénomènes calorifiques sans exception.

C'est du résultat de la combinaison des observations thermo- ^triques et barométriques qu on déduit, par un calcul £ort simple, Icft mesure exacte de la pesanteur de lair ; ce calcul est connu sous l49 nom de correction barométrique.

Cette même dilatation, mesurée et reconnue uniforme pour tous

l^s£( gaz, combinée avec la loi de Mariette par un calcul non moins

^iniple que le précédent, car il n'est en définitive que la traduction

dmji. lait, donne le moyen d'obtenir les densités exactes du gaz. Je

cdboserai pas de ces exemples faciles, qui sont très-nombreux : ils

centrent tout d abord l'utilité du calcul pour mesurer, interpréter

d^^s faits, au moyen des lois connues. C'est d'ailleurs ce qui était déjà

S^iiéralement démontré. Mais ces exemples prouvent aussi que

l^^spérience est un auxiliaire presque toujours indispensable de

1" observation, d autant plus que les phénomènes étudiés sont plus

mpliqués.

21 . L expérience, disséquant pour ainsi dire le phénomène, en

les diverses circonstances plus claires et plus faciles à observer :

^\^>rs, si le calcul parvient à s'emparer d une ou de plusieurs de ces

^inconstances, on en tire certaines conséquences que doivent con-

'irmer, ou les expériences déjà faites, ou de nouvelles expériences

^^uquelles elles donnent lieu; ce qui est un progrès dû évidemment

^u calcal.

HicAmQos CBLBSTB. — Aiusi Kepler, ayant observé que les aires décrites par les rayons vecteurs menés du soleil aux planètes sont proportionnelles au temps , Newton put en conclure par lanalyse que ces planètes sont attirées par une force émanant de ce centre :

il confirmait, par ce résultat du calcul, le système de Copernic, et dotait la mécanique de son principe des aires.

Hydrostatique. — La loi trouvée par Mariette pour les variations de volume des gaz soumis à diverses pressions , ^ traduit en une formule extrêmement simple. Elle sert à calculer, au moyen du manomètre , l'intensité de la gravité dans différents lieux du globe. Combinée à la loi du mélange des gaz, elle sert encore à trouver les relations entre les volumes et les pressions dun gaz, lorsque celui-ci est saturé de vapeurs à diverses températures ; c'est-à-dire que par la règle de Mariette, on résoudra ce problème général : « Un gaz toujours en contact avec un liquide occupe à t degrés, sous la pression P, un volume V: on demande quel volume F il a occupé à t degrés sous la pression P' . » Ce problème comprend le suivant : « Chercher le volume V', que prendra sous une même pression P, un gaz occupant sec un volume V, lorsqu'il pourra se saturer de vapeur à la température de t degrés. »

De la formule du premier y = pTZf'* iA-lt ^^ déduit celle du,

V P second : y = , en observant que la température , ne varianM

pas le rapport ^ , = 1, et que la pression étant constante P=-P/ F étant toujours la tension de la vapeur à la température de t degrés.

Chaleur. — Dans un autre ordre de phénomènes, MM. Dulong et Petit, étudiant le refroidissement des corps, découvrirent, par expérience, cette loi qu'ils purent traduire en formule :

(( Pour un excès constant de température, la vitesse du refroidis» sèment dans le vide augmente en progression géométrique, quand la température de l'enceinte augmente dans un rapport arithmétique. »

Intégrant la fonction différentielle qui représente cette vitesse, ils découvrirent cette nouvelle loi : a Quand la température du lieu est constante, si l'excès croit dans un rapport arithmétique, la vitesse du refroidissement croit dans un rapport géométrique diminué d*iiii6 quantité constante. »

DE l'utilité du calcul. 487

La propriété de la chaleur de se réfléchir sur les surfaces de cercorps, dans le plan qui contient la normale et le rayon incident, €elle sorte que ce dernier et le rayon réfléchi forment, avec la le, des angles égaux, cette propriété, soumise à une analyse géométrique, confirme le pouvoir, connu depuis Ârchimède, que lent les miroirs concaves sphériques, de concentrer la chaleur mm point de leur axe, et expliquent l'invention du miroir ardent géomètre syracusain .

I^OMikiii. — La même propriété, partagée par la lumière, donne,

Vaide des mêmes calculs, la théorie des phares. Enfin les résul-

d une analyse tout à fait analogue, appliquée au phénomène de

\sL réfraction, dont Descartes avait donné la loi, constituent toute la

tHéorie des instruments d'optique, au perfectionnement desquels ces

eonnaissances exactes nont pas peu contribué.

Le pouvoir réfringent des corps, observé à part entre tous les phénomènes de la lumière, a conduit Newton à sa belle explication aoalytique de Farc-en-ciel : explication qui serait incomplète, sans Taide de lanalyse. On sait aussi comment il a su faire une question de fnaœima et minima, de la recherche de Tindice de réfraction des substances solides.

Emfin une des lois de la polarisation par réflexion, due au docteur

Brewster : « La tangente de langle de polarisation d un milieu quel-

coiiC|ue est égale à l'indice de réfraction de ce milieu, )> conduit à

<^tte conséquence que <c si un rayon de lumière tombe sur une

^^ace diaphane de manière que le faisceau qui se réfléchit soit

entièrement polarisé, les faisceaux réfléchis et réfractés se coupent

orthogonalement, Inconséquence avec laquelle lexpérience s accorde;

et à cette autre : a que si les deux faces du milieu diaphane sont

parallèles, les deux faisceaux réfléchis par ces deux faces seront

tous deux polarisés, » ce qui, confirmé par l'observation, fournit un

moyen d'augmenter l'intensité d'un rayon polarisé. Cette loi sert

aussi à trouver Finclinaison réciproque des plans de deux milieux,

dont l'un émet ou absorbe complètement le rayon polarisé par

Fautre.

En parlant de la lumière, il serait difficile de ne pas se rappeler le travail de Malus sur les caustiques. L'expérience a donné à ce physicien les deux principes suivants : a L'angle de réflexion est égal à Tangle d'incidence ; et le rayon réfléchi est compris dans le plan qui passe par le rayon incident et par la normale au point d'incidence. r> Partant de cette donnée, et à Taide du calcul diffé* rentiel, il a trouvé que chaque rayon réfléchi sur une surface quelconque , éclairée par un point lumineux , peut être considéré comme Tintersection de deux surfaces développables qui se coupent orthogonalement, et coupent la première suivant deux lignes perpendiculaires entre elles , appelées courbes de réflexion, et dont les arêtes de rebroussement sont les courbes caustiques. Le lieu géométrique de ces courbes correspondantes à un même système de lignes de réflexion est la surface caustique; Imtersection de ces surbces correspondantes aux deux systèmes de lignes de réflexions reçoit le maximum de lumière réfléchie, comme le foyer d'un miroir sphérique de peu d étendue relativement à son rayon, foyer qui n est autre chose que cette courbe réduite à un point.

L'analyse a conduit le même géomètre à des conséquences ana^ logues en partant des lois de la réfraction, pour les rayons réfiradéB par des surfaces quelconques.

DiUTATiON. — La dilatation des corps par la chaleur est un phénomène que l'observation constate sans difficulté ; mais que de soins pénibles exige la connaissance précise de cette. action, particulièrement pour les gaz ! Le coefficient de dilatation de Tair est on des éléments numériques qui ont été soumis au plus grand nombre d'expériences, et il ne s'est pas encore rencontré deux physiciens qui se soient trouvés complètement d'accord sur les résultats. Quoi qu'il en soit, nous remarquons que tous ont dû reconnaître dans le calcul une aide indispensable de leurs procédés quels qulls soient, soit qu'ils cherchent directement l'augmentation que subit on volume connu de gaz entre des températures données, soit qa'ik la déterminent par l'observation des forces élastiques qu une même masse prend entre les températures données. M. Regnault, entre

Dl l'utilité Dl CALCUL. 489

autres, dans les travaux qu'il a publiés en 1842 sur cette étudie, étaJblit à chaque série d expériences la formule qui représente en quelque sorte son procédé, et en déduit les valeurs cherchées en fiiisant varier les données dans chaque expérience.

Sf M. Dulong et Petit, dans la première partie de leur Mémoire m^ les Uns du refroidissement, où ces physiciens démontrent Terreur des lois de Dalton sur la dilatation des gaz et des liquides et sur la capacité des corps pour le calorique, n ont pas cessé de faire usage dim calcul par des méthodes analogues.

FmoTTBMiirr. — Nous citerons encore les belles expériences faites ea 4 831 et 1832, par M. Morin, en vue de rechercher les lois du frottement entre les corps. Toutes les expériences que cet habile ingénieur a faites au moyen de son appareil n'ont pu donner le résultat cherché que par le secours du calcul, appliqué à la comparaison des forces vives, au travail développé par les forces dont il disposait, et par le frottement (frottement de Taxe de la poulie sur les coussinets) . C est encore de cette manière qu'il calcula les effets de la roideur des cordes sur le mouvement d'une poulie. A partir des résultats que lui avaient fournis ces deux recherches, il put, par \^ calcul seul, déterminer la tension de la corde en fonction de la charge motrice ; et cette tension, cherchée ensuite directement par Yexpérience, se trouve identique à celle qu'a donnée la première ^thode. Ces données lui ont suffi pour établir la formule qui Qiprime la loi du frottement, et il trouve que ce dernier est indépendant de la vitesse du corps frottant. L'expérience donne ensuite les évaluations numériques nécessaires aux applications de la mécanique aux machines.

21. Ces sortes d'exemples sont très-nombreux : ils montrent, indépendamment de la nécessité du calcul; l'ordre que suit le progrès dans les sciences positives. Chaque connaissance nouvelle est la source de plusieurs autres : une découverte, dans les mains d'un esprit investigateur, est une semence qui ne tarde jamais à donner des fruits, dont s'enrichit notre domaine intellectuel. On pourrait

dire que la plupart des connaissances que nous possédons se sont produites de cette manière.

Ëlectbicité (électrodynamique). — 22. Cependant un fait est loin de suffire toujours pour conduire à la découverte de nouvelles connaissances. Ainsi, lorsqu'on mit en présence un conducteur voltaïque et laiguille aimantée, on observa des phénomènes d'attraction et de répulsion. Mais quelle était la loi des forces qui les produisent? On conçoit qu une seule expérience ne suffit pas pour la donner, qu il fallut en faire beaucoup, varier les circonstances oii cette force se produit pour en obtenir des effets divers et comparables ; puis t&cher de ramener ensuite à un ou plusieurs faits généraux et simples toute cette variété de circonstances particulières. Ampère, ayant déjà conçu ridée ingénieuse et féconde qui devait relier les phénomènes magnétiques à Félectricité, et les faire dépendre de celle-ci, prouva, au moyen d'un appareil très-simple qu'il soumit à de nombreuses expériences, que ces mêmes forces se produisent entre deux courants électriques. Ce fut dans l'observation de ces derniers qu'il rechercha, conséquent avec lui-même, la formule fondamentale de toute la dynamique électrique et électromagnétique. Ramenant à quatre faits fondamentaux d'équilibre tous ceux qui se produisent entre deux courants, il construisit, d'après ces données, sa formule élémentaire dont tous les phénomènes d'électrodynamique sont des conséquences nécessaires. Ainsi, dès la première étude de oette formule, on trouve qu'un élément curviligne quelconque produit le même effet que la portion infiniment petite de courant rectiligne terminé aux mêmes extrémités.

La constante qui exprime le rapport de l'action d'un Uèmeni du courant sur un autre élément qui lui est parallèle h celle du mime élément sur un autre situé sur son prolongement, cette constante étant démontrée devoir être négative, quelle que soit sa valeur absolue, on en conclut qu'il doit y avoir répulsion entre les parties d'un même courant. Ampère a examiné l'application de sa formule à l'action de circuits fermés, sur un élément, et en particulier au cas où ce système se réduit à un seul circuit plan et très-petit.

DE L l'TILITÉ DU CALCUL. 491

I circulaire, soit de forme quelconque (dans ce dernier cas, se ite une facile application de calcul des variations]. Il démontre i que cette question peut être ramenée à la cubature d un solide, par la nature de Tintégrale, quelles que soient la forme et la grandeur du circuit plan. Voici les principaux résultats que le calcul fait connaitre et que les faits vérifient :

4 ^ L*action mutuelle de deux circuits très-petits et situés dans un vnâme plan, étant fonction de la seule distance, ne peut donner lieu kk aucun mouvement de rotation. L action mutuelle de deux éléments est inversement proportionnelle au carré de leur distance, quand leurs directions restent les méme« ;

2** L'action mutuelle de deux courants rectilignes, dans toutes les circonstances relatives à leurs rapports de positions et de grandeurs, propres à donner lieu aux divers mouvements qu on observe entre cooducteurs 'i celle d un cercle et dun arc de courbe quelconque, et particulièrement dans le cas où cet arc se réduit à une droite, dian^ètr'e du cercle, produisant la rotation de Tun d eux ; enfin toutes les circonstances de rotation due h laction mutuelle de deux conducteurs rectilignes, situés oa non dans un môme plan, et notamment lorsque lun est plié suivant le périmètre d'un rectangle et lautre perpendiculaire au plan de ce rectangle ;

3* L'action générale d'un secteur très-petit sur un courant rectili- ^o passant parle centre du secteur ; ce qui donne un nouveau moyen A^ vérifier la formule par divers cas particuliers qu'on en ciéduit. En outre, il trouva dans l'application de sa formule à un appareil iiommé par lui solénoïde, la confirmation de son hypothèse, qui réunissait le magnétisme à l'électricité. On sait, en efiet, que ce savant proposa de considérer le magnétisme comme dû à des courants élec- Iriqaes qui se meuvent autour des particules des corps : un aimant ne serait donc autre chose qu un solénoïde parcouru par l'électricité. C'était au calcul à vérifier cette conjecture : la formule appliquée à ce cas devait, pour la confirmer, reproduire tous les résultats de l'action des courants sur les aimants. Or c'est ce qui arriva. Les résultats qu obtint Ampère , ainsi que Savary , ont , avec ceux du calcul appliqué précédemment à Thypothcse des molécules magné-

492 QUESTION DE SCIENCES PUTSIQCES ET MATHÉMATIQl-ES.

tiques, une identité devant laquelle il serait difficile de douter encore de l'identité même des phénomènes considérés si longtemps comme complètement indépendants. La loi de MM. Biot et Savart entre autres, citée au premier chapitre, expliquée d'abord par Laplace, fut retrouvée par Savary, en calculant, d'après Thypothèse d'Ampère, les oscillations d'un solénoïde soumis à l'action d'un conducteur angulaire infini.

La formule générale donnée par Ampère a encore cet autre avantage de n'être que l'expression de la catégorie de phénomènes auxquels elle se rapporte , indépendamment des hypothèses qu on peut faire sur l'électricité pour en établir la loi générale et la théorie complète. Quelles que soient ces hypothèses, on est certain quelles doivent, sous peine d'être fausses, conduire à la loi dAmpère : sa théorie mathématique de Télectrodynamique abrège donc beaucoup les travaux ultérieurs qui devront servir à vérifier ces hypothèses, et a forme un chapitre terminé d'avance qu'on n'aura plus qu'à intercaler dans l'histoire complète de cette force naturelle. i>

23. L'utilité du calcul, appliquée aux recherches de philosophie naturelle, ne se borne pas à ce qui précède. Les nouvelles expériences auxquelles donnent lieu des résultats analytiques peuvent à leur tour fournir de nouveaux éléments à introduire dans les lois, pour les rendre plus générales, et leur faire embrasser un plus grand nombre de faits. C'est ainsi que Fresnel, comme nous le verrons plus loin, reconnaissant la vérité du principe d'Huygens et celui des interférences, montra que celui-ci était susceptibled'une plus grande généralité qu'on ne le pensait, en y faisant entrer comme cas particulier le premier, dont l'application était déjà reconnue dans un grand nombre de cas.

Les agents naturels, la chaleur, l'électricité, etc., présentent chacun des phénomènes très-nombreux et très- variés, qu'il convient, dans les commencements de leur étude, de séparer en divers groupes, qui se réunissent ensuite, alors que les connaissances sont plus complètes. Ce partage, nonnseulement facilite l'étude des phénomènes, mais aussi sert à mettre chacun de ces groupes sous la

494 QUESTION DE SClEiNCES PHYSIQUES ET MATHEMATIQUES.

employée avec une rare sagacité , que ce géomètre est parvenu à ce beau résultat. Il la appliquée depuis à plusieurs problèmes jusqu'alors invincibles, tels que 1 équilibre des températures dans les corps solides de forme cylindrique, quelle que soit leur directrice. M. Lamé appliqua le premier les transcendantes elliptiques à une question de physique : c est en faisant subir à la notation de ces fonctions une modification nécessaire , qu'il résolut complètement le problème de la propagation de la chaleur dans lellipsoïde à trois axes inégaux, et ensuite dans lellipsoïde de révolution.

De pareils résultats suffisent évidemment pour ôter tout doute h regard de la puissance du calcul, et la rendre incontestable. La considération des surfaces isothermes a en outre conduit M. Duhamel à prouver lexistence de deux lois relatives au flux de la chaleur à travers ces surfaces , dans le cas môme où la conductibilité varie. Ces lois sont les suivantes :

« Le flux de chaleur qui traverse un ellipsoïde isotherme aux extrémités de ses trois axes est proportionnel à la longueur de ces axes.

a Le flux de chaleur qui traverse la surface ellipsoïde isotherme en un point quelconque est .proportionnel à la perpendiculaire abaissée du centre sur le plan tangent en ce point. »

La première de ces lois avait été démontrée par M. Lamé; la seconde par M. Ghasies, dans le cas de conductibilité constante; leur extension au cas de conductibilité variable et les nouvelles remarques de M. Duhamel sont autant de progrès réalisés par les perfectionnements du calcul.

Électricité. — Les phénomènes de 1 électricité étudiée sous le point de vue de sa distribution et de son énergie firent naître l'hypothèse de deux fluides répandus en quantités égales dans les corps à Tétat naturel, repoussant leurs propres molécules, et s attirant mutuellement. Coulomb tira de ses expériences un grand nombre de résultats particuliers. Poisson chercha ensuite à rassembler ces résultats en une théorie basée sur Thypothèse admise : si elle était juste, le calcul, y étant appliqué, devait reproduire toutes les lois

DE l'utilité du calcul. 495

empiriques de Coulomb. Mais pour y appliquer le calcul, il fallait

ooxinaHre la loi de lattraction et de la répulsion des deux fluides : il

en principe que cette force variait, dans les deux cas, en raison

ija^«7B*8e du carré de la distance. Cétait à l'analyse à compléter la

tlméorie par la vérification. Le géomètre arriva, en efiet, à tous les

iltats de Coulomb sur la distribution de 1 électricité à la surface

corps de forme simple et rigoureusement définis.

BCagnétismk. — L'hypothèse d'un fluide particulier, difierent du fluide électrique, servit longtemps à expliquer cette nouvelle espèce de phénomènes désignés sous le nom de magnétisme. Des faits nombre uix attestèrent que si ce fluide existe, il ne devait passe laisser trasm^porter hors des dernières particules des corps magnétiques. Cependant une expérience de Barlow semblait en contradiction avec ce principe : il avait trouvé qu*une sphère pleine n'agit pas plus sur raiguille aimantée qu'une sphère creuse de même métal, ayant pour épaisseur j^ de son diamètre. Ce fait le portait à conclure, contra- (lictoirement au premier principe, que le magnétisme, comme 'électricité, se transporte à la surface extérieure des corps. Le calcul vint encore trancher cette diflîculté : Poisson, partant de 'hypothèse des fluides non transportables, démontra que le fait tiecouvert par Barlow n'en est qu'une conséquence mathématique. *^* l'on eut une nouvelle preuve que la nature ne se contredit pas. Daiis la même analyse, ce géomètre a expliqué rigoureusement ^■'^ploi du compensateur que Barlow avait imaginé pour rendre la "^^ssole insensible aux masses de fer qui se trouvent dans un vaiss^ati : il prouva qu'il est toujours possible de remplacer l'action ^** exercent sur l'aiguille de la boussole les masse de fer en nombre HUeleonque qui peuvent être situées autour d'elle, par une seule du même métal, produisant le môme eflet que toutes ces *s, quelle que soit l'orientation des objets par rapport au tien magnétique. ^1 est bon de remarquer que cette hypothèse du fluide non trans- ^^**^ble n'est pas incompatible avec la découverte d'Ampère que "*'^ avons signalée ; et qu'au contraire, si Ton y fait abstraction du

fluide particulier qu elle admet, elle se déduit de la considération du solcnoïde et passe, par conséquent, à Tétat de fait. Savary a démontré , en eflet , par le calcul appliqué à la formule d*Ampère , que laction d'un solénoïdc sur un élément de courant peut être représentée par deux forces, chacune de ces forces étant en raison inverse du carré de la distance d une des extrémités du cylindre à lelément (et proportionnelle au sinus de langle que fait la même distance avec la direction de 1 élément, et dirigée perpendiculairement au plan de cet angle). Savary fait remarquer, en outre, que ces deux forces n'émanent point réellement des extrémités du solinaïde, que c est seulement une manière de représenter laction totale de ce cylindre, en regardant comme la valeur d'une force chacun des termes dont lensemble forme Tintégrale définie qui exprime la résultante unique de toutes les actions élémentaires qu il exerce sur un élément du iîl conducteur.

Grâce à ce résultat du calcul, dont Teiemple me parait frappant, les travaux de Poisson, fondés sur Thypothèse des fluides non transportables, viennent se placer h la suite de ceux d'Ampère et de Savary, et former avec ceux-ci un ensemble sans lacune.

25. Enfin, lorsqu'on a vérifié les principes généraux dans leurs conséquences, le raisonnement peut les reprendre et les rallier en les faisant dépendre d autres principes plus généraux et par suite moins nombreux. Lanalyse mathématique aide encore ici Tesprit à s assurer de la solidité do 1 édifice qu'il a construit. Elle s'empare de chacun de ces grands principes, et si ses déductions rigoureuses, infaiUibles, reproduisent les premiers, et descendant de conséquence enconséquence jusqu'aux cas les plusparticuliersvérifiésouà vérifier, si elles sont toujours d accord avec lexpériencCjle raisonnement peut reprendre son travail de généralisation, rassembler de nouveau les grands principes qu'il vient de vérifier, et d'induction en induction, arriver enfin à une hypothèse suprême qui renferme, sans exception, toutes les circonstances particulières du genre de phénomènes étudiés, et doit par conséquent, non-seulement expliquer les faits déjà connus qui ont servi h TétaJ^lir, mais faire connaître d'autres

DE L i'TlLlTÉ DU CÀLCl'L. 497

propriétés qui restaient ignorées. Car il est toujours probable que les investigations expérimentales n ont pas pu s étendre partout ; alors l'analyse présente cet immense avantage de découvrir elle-même (b nouveaux faits échappés à lobservation. C'est donc alors surtout qu'elle est indispensable pour constater le progrès et en réaliser do nouveaux : la formule hypothétique ne doit être définitivement adoptée qu'après que le calcul lui a donné cette double sanction.

LimiiaK. — Les divers principes dépendant tous de Thypothèse des ondulations ayant reçu leur sanction par les beaux travaux de Fresnel, il fallait, pour compléter cette théorie, déduire directement de Thypothèse de Téther, et des conditions de son équilibre et de son mouvement, tous les phénomènes lumineux. Ce travail a été commencé par M. Lamé. [Voir chap. lY, Analyse des travatàx de Fresnel).

AoocsnQUE. — Le son , étant reconnu transmis |)ar les vibrations de IW produites par les oscillations des corps sonores ou par celles d'une portion de lair mémo, la théorie du son se transforme complètement, par suite de ce fait général, en une question de mécanique analytique pure : lexpérience n a laissé aucun doute sur la réalité des résultats trouvés par les géomètres qui ont traité cette pàTiie de la physique.

Mégâiuqus céleste. — La loi de Newton nous oiTre un des plus beaux et le plus grand exemple de leOicacilé de l'analyse pour la vérification des hypothèses. On sait toute la force qu'elle a donnée à cette grande loi si souvent attaquée depuis sa découverte; on sait aussi qu'il ne s'est pas encore présenté un phénomène astronomique quelle ne puisse en déduire rigoureusement : les lois de Kepler, les phénomènes du flux et du reflux de la mer, la précessîon des équinoxes, la nutalion, les perturbations, etc., etc., jusqu'aux faits singuliers mômes qui y semblent contraires. Oii en serions-nous sans le calcul? Dans le chaos des préjugés et de la ténébreuse superstition.

26. On a vu les conditions qui doivent précéder i adoption définitive d une hypothèse : c'est dans le cas seul où ces conditions sont remplies qu elle peut être admise avec quelque certitude (S5) . Car si elle n était vérifiée que par les expériences déjà faites, esl-on certain qu un autre mode do raisonnement, fondé sur une considération plus approfondie des faits, n eût pas conduit à une théorie plus largo et plus féconde, de laquelle eussent résulté de nouveaui progrès?

La découverte de la gravitation universelle est un exemple admirable de la marche que doit suivre lesprit dans cette circonstance : c'est pour le philosophe observateur un exemple aussi utile au moins « que la règle de Descartes. Empruntons à lanalyse des travaux d M. Leverrier par M. Biot les quelques lignes où il trace Thistoire d la découverte de Newton :

(( Les lois de Kepler, dit M. Biot , restèrent pendant un demisiècle à letat do simples faits. Alors Newton parvint à découvri leur principe mécanique et à les concentrer toutes trois en un se théorème , exprimant le mode de variabilité de la force centrale q était nécessaire et sufiisante pour qu elles eussent lieu. Le temps, noi moins que son génie, avait préparé tous les matériaux dont il avai besoin pour s'élever à cette grande abstraction : d'abord, l'accroissement de puissance donné à Yinstrument algébrique par Descartes en l'appliquant aux fonctions variables, et à la représentation d courbes, condition indispensable de son emploi dans les questions naturelles ; puis les premières traces de Yanalyse infinU^imale apparues dans l'ouvrage de Fermât ; les découvertes de Galilée sur la chute des graves , celles d'Huygens sur les forces centrales et la théorie des développées, conduisant au calcul des mouvements curvilignes ; enfin les aperçus de Kepler et les idées plus arrêtées de Borelli et de Hook, rendant très-vraisemblable que les planètes sont retenues dans leurs orbites par une force attractive centrale émanée du soleil, qui fait continuellement équilibre à la force centrifuge engendrée par leur vitesse de circulation.

« Newton démontra mathématiquement toutes ces particularités comme autant de conséquences mécaniques des lois observées par

Kepler. Pour cela, considérant que tous les corps planétaires auxquels ces lois s'appliquent sont placés à dimmenses distances comparativement à leurs dimensions propres, il les traita d abord comme de simples points en mouvement, et il remonta pas h pas, des lois suivant lesquelles ils se meuvent, aux caractères de la force qui les régit. Jamais déduction ne fut plus admirablement logique. La constance des secteurs curvilignes, décrits dans des temps é^ax, dans une même orbite, prouve que la force régulatrice est toujours dirigée suivant les rayons vecteurs menés du centre du soleil, autour duquel cette constance a lieu. Lorbite décrite étant une ellipse dont ce centre occupe un des foyers, Tintensité de la force qui régit une même planète varie , en divers points de son orbite, réciproquement au carré de ses distances au même centre. Enfin les carrés des temps des révolutions, étant proportionnels aux cubes des demi-grands axes, Tintensité de la force exercée sur les différentes planètes est toujours proportionnelle à leur masse individuelle, et varie seulement de Tune à l'autre en raison inverse du carré de leurs distances inégales au centre du soleil. Ces divers caractères de la force régulatrice étant ainsi directement conclus des faits observés. Newton prouva encore qu'ainsi définie, elle suffit pour les reproduire; car, étant supposée, les trois lois de Kepler s en déduisent par nécessité mathématique. Ces mêmes lois s'obscrvant aussi dans le mouvement des satellites qui circulent autour d uiïQ même planète à diverses distances, ils doivent être également par une force qui émane du centre de la planète, avec des condipareilles de variabilité. Newton étend la même conséquence aux qui circulent autour du soleil dans les orbes paraboliques, o^ modifiant pour elles la troisième loi de Kepler par le calcul, comme lexigent des ellipses dont le grand axe est devenu infini, loi suppose plusieurs corps en circulation autour d'un même i; elle n était donc plus observable pour la lune, qui circule ®^*oiir de la terre. Newton y supplée en tirant des expériences <* nuygens Tintensité de la gravité que la masse de la terre exerce Sttr les corps liiis en oscillation près de sa surface, puis, considérant cette masse comme sphérique, il prouve que la même gravité.

&00 QUESTION DE SCIENCES PHYSIQUES ET MATllÉyATIQUES.

affaiblie dans le rapport du carré du rayon de la terre au carré du rayon de lorbe lunaire, se trouve être égale à la force qui est nécessaire pour maintenir la lune autour de la terre, en balançant la force centrifuge produite par sa vitesse de circulation. Or, la gra* vite, agissant ainsi sur un corps distant et sur un corps placé h la surface de la terre comme si, dans les deux cas, la masse de la terre était tout entière rassemblée à son centre, Newton en déduit que laction totale de cette masse est la résultante de toutes les actions exercées individuellement par chacune de ses particules matérielles, en raison directe de leurs masses propres, et inversé du carré de leurs distances au point sur lequel elles s exercent; car Tidentité d effet observée ne peut avoir lieu mathématiquement que sous ces conditions. Enfin, toute action mécanique exercée sur les corps matériels étant accompagnée d'une réaction d'intensité égale et de sens contraire. Newton conclut que les planètes doivent réagir sur le soleil, comme le soleil agit sur elles; les satellites sur leur planète, comme la planète sur eux ; et tous ces corps universellement les uns sur les autres, suivant la môme loi appliquée individuellement à chacune de leurs particules matérielles. Ainsi, en résumé, toutes les particules de matière qui composent les corps de notre système solaire gravitent directement et réciproquement les unes vers les autres, en vertu d'une force générale dont I énergie est proportionnelle à leurs masses propres , et inverse au carré de leurs distances mutuelles. De là résulte un argument rétrospectif, qui confirme ce qui précède. »

Remarquons que le calcul est loin d'être étranger à cette magnifique découverte qui, seule, suffirait pour en rendre Vutililé incontestable.

27. Ce travail de la raison, au moyen duquel on parvient pour ainsi dire au sommet d'un édifice de faits d'un même ordre, ne doit être commencé que lorsqu'on a épuisé l'observation et lexpérience : c'est pour avoir oublié une fois sa méthode que ce môme génie, qui était parvenu à asseoir l'astronomie sur sa véritable base, fut cause peut-être que la théorie de l'optique fut lente dans ses

progrès. H se hâta trop de donner son hypothèse de rémission : il

élait trop pauvre do faits. A mesure qu il s'enrichit, ii dut, pour

soutenir sa première théorie, Tctayer par un cumul compliqué de

nouvelles suppositions, qui, loin de simplifier la science, nont fait

que larréter , et dont les déductions mathématiques ne souflrent pas

de vérification expérimentale consciencieuse.

28*. Il ne faut pas non plus se livrer aux théories hasardées : le hasard peut servir, il est vrai, et donner lieu à d'utiles révolutions soientîfiques ; mais la raison doit toujours être le flambeau du philosophe. Le hasard n'est pas un maître, cest un auxiliaire dont on se sert avec circonspection. Olbers, voyant deux petites planètes décrire des ellipses qui se coupent (i), émit cette idée aussi étonnante et hardie qu heureuse dans ses conséquences, qu elles pouvaient résulter de Texplosion dun astre; cette hypothèse, quoique fausse, amena la découverte de trois autres planètes dont les orbites se croisent en un même point du ciel avec ceux des deux premières : Jufum , Vesla et Astrée.

Lie hasard donc a pu être utile ; le raisonnement a toujours été

indispensable, et c'est à lui que nous devons nos plus heureux titres

de gloire. J'insiste sur ce point, car si Ton veut bien le remarquer,

A tient au sujet de la question. En effet, ces spéculations par

Vesquelles nous rallions les faits sous un certain nombre de principes,

et ces principes sous une loi commune, ces spéculations ne sont

autre chose qu un calcul synthétique : c est le calcul le plus difficile,

psrce qu*il est le plus élevé auquel Thomme puisse livrer son génie.

Et cest précisément ce calcul sublime seul qui peut , si cela est

jamais possible, nous apprendre la loi de la force unique qui dirige

la nature, force dont toutes celles que nous distinguons dans nos

études partielles ne sont probablement que des modifications ou des

conséquences.

Une fois la loi établie, les opérations par lesquelles nous en trouvons les conséquences ne sont au fond que le calcul réciproque du

(4} Cérêê décoiiverlf par Piaui,et Pallas par Olber» mûine, en 4802.

précédent : ce nouveau calcul , c est le raisonnement inverse du premier ; son exactitude dépend de lexactitude de celui-ci. Le premier monte et nous conduit à un sommet d'où nous apercevons lensemble de la nature dans un horizon plus large et plus clair ; le second descend et nous conduit par mille chemins à travers toutes les richesses de la vallée.

29. Pour que la raison, de son côté, soit s6rc dans sa marche, il faut lui donner sans cesse pour point de ralliement la réalité que nous oQro l'observation de la nature : c est ainsi que nous sommes le plus sûrs d'arriver à la vérité, et de pas nous égarer dans ces dissertations vaines et embrouillées où quelques métaphysiciens ne Font que trop souvent perdue. Les tourbillons de Descartes, qui ont ébloui quelque temps plusieurs philosophes et savants éminents de la France et de TAIlemagne, sont une preuve des conséquences pernicieuses qui peuvent résulter des théories construites sans avoir les faits pour base et pour guide. Newton, malgré tout son génie ou peut-être à cause de son génie, n a pu être conduit que de cette manière au trésor qu'il nous a légué ; les observations de Kepler lui ont montré la route.

30. Le calcul ne doit donc pas être restreint au seul point de vue des déductions et des opérations qui les font découvrir au moyen des signes qu'on est convenu d'employer pour les représenter. Ces opérations déductrices mômes doivent être guidées par le raisonnement, souvent appuyé des faits : il faut enfin qu'elles conservent toujours l'empreinte des pas de l'esprit. On ne saurait trop éviter labas des subtilités de calcul qui ont pu servir quelquefois dans certaines mains très-habiles, mais qui, me semble-t-il, au lieu davancer la science, donnent trop de part au hasard et lui ôtent ce caractère de rigoureuse clarté qui fait sa force.

Ceux qui ont fait faire à la physique quelque progrès véritable nous donnent presque tous l'exemple de cette lucidité indispensable à tout travail dans lequel l'esprit interroge la nature. M. Lamé, entre autres, dans son Mémoire sur la propagation de la chaleur dans

DE LUTILITÉ DU CALCIL. 503

tains corps solides, nous en donne un assez remarquable. Il sagit du prisme triangulaire régulier auquel il veut appliquer Téquation JifTérentielle

dans lequel Fest la température^ £^la conductibilité. Pour arriver aiu but qu il se propose, le géomètre place la base du prisme dans le plan des x et y, et lorigine au centre de ce triangle équilatéral.

Soit / la longueur de chaque perpendiculaire abaissée de l'origine sur les côtés; soient « «' «" les angles que font ces trois perpendiculaires respectivement avec Taxe des a;, on aura

l = x COS. a + y sin. » ^^P; 1= x cos. «' + y sin. «' = P'; 1= X COS. a" + y sin. a" = P" ; 5 = o et « = A

/oiiir équations des trois faces latérales et des deux faces terminales dix prisme.

'n plonge le corps dans un milieu dont la température uniforme ^*' O degré ; toutes les faces du prisme se mettent donc à cette tem- P^»"^ture : de sorte que V= f[x, y, z, t) devient nulle pour ^=0, s = — = h, et pour P = /, P' = /, et F'=/.

RI. Lamé pose : V = e -^. U,

L» ét^nt une fonction de x,y, z seuls. Cette forme de la fonction V est

V^ffaitement légitime et d'accord avec la nature du problème, car

^\]iT<=:0, on doit avoir F égal à une fonction œ, y, j? seuls; et pour

l==a 00 , on doit avoir F=0, quels que soient x,y, z : on voit donc

c\ae ce n'est point le hasard, ni môme un essai, que cette forme

donnée à la fonction V. Mais avançons : en dilTérentiant la fonction

mise sous cette forme, on aura :

dW d^U d^U dx^ ^ dy^ ^ dz2 ^

La condition que y = 0 pour 5=0 et 5== A exige que la fonction U se partage en deux facteurs, Tun fonction de j? seul, l'autre fonction

de o; et ^ seuls. On pourra donc avec certitude poser comm^ fait M. Lamé

U = uZ, ouu = f {x, y) eiZ =x (i) ;

on aura donc : â^^ + ^yt ^ + "-^ «^ï*^ = 0.

Or la fonction [/étant composée de deux facteurs, sa difierenti sera la somme des différentielles de ses facteurs, et Téquat: ci-dessus pourra donc se partager en deux : lune ne contenant X et y, l'autre ne contenant que z.

De plus, quels que soient a; et y, la température F varie dan^ '^

sens des z avec le temps ; il en est de même dans le sens des w, ?'

quel que soit z : il faut donc que chaque facteur de {/soit multip^ par une fonction de t de la même forme que celui qui multiplie m^ .'

en d'autres termes, il faut que Téqualion différentielle (1) soit somme des différentielles de deux fonctions f [x, z, t) et x (z, c est-à-dire qu on devra poser, ainsi que la encore fait l'auteur e»s=T»+0*, ce qui donne

d'^u . dhi „ d^Z

et partant ;j^ + ;;^ +« «^ = 0 et ,-}- T^Z = 0.

Cette dernière est satisfaite par Z = sin. j z eir == ^, ain^ qae

la condition relative aux faces terminales ou aux tranches qui leur

sont parallèles. Il ne reste plus qu'à trouver la relation à laquelle

doit satisfaire o, et la forme de U, c'est-à-dire trouver l'intégrale de

léquation :

dx^ ^ dy^^

qui satisfasse à la condition que u == 0; pour P= P=: p' =«/. C'est ce à quoi M. Lamé arrive encore d'une manière aussi lacide, ne faisant jamais un pas qui ne soit sûr et se basant toujours sur la nature et les données du problème. Et c'est toujours avec celle

îtudequont travaillé les hommes qui avaient à cœur de faire faire à IsL science des progrès véritablement solides.

3 1 . Nous terminerons ce chapitre par deux exemples propres à faire ressortir encore la puissance du calcul comme moyen de découvertes.

AlicAïuQUE. — La théorie du mouvement d'un corps autour d'un axe fixe, établie, comme toutes celles de la mécanique, en vertu des deu'x seuls principes généraux déjà cités; cette théorie, considérant le cas ob le mouvement est produit par des forces instantanées, me la valeur des chocs auxquels laie est soumis, en vertu de ces instantanées ; cherchant ensuite les conditions pour que ces soient nuls, c'est-à-dire pour que la rotation s effectue autour de l^axe en vertu de forces instantanées, sans qu'il en résulte de percîiission contre cet axe, on trouve :

^ ** Que la force instantanée doit être perpendiculaire au plan par Taxe et par le centre de gravité ; 1* Que cet axe soit un des axes principaux du corps par rapport fl^^ f>oint oii il est rencontré par le plan qui lui est perpendiculaire et q^i î <x>ntient la force ;

Que la distance de la force à Taxe soit la môme que celle du

d'oscillation du corps autour de ce môme axe.

•€S remarques sont très-utiles dans les arts, entre autres dans les

<5^ï^structions des marteaux de forges , en ce qu'elles peuvent faire

^"vt^^er des chocs qui altèrent la solidité et diminuent la durée des

^Micliines.

X^armi les problèmes qui se présentent dans les recherches sur ^ft compressibilité des liquides, celui de déterminer l'influence qu on doit attribuer, sur les résultats, à la compressibilité des parois du vase renfermant le liquide soumis à l'expérience, a été le sujet d'une discussion assez délicate, dont se sont occupés plusieurs des plus habiles physiciens, MM.Colladon, Sturm, OErsted, etc.; il s'agissait de savoir si la capacité intérieure du vase augmente ou diminue : c est le calcul qui trancha celte question que les expérimentateurs ne

pouvaient résoudre. On sait, en effet, que Tillustre Poisson, dans une note assez courte, démontra, en 1828, quune sphère homogène creuse, également pressée en dehors et en dedans, éprouve la même diminution de rayon de la paroi extérieure que si la sphère était pleine; puis, supposant la sphère creuse remplie d'une matière quelconque différente de l'enveloppe, il démontra que la compression de la sphère intérieure que forme cette matière est augmentée ou diminuée par suite de la pression exercée sur leuveloppe, suivant que celle-ci est composée d une substance plus ou moins compressible que celle de l'intérieur.

Cette note est présentée comme appendice à la théorie de 1 équilibre des corps élastiques donnée par ce géomètre.

AM«ly«e de lrol« mémoires de Fremiel.

32. Pour compléter le chapitre précédent (§ 25) et montrer comment le calcul, en vérifiant une hypothèse, sert à augmenter nos connaissances en faisant découvrir de nouveaux faits, essayons d analyser quelques travaux de Fresnel, physicien géomètre, qui est enfin parvenu à donner aux phénomènes lumineux leur législation la plus simple et la plus complète.

] ai fait de cette analyse un chapitre particulier, à cause de son étendue; je pense aussi que son importance, comme exemple démonstratif, autorise cette séparation.

33. La théorie de la lumière est aujourd'hui la plus avancée de toutes les parties de la physique : il est facile de se rendre compte de l'avantage remporté par l'optique, si Ton remarque que les faits en sont perçus par le plus sensible de nos organes, qu'ils ont la propriété remarquable de pouvoir être observés géométriquement, et de se prêter au calcul avec une admirable docilité. Les phénomènes de la lumière sont en outre les plus simples parmi ceux que présentent les fluides impondérables, sous le rapport purement physique, quelque difficile qu'ait pu paraître , au commencement de la physique expérimentale, lexplication de certains faits qui frappèrent à cette époque , mais qui n ont plus aujourd'hui rien détonnant.

Cependant l'intelligence de ces phénomènes serait loin d'ôtre aussi facile ; la théorie de la lumière serait loin d'avoir cette priorité sur la chaleur cl l'électricité, aussi bien sous le rapport du progrès

que pour la simplicité des lois sans le courage persévérant du savan que nous venons de citer, qui sut se débarrasser des lourdes entrav d un long préjugé, et, la raison à la main, osa renverser 1 erreur d piédestal où la plaçait une trop noble origine.

Il y eut, dès les premiers temps, dissidence entre les savants su la manière de concevoir les phénomènes lumineux. Newton sup qu'un corps lumineux envoie dans toutes les directions des mol cules d'une substance très-ténue (impondérable) , qui, venant frapp les yeux, y produit la sensation de la vision.

Descartes, Hook, Huygens, Ëulcr pensent que cette sensation produite par les vibrations dun fluide (éther) répandu partout vibrations produites à leur tour par les oscillations des molécu/i lumineuses autour de leur position d équilibre.

Rien de plus probable, au premier abord, que Thypothèse d* Newton : elle conduit à des conséquences évidentes, elle se soume facilement à l'analyse mathématique et explique assez bien le petit nombre de faits sur lesquels elle repose. Mais dès qu on voulut sorti de ce cercle étroit, à mesure que l'expérience ou Tobservatia s'empara d'un nouveau phénomène lumineux, la théorie deTémi sion ne suffit plus ; et, pour la soutenir, il ne fallut rien moins quc^* le prestige puissant qui entourait le nom de son immortel auteur- Mais son autorité est forcée de s'incliner devant la discussion savante et concise de Fresnel .

Dans l'introduction à son Mémoire sur la diffraction de la lumière, ce physicien, par quelques faits habilement choisis, expose la pernicieuse influence du système newtonien sur les progrès de la science, en ce que loin de la simplifier, loin d'embrasser tous les faits pour les soumettre à un petit nombre de principes dépendantsde l'hypothèse primitive, chaque fait particulier nécessite, au contraire, une hypothèse nouvelle, souvent très-compliquée, quelquefois en con* tradiction avec les hypothèses précédemment établies et presque toujours incapable de suppporter l'examen delà raison. Les explications données pour le phénomène de la dispersion et celui des anneaux colorés en sont une preuve palpable que Fresnel ne manque pas de développer.

Quant au phénomène de la diffraction, qui fait lobjet du Mémoire

il s agit, il frappe irrévocablement d'impuissance complète le

me de rémission , tandis qu'il s accorde avec une admirable

plicité avec la théorie des ondes.

H ne faut pas une longue attention pour concevoir que celle-ci,

idérant le fluide comme un assemblage de molécules mobiles

à une dépendance mutuelle, et, par suite, comme suscep-

Cil>l^duD grand nombre de modifications diverses en raison des

omivements relatifs qui leur sont imprimés, doit être plus propre à

:pliquer le grand nombre de modifications que subit la lumière,

^^ant les circonstances variées dans lesquelles on lobserve. Il est

1>1^X3 vrai qu elle présente assez de difficulté à se soumettre aux

déductions analytiques; mais grâce à la sagacité de notre géomètre,

<>11^3 s y est soumise enfin, et de tous les résultats quelle donne

exi^^wto presque sans efforts, il n en est pas un qui soit démenti par

jpénence.

1 n'est pas sans intérêt de signaler encore ici leffet important du l<3ul dans la comparaison des deux théories dont il s agit : June, (^^^H< de rémission, fournit facilement des résultats analytiques, mais (^^■^^3^ue aucun ne supporte la vérification expérimentale ; ce seul fei^i^ , sans nouveaux calculs, suffirait à Fresnel pour renverser la tl^^&orie de Newton; mais c'est par le calcul ingénieusement applic^'^JH.é à la théorie qu'il avait entrepris do défendre, quil a couronné travail, en mettant cette dernière à la véritable place quelle dû occuper beaucoup plus tôt.

vant de parler de la méthode suivie par Fauteur pour déduire ■^ phénomène de la diffraction, de l'hypothèse des ondes, nous ne

pas sous silence un passage de la première section de son

oire oJi, après avoir réfuté l'hypothèse accessoire de forces alter-

^^i v^ment attractives et répulsives, émanant du corps opaque et agis-

^^^^ Sur les rayons lumineux, et celle de dilatations et condensations

^It^ï-Hjatives des rayons qui passent dans le voisinage du corps opaque,

P^^^ d'abandonner la théorie de l'émission et ses inutiles efforts, il

e encore le principe des interférences appliqué aux rayons réflé-

^taux rayons infléchis, ainsi que l'avait considéré le physicien

Chili

anglais Thomas Young. Ce passage mérite, en effet, d'être signalé, à cause de Tutile enseignement que nous y pcfisons sur la manière de rechercher la vérité. Fresnel nous apprend que Taccord presque parfait qu il trouve entre les résultats analytiques fournis par cette hypothèse et ceux de Texpérience lui ayant paru satisfaisant, les différences légères observées étant mises sur le compte des inexactitudes de mesure, inévitables 'dans des dimensions aussi petites, il setait laissé séduire un instant par la théorie de Young, et le système de rémission aurait expliqué un phénomène de plus.

Cependant, dénué de toute prévention et infatigable dans ses recherches, il ne se borne pas à ce résultat; mais il poursuit l'hypothèse jusque dans ses dernières conséquences, et, layant épuisée, il découvre et combat Terreur d une opinion quil avait partagée.

Si les bandes alternativement lumineuses et obscures quon observe à lextérieur de lombre géométrique sont dues au concours des rayons directs et réfléchis par le corps opaque, la forme de ce bord doit influer sur les positions relatives de ces franges : c est ce qui n a point lieu. C est en vertu de cette considération simple et concluante qu'il rejette la théorie du docteur Young, comme n expliquant point le phénomène.

Fresnel, ayant démontré l'incompatibilité particulière du phénomène de la diffraction avec le système de l'émission, se propose d'en donner une théorie générale dans le système des ondulations, sans le secours d aucune hypothèse secondaire, et en s appuyant sur le principe des interférences et celui d'Huygens, déduits tous deux comme conséquence de Thypothèse fondamentale.

Le premier do ces principes consiste dans la solution de ce problème : (( Etant données les intensités et les positions relatives d un nombre quelconque de systèmes d ondes lumineuses, de même longueur, qui se propagent suivant la môme direction, déterminer l'intensité des vibrations résultant du concours de ces différents systèmes d'ondes , c est-à-dire la vitesse oscillatoire des molécules éthérées. »

On calcule d'abord la vitesse de vibration d'une particule éclai-

DE l'utilité du calcul. 51 1

me, par cette considération que la force accélératrice qui tend à ener cette particule à sa position primitive est proportionnelle à nce dont elle s*est écartée. En effet, cette force étant nulle, r une distance nulle, pourra être représentée par la fonction

Ax 4- 2^x2 + Ca?3 + ,

^i Ion remarque que les excursions sont assez petites pour négli- K-" le second terme, on aura :

fî? = ~ ^x, d'où V = \/7. sin. (tJA)\

ut

V^^* est une constante donnée par Tintégration : elle représente Visi^tensité de la vibration; en effet, les vitesses dues à la môme valeur de t dans les mouvements isochrones seront proportionnelles à x/â.

^uant au coefficient \/a, on remarque que si Ton prend pour oxxité de temps Tintervalle compris entre le départ et le retour A^ la molécule à sa position primitive, on aura v= 0 pour

Pour calculer Tintensité de la vibration communiquée à un point de Téther par celle de la particule lumineuse, soit x la distance de

ce point au foyer des vibrations ; ^ la longueur d'une ondulation ;

j sera le temps écoulé entre la vibration du foyer lumineux et sa

communication au point considéré de 1 ether, puisque chaque longueur d ondulation se fait dans Tunilé de temps. La vibration de ce point sera donc, à Tépoque t, proportionnelle à celle du foyer au

temps t — j et de plus inversement proportionnelle à la distance x,

on aura donc :

«= — . sm. ïn U .

Mais on peut négliger la variation d'intensité due à la variation

de distance pendant une et môme plusieurs ondulations, vu la pei tesse de Tune délies ; on posera donc Yl ==: a (constante) et

u^^ a sin. i^rr U — -j.

S'appuyant dès lors sur le principe de la coexistence des pe- ^^^/^ mouvements , connaissant les positions relatives des divers cen^ ^m^es d'ébranlements, on pourra facilement calculer Teffet total prod ^f^ sur le point considéré de Icther. En voici la formule général c^^ : Soit c Tintervalle qui sépare deux systèmes d ondes , on aura pc^ ci r la vitesse produite au point donné par le second :

u' = a' sin. 2 « /( — ?jti j

d'où, d'après le principe cité : U = u -\- u =

A$in. jîîT /(-îj --i|,

formule dans laquelle

o -f a COS. — r— = A COS. i cl o' sin. — r— ^^ -ri siii. i,

d'oii À^^a'^ + a'^+^a a' cos . -^ •

De sorte que pour c = 0, c est-à-dire quand les ondes s'accordent, on a : A == a -|- a'; pour c = ^^ , c'est-à-dire quand elles discordent, on a : A = a — œ; et pour g= - > , cas particulier, on a :

A =\/a^-|-a''; à ce dernier cas, on peut réduire un cas quelconque, car on peut toujours ramener chaque système à résulter de deux autres, distants d'un quart d ondulation.

Le second principe, celui d'Huygens, consiste en ce que « les vibrations d'une onde lumineuse , dans chacun de ses points ,

peuvent être regardées comme la somme des mouvements éicmenqu y enverraient aa môme instant, en agissant isolément, toutes parties de cette onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures. »

Il résulte du principe de la coexistence des petits mouvements [les vibrations produites en un point quelconque du fluide élastique par plusieurs ébranlements sont égales à la résultante de toutes les i^tations envoyées au môme instant dans ce point par ces divers i^entres, quels que soient leur nombre et leurs positions respectives, que la nature et 1 époque des ébranlements divers), que si les ébranlements en nombre infini sont considérés comme situés un môme plan ou sur une sphère ( bref, comme appartenant 1 une môme onde) , comme contigus, de môme espèce et simultanés ; ]ue leurs vitesses soient dans le môme sens et proportionnelles aux M>nden8a tiens, le problème sera, ainsi quon va le voir, ramené à :»lui des interférences déjà résolu. En effet, luniformité de Tonde primitive ne sera détruite que par Finterposition d'un corps opaque : les variations qui en résulteront dépendront de la distance de chaque élément au bord du corps opaque, et seront plus sensibles dans le voisinage de ce bord. L'impulsion communiquée à toutes les parties ^^ Inonde primitive étant dirigée suivant la normale, les mouvements les plus intenses qu elle communique à Téther sont suivant celte direction, et Ton démontre que les intensités des rayons envoyés ^^s différentes parties de Tonde en un point de Téther sont sensiblement égales, lorsque ces rayons sont peu inclinés sur la normale ^^qu'ils se détruisent lorsque cette inclinaison devient sensible. Les niyons efficaces peuvent alors ôtre considérés comme parallèles, et Ton n'a plus à résoudre que le problème des interférences : les intensités sont proportionnelles aux arcs éclairants, et leurs positions relatives sont données par la différence des chemins parcourus par les ondes.

Comme il faut envisager Tonde dans toute son étendue, on la divise en fuseaux infiniment minces, parallèles au bord du corps opaque; on démontre aussi, pour ces fuseaux, que les rayons d'une obliquité prononcée sur la normale sont sans influence : ces fuseaux

étant indéfiniment étendus, la résultante des vibrations q envoient au point donné est égale pour chacun d eux, et co chaque résultante est en arrière de la même quantité par rap au rayon parti du point le plus voisin du point donné , leurs in sites seront donc encore proportionnelles aux arcs éclairants, et le intervalles seront les différences de chemins parcourus parles ra^ émanant de ces divers centres. Le calcul de la résultante génér^^^

sera donc le même que celui de la résultante d une seule sectii d'onde par un plan perpendiculaire au bord du corps opaque.

Avant d en venir au calcul de cette résultante, lauteur de Mémoire passe en revue quelques applications du principe d'Hu gens, qu'il traite par de simples considérations géométriques. Plu qu'une solution complète do ces questions, cest en général Imdi— cation de leur état et de la manière dont il faut les envisager. Il a cependant un problème intéressant qu'il se propose et qu il résout sans le secours de l'intégrale qui représente, comme nous le verroi^s plus loin, toutes les circonstances du phénomène de la diffiraction ; il s agit des franges qui proviennent d'une ouverture étroite, et Ton demande : a L'ouverture variant , quelles sont les variations que doivent éprouver les distances du diaphragme au micromètre et au point éclairant, pour que les franges conservent les mêmes laideurs et les mêmes rapports d'intensité ? »

. Certaines relations géométriques fort simples à trouver nous apprennent les lois que suivent les distances : l'une de ces lois consiste en ce que les distances du diaphragme au micromètre sont proportionnelles aux largeurs des ouvertures ; l'autre est plus compliquée et ne saurait se traduire en langage ordinaire. De toutes deux il résulte que 1 ouverture restant la même , il n'y a qu'une seule position de l'écran, par rapport au foyer de lumière et au micromètre, qui corresponde à des largeurs et des rapports d'intensité déterminés des franges.

Fresnel a ensuite résolu le même problème pour un corps opaque variant de largeur : les mêmes formules se présentent avec les mêmes conséquences. C'est ce qui n'arrive pas lorsque 1 écran est indéfiniment étendu : alors il est toujours possible de trouver une

Seconde position de lecran, par rapport au foyer et au micromètre,

pour laquelle les résultantes des vibrations incidentes envoyées en

Un point déterminé sont composées d éléments semblables, cest-

«iHlire pour laquelle les franges auront des largeurs et des rapports

d'inteDsité déterminés. Ces quelques conséquences particulières,

(déduites de la théorie, étant vérifiées par lexpérience, on peut

c/éjà, avec espoir de certitude, chercher à en déduire la loi générale

du phénomène.

Soit z lare compris entre un élément de Tonde et l'intersection (ie cette onde par la normale menée du point lumineux au point où i'az& mesure la largeur et l'intensité de la frange ; soit dz cet élément; a et i distances du corps opaque au foyer de lumière et au plsàMi de lombre.

Ha différence des chemins parcourus esta r — ,eten divisant

cette différence par a , on aura le temps nécessaire à Tonde pour parcoonr cette ditterencc ; ainsi : as cos. n -: — etajsfsm. t^ — j- —

seront les composantes de cette résultante, rapportée à Télément

normal, et à une onde distante de celle-ci d'un quart d'ondulation.

Gin faisant la somme de toutes les composantes semblables, et

ajoutant les carrés de ces sommes, on aura, pour la résultante

générale, ou Tintensité des vibrations au point de Téther considéré

--V(/^— •^^SS)' + (y,

abx

L intensité de la sensation étant proportionnelle au carré de la vitcsso, on aura pour sa valeur :

abX

la valeur de ces intégrales entre les limites 0 et oo est finie ; lïjais entre d'autres limites, on ne peut trouver leurs valeurs qu'au iiioycn des séries ou des intégrations partielles. C'est ce dernier pro-

cédé que Frcsnel a employé. Nous ne le suivrons pas dans les notes annexées à son Mémoire pour traiter ces intégrales, qui se partagent chacune en deux, Tune comprise entre les limites Zo 6^ ^00 f ^^ Tautre entre les limites finies, qui sont : le rayon direct mené du point lumineux au point donné de Téther, et le bord du corps opaque. Qu il nous suffise de savoir qu aux intégrales proposées il a substitué les suivantes :

Cdiv COS. qV' eij^dv sin. gF^, OÙ ^ '^ 2 '

c'est-à-dire qu'il a posé :

doîi

et que ces nouvelles intégrales atteignent leurs valeurs maxima et minima en même temps que les premières.

Une table des valeurs successives de ces intégrales entre des limites croissantes de quantités très-faibles , et une analyse trèssimple permettent de déterminer les intensités maxima et minima des franges. L auteur déduit des résultats obtenus cette remarque encore conforme aux faits qu aucune valeur minima n'est nulle , et que la différence du maximum au minimum diminue à mesure quon s éloigne de la tangente au corps opaque. Enfin une simple proportion ordinaire fournit la formule au moyen de laquelle se détermine la largeur des franges, formule dont la forme s approche beaucoup de celle qu avait donnée la théorie de Young, et facile à comparer à cette dernière par des observations précises. On obtient

en y substituant pour V la valeur qui correspond au maximum

DE l'utilité du calcul. 517

minimum des intégrales, on a en appelant n Tune ou Taulro de ^^ Valeurs

(où n = 1 ,873 pour le minimum de premier ordre) tandis que la formule déduite de la théorie de Young était

^^^snel met en évidence les résultats de ces observations compares oux résultats fournis par ces deux formules : les plus grandes apprc^X^imalions sont fournies par la première et décident conséqueia^^ent en faveur du principe d'Huygens : c'est au calcul qu'on doit Cette décision.

Q^anl à la lumière infléchie, il ressort des formules trouvées dans le cas d'un corps opaque assez étendu pour que la lumière ne puisso passer que d'un seul côté, qu'il ne doit pas y avoir de franges à intérieur, mais que la lumière doit diminuer d'intensité à mesure q^on s éloigne du rayon tangent au bord du corps opaque dans Intérieur de l'ombre. Les valeurs numériques des intensités aux dwerses distances fournies par la formule ne sont pas encore vérifia par lexpérience photométrique : Fresnel donne, à cet égard, dans une note, un moyen ingénieux, mais qui parait d'une exécution peu&cile.

Une autre propriété de la lumière que ces formules nous

enseignent, c'est que les points de môme intensité, par rapport au

bord de Tombre géométrique, ne suivent pas une ligne droite,

comme le veut le système de rémission, mais une hyperbole d'une

courbure assez sensible, tant à l'intérieur qu'à Textérieur de cette

ombre géométrique. Dès longtemps déjà, l'expérience a opposé ce

fait à l'émission, sans qu'elle put en rendre compte, tandis quelles

sont au contraire une conséquence mathématique de la théorie des

ondes.

Appliquées à la recherche de Tintensité de la lumière en un point

donné, lorsque le faisceau lumineux passe par une ouverture faite dans un écran, les intégrales sont totalement définies; des résultats de six expériences où II a calculé les intensités de dix-sept minima, deux seulement font défaut aux résultats donnés par les intégrales, d une manière sensible : ces inexactitudes sont faciles à concevoir, et Fresnel les explique d une manière probablement juste : d ailleurs, la théorie a pour elle les quinze autres résultats de lobservation.

Pour appliquer les formules au cas où le faisceau lumineux est intercepté par un corps opaque assez étroit, il faut retrancher la valeur de l'intégrale finie donnée par la table de la valeur do Tintégrale indéfinie : ici encore l'expérience confirme la formule.

Ces trois cas du phénomène de la diffraction ne sont pas les seuls

.qu'on pourrait vérifier ; on pourrait , au contraire , les multiplier

à l'infini. Fresnel, dans une note qui suit le Mémoire dont cette

analyse ne rend qu'un compte bien imparfait, a résolu le cas où la

lumière traverse une ouverture circulaire très-étroite.

Ce qui précède assigne déjà, sans contredit, au calcul la place qui lui est due. Une hypothèse est posée : elle explique quelques phénomènes, et elle suffit pendant quelque temps; le calcul s en empare, en déduit toutes les conséquences possibles, et décide, avec une exactitude irréfragable, si l'hypothèse proposée est admissible ou non.

Les arguments qui précèdent sont irrésistibles contre le système de l'émission, tandis qu'ils sont, au contraire, tout à fait en faveur de celui des ondulations. Mais pour soutenir une hypothèse, il ne suffit pas d'un fait, ni même d'un ensemble de faits de même nature : il faut que tous ceux qui dépendent de la branche de connaissances à laquelle se rapporte l'hypothèse soient d'accord avec celle-<ri. C'est ce qui a fait tomber le système de l'émission; c'est, au contraire, ce qui a donné à celui des ondulations le haut degré de certitude qu'il possède aujourd'hui.

34. Nous devons aux recherches de Fresnel, pour appliquer cette théorie au phénomène de la double réfraction, un des plus beaux ouvrages qui aient été écrits sur cette partie de la physique.

DE l'utilité du calcul. 519

contredit Tune des plus importantes, vu le rapport intéressant |u*elle présente avec les lois de la constitution moléculaire des crissàux. Le Mémoire de Fresnel, sur la double réfraction, est unchefl'ceuvre; cest son plus beau titre do gloire, non-seulement à cause les dîfBcuItés extraordinaires qu'il est parvenu à vaincre, mais aussi i. cause de Tétonnante simplicité à laquelle il en a ramené lexposé, * ^% avec laquelle il a mis en évidence ladmirable enchaînement logique que suivent toutes les lois de la nature.

Toute la théorie exposée dans ce Mémoire repose sur deux principes : lun concerne la constitution des milieux réfringents; il consiste en ce que les molécules vibrantes de ces milieux ne présenteraient pas une dépendance mutuelle commune à toutes les directions, en sorte que leurs déplacements relatifs mettraient en jeu des élasticités différentes , selon le sens dans lequel ils s exécuteraient; lautre est une définition nouvelle des vibrations lumineuses, rendue nécessaire par le fait de Tinterfércnce des rayons polarisés, et étendue sans eflbrt, toujours en vertu des faits, aux rayons de lumière ordinaire. Elle porte que les vibrations, au lieu de se transmettre dans le sens de la normale h Tonde, se propagent, ^n contraire, perpendiculairement à cette normale, ou plutôt parall^ment à la suiace des ondes. La démonstration en est précise, et s accorde en tous points avec toutes les lois d'interférence des rayons polarisés. Fresnel, analysant les conséquences de cette marche des vibrations, eut le bonheur den déduire, entre autres, dans certain cas particulier, le phénomène de la polarisation circulaire, présenté parle cristal de roche dans le sens de son axe et par quelques autres cristaux doués d un arrangement moléculaire spécial.

Il foUait encore démontrer la possibilité mécanique de la propagation des vibrations transversales dans un fluide élastique : c est ce que Tauteur fait avec sa lucidité habituelle, en y ajoutant lexplication très-rationnelle de labsence d agitations sensibles de 1 ether dans le sens de la normale aux ondes.

Telles sont les considérations préliminaires qui précèdent la solution complète du problème : elles ne présentent rien que de très^admissible ; pour les rendre utiles à la question, il est un troi-

sièmc principe dont il est nécessaire de légitimer lemploi. Il consiste dans les deux théorèmes de statique suivants :

« 1*" Dans un système quelconque de molécules en équilibre, et quelle que soit la loi de leurs actions réciproques, le déplacement très-petit d'un molécule dans une direction quelconque produit une force répulsive égale en grandeur et en direction à la résultante des trois forces répulsives qui seraient produites séparément par trois « déplacements rectangulaires , égaux aux composantes statiques du« premier déplacement.

a 2"* Dans un système quelconque de molécules ou points maté^.^ riels en équilibre, il y aura toujours, pour chacun d'eux, troii^ directions rectangulaires suivant lesquelles tout petit déplacemei^ de ce point, en changeant un pou les forces auxquelles il est soumisproduit une résultante totale dirigée dans la ligne même de déplacement. ))

Le premier de ces théorèmes, dont la démonstration est facil sert de base au second : celui-ci nest que la propriété dont j( certaines directions des milieux matériels, au nombre de trois, auxquelles on a donné le nom d'aœes d'élasticité.

Rien de plus simple dès lors que tout ce qui va suivre : ce ^i vient d'être démontré pour un seul point matériel déplacé, Vi également pour le déplacement complexe des molécules vibranle^ de Téther qui transmet la lumière.

On trouve que les molécules lumineuses qui étaient toutes situées sur une même normale à Tonde, avant le mouvement, sont ensuite transportées sur une courbe sinusoïdale , dont cette normale est Taxe de symétrie ; et que la force accélératrice , et par suite la vitesse imprimée à chaque point matériel, est proportionnelle aux ordonnées correspondantes, en prenant pour axe des abscisses. Taxe de symétrie de la courbe ou la normale à la surboe des ondes. Les espaces parcourus seront naturellement dans le même rapport ; et comme cela a lieu à chaque instant, on peut assimiler ces oscillations à celles du pendule. D où il suit que la durée des vibrations est en raison inverse de la racine carrée de rélasticitê du milieu, élasticité qui est 'proportionnelle à la force résultant des

DE LÏ'TILITÉ DU CALCUL. 521

Jéplacemenis relatifs des tranches parallèles du milieu. Cette durée c&% aussi proportionnelle à la longueur d'une ondulation, puisque la ioit» accélératrice est inverse du carré de cette longueur. 11 faut donc que la longueur d ondulation soit proportionnelle à la racine caxnnée de l'élasticité du milieu, puisque les vibrations lumineuses se foji^ft avec la même vitesse dans un milieu quelconque. Ce qui rapproche les vibrations de lether de celles des cordes élastiques. U suflBt donc, ajoute Fauteur, de connaître la loi de variation de rélasticité d'un milieu pour connaître toutes les vitesses de propagatiox^ que la lumière peut y affecter. S'appuyant ensuite sur les deux tli^éorèmes de statique précédents et sur ce que les actions mutuelles d^ïs molécules d'un même milieu varient de la même manière, quelle <{^:a^ soit la direction, on en déduit immédiatement que l'élasticité o^ise en jeu par les déplacements relatifs des molécules restent toujoutr-s la même dans le même milieu, tant que la direction de ces <l^placements ne change pas, et quelle que soit d ailleurs celle du plc^ri de l'onde.

Remarquons, avant d'aller plus loin, que les axes d'élasticité milieu peuvent fort bien ne pas avoir une direction commune toute son étendue, et que les lois de la propagation de la ^^^Txiière dans les milieux transparents n'ont encore été étudiées que ^fiuis le cas ou ces axes n'ont chacun qu'une seule direction dans le ^^^^lieu : cette considération apporte quelque restriction à la généra- ^^tô de la solution; mais vu le petit nombre de cas connus jusqu'à présent, où les lignes homologues des groupes moléculaires ne sont V^ parallèles entre elles dans les milieux homogènes, les lois de la double réfraction conservent, malgré cela, une grande généralité. Bailleurs il est convenu d avance que les principes généraux sur lesquels on s'appuie ne sont appliqués, dans cette recherche, qu'aux cas du parallélisme des axes élastiques.

Cela posé, il suit du principe précédent qu'on n'aura jamais à comparer que les élasticités mises en jeu par deux systèmes d'onde, dont les surfaces sont parallèles et dont les vibrations font entre elles un angle quelconque. Or ces élasticités sont proportionnelles à celles qui seraient excitées par une molécule déplacée d'abord suivant la

oii QUESTION DE SCIENCES PHYSIQUES ET BiATHÉMATlQUES.

première direction, puis suivant la seconde. Car ce sont les tranches d un même milieu qui se sont déplacées dans des directions différentes ; et ces deux modes de déplacement sont passibles des théo* rèmes de statique précédemment posés.

D après tout ce qui précède, il s agit de déterminer la force élastique résultant des vibrations parallèles à une direction faisant, avec les axes d élasticité du milieu, les angles X, Y, Z, sachant que les vibrations parallèles à ces axes, et de môme nature que les premières, produisent les élasticités respectives a^ 6^ (?, et partant

ont des vitesses proportionnelles à -, - et -.

Or les axes d'élasticité étant pris pour ceux des coordonnées, e^ lamplitude donnée, pour unité, cos. X, cos. F, cos. Z représen — teront les déplacements composants parallèles aux axes ; de sorte qu^ la résultante des forces dues à ces déplacements sera

/■ = \/ a* COS. 2jr -f 6* COS. 2r + c* cos. ^Z,

résultante qui n a pas toujours la même direction que celle des déplacements, mais qu'on peut toujours décomposer en une parallèle à celle-ci, et une autre perpendiculaire.

Remarquons pour la première que, connaissant les angles qu'elle fait avec les trois axes, ainsi que les directions de la force /"sur les mêmes axes , on aura sa direction relativement à celle-ci ; et, par suite, sa valeur, que nous représenterons par t;^, sera

r* =■ a2 COS.* X + 6* COS.* Y •\- c^ cos.* Z.

Pour la seconde, il serait inutile de la calculer si elle était normaie à la surface de Tonde; en effet, elle n aurait pas alors d'influence sur la propagation des vibrations, car on se rappelle qae les molécules d'éther n éprouvent pas d'agitation sensible dans le sens de la normale à Tonde. Or on peut toujours ramener à ce cas le calcul de la propagation, ainsi que l'auteur le fait voir.

En effet, on remarque que la valeur de ^ représente une sarfoce que Tauteur appelle surface d'élasticité ; que la force élastique provenant d'un déplacement suivant un rayon vecteur de cette surface

DE l'utilité du calcul. 523

peut se décomposer en une dirigée suivant le rayon, et en une autre ^ui loi est perpendiculaire; que cette dernière peut, h son tour, ^ décomposer en une force perpendiculaire au plan mené par le centre de la surface , parallèlement aux ondes , et qui est ^ns influence ; et en une autre située dans ce plan ; mais qu'alors Celte dernière se composant avec celle dirigée suivant le rayon Vecteur, il en résulterait un changement continu dans la direction de cette force d une tranche à lautre ; qu enfin il existe dans chaque seotion de la surface d'élasticité, parallèle aux ondes, deux rayons veoteurs rectangulaires entre eux, suivant lesquels les déplacements prcxluisent des forces élastiques situées dans le plan perpendicukmtre à la section, mené par ces rayons : de sorte que des composa cm les rectangulaires de cette force, l'une étant dirigée suivant le Ta jron, l'autre est perpendiculaire aux ondes. Or, on peut toujours déc^omposer un déplacement quelconquo suivant ces deux rayons vec^teurs rectangulaires [axes de la section) : ce qui fait que le calcul de I3. composante perpendiculaire est inutile.

-Ainsi les vibrations parallèles aux axes de la section faite par le

pl^ Km des ondes dans la surface d'élasticité conservant toujours la

iQ^ncme direction , ont une vitesse de propagation proportionnelle

à la racine carrée de l'élasticité mise en jeu , vitesse qui peut

è^*"^ représentée par le rayon vecteur i\ correspondant à l'axe con-

siaoï-é. De sorte qu'ayant mené par le centre de la surface un plan

Ç^'ï^illèle aux ondes, et ayant décomposé le mouvement suivant les

A^ux axes de la section, les intensités relatives des composantes

^^^nt respectivement proportionnelles aux cosinus des angles qu'elles

îont avec la direction donnée, et leurs vitesses estimées dans le sens

A^ la normale aux ondes seront proportionnelles aux demi-axes

delà section. Voilà toute la théorie de la double réfraction, dans le

casdes ondes planes, c'est-à-dire lorsque le point lumineux est très-

éloigné. .

La surface d'élasticité jouit, en outre, de la propriété de posséder deux sections circulaires, et pas davantage : il s'ensuit que les vibralions parallèles à ces sections ont toutes la môme vitesse , et ne peuvent éprouver de déviation en passant d'une trapche à l'autre.

524 QUESTlOiN DE SCIENCES PHYSIQUES ET MATHÉMATIQUES.

Il S ensuit que si Ton fait arriver perpendiculairement à lune ^^„ lautre de ces sections un rayon de lumière polarisée dans ^ji, azimut quelconque , il n y aura ni double réfraction , ni déviait» «on de plan de polarisation. Ce sont les propriétés déjà connues de ^ qu on appelle les axes du cristal, et que Fresnel propose d app^^ 1er axes optiques, réservant la première dénomination pour les sm^y^^ d'élasticité. Le calcul qui conduit h ces conséquences montre a^ ^^' qu il n y a jamais plus de deux axes optiques, se confondant en. °"

seul, dès que deux des trois axes a, b, c sont égaux. Enfin, s^^ r surface d'élasticité était une sphère, les forces élastiques ne var^- ^^^ plus avec la direction des déplacements, et le cristal ne jouit pa^^^ ^^ la double réfraction.

Quant à la loi de Descartes pour le cas des ondes planes et ini finies, Fresnel en donne une démonstration tirée des considératL développées dans le Mémoire sur la diffraction, pour la démoi tion du principe d'Huygens.

Si le point de mire n est pas assez éloigné pour permettra considérer les ondes lumineuses comme plapes, il faut tenir coi de la courbure de leur surface; la position visuelle de ce dépend évidemment de la direction de 1 élément d onde qui ai le premier à Tœil, ou de celle du rayon qui est perpendiculaî cet élément , et appelé rayon de première arrivée : ce rayon. est celui d une sphère ayant pour centre le point d émergence, et gente à l'élément d'onde qui agit le premier sur ToBil. Cest le cej de cette sphère qu'il s'agirait de déterminer : or la section dans la surface d'élasticité ne pourrait fournir les éléments du pi blême, qu'autant qu'on pourrait la mener parallèle à l'élément Fonde considérée, et Ton ignore la direction de celui-ci. De ph on remarque que la vitesse ne doit plus être mesurée dans le de la perpendiculaire au plan des ondes, mais au contraire dans ^^ sens du rayon, puisque le problème se réduit à trouver le rayon c^<^ première arrivée. On cherchera donc d'abord la distance entre k point de mire et la surface des ondes au bout d'un temps donné; ce qui revient à trouver l'équation de cette surface. Or Fauteur Eait voir que celle-ci doit être tangente à la fois à toutes les ondes planes

>artie8 du point de mire dans toutes les directions,, en d'autres que cest une surface enveloppe.

calcul appliqué à ce théorème, aussi simple que l'invention

su est ingénieuse , fait voir qu'il y a deux élasticités différentes et

MBS dbvantage, et par conséquent deux seules directions du rayon

recteur qui satisfont à la condition du maximum et du minimum de

ritesfie : ces deux directions sont rectangulaires entre elles, d'oii il

^uit que les deux modes de vibrations sont tout à fait indépendants ;

3t, oomme ils sont les seuls, il s'ensuit qu'il ne peut y avoir que deux

, soit qu'on se trouve dans le cas des ondes planes et indéû-

, soit qu^on doive tenir compte de la courbure de leur surface.

propriété ressort surtout de l'équation de la surface des ondes,

par l'impossibilité d'y mener plus de deux plans tangents par une

Iroite, et d'un même côté du centre. Fresnel donne deux méthodes

poimir trouver l'équation de cette surface ; la seconde consiste à la

rminer par la position des tangentes au lieu des plans tangents :

toutes deux les calculs sont fort longs, quoique faciles.

vertu d'une observation sur l'identité remarquable que pré-

MxmCent les intersections de cette surface par les plans coordonnés,

et 1^8 intersections que déterminent ces mêmes plans dans la surface

du. quatrième degré, obtenue en coupant l'ellipsoïde ayant pour

axes ceux d'élasticité du milieu, par une série de plans diamétraux,

en menant par le centre , perpendiculairement à chacun de ces

plains, des droites égales à la moitié de chacun des axes de la section

^^^nétrale, et en réunissant les extrémités de ces perpendiculaires,

ou trouve que ces deux surfaces seraient identiques si elles étaient

^^ même degré. Or la surface des ondes n'a que deux nappes

^^Ues, puisqu'on ne trouve que deux valeurs pour v^ ; pour s'as-

^ï^r qu'elle n'en a pas d'imaginaires, il faut voir si l'équation de la

^riiace tirée de rellipsoïde satisfait à celle qui exprime la généra-

^^On de la surface des ondes : on trouve que ces deux équations

<^Qcordent entre elles.

L'équation de la surface des ondes :

se décompose en deux facteurs du deuxième degré, dans le cas ^u deux axes d élasticité sont égaux : elle est alors le -produit équations d un ellipsoïde de révolution et d'une sphère ayant m rayon que Téquateur de l'ellipsoïde.

Cette surface ainsi exprimée est parfaitement d'accord av construction indiquée par Huygens, pour trouver la direction rayons de première arrivée, pour certaines substances qui p tent deux axes égaux d élasticité. Cette construction reçoit même lextension par suite des calculs qui précèdent.

Les axes d élasticité, et les trois constantes a, b,cse détermin par lobservation . ^

On a trouvé que deux des axes d'élasticité divisent en deux partie égales les angles configus des deux axes optiques, dont la directi-* -se trouve aussi par l'observation, et que le troisième est perpe diculaire au plan de ces axes.

Pour les constantes a, h, c, le moyen le plus direct de les miner est de mesurer successivement les vitesses des rayons réfracC parallèles à chacun des axes d'élasticité, et dont les vibrations parallèles à l'un des autres axes. Le procédé que fournit le princi des interférences est très-délicat en ce que deux observationssuffisent et qu'une troisième les vérifie : en effet, en parcourant I cristal parallèlement à Taxe des x, la lumière affecte les vitesses ^ b et c; parallèlement h Taxe des y les vitesses a et c; parallèlement à celui des z les vitesses a et 6.

Pour les milieux dont la bi-réfringence est peu énergique , on peut déterminer les directions des rayons réfractés, d'après la loi de Descartes ; et par le moyen de ces directions, et de Féquation ci-dessus, on détermine les vitesses correspondantes. Leurs lois se vérifient assez facilement par l'expérience de la diffraction.

Le calcul déduit également sans difficulté de la théorie précédente la loi de MM. Biot et Brewster, consistant en ce que la différence des carrés des vitesses des rayons ordinaire et extraordinaire est proportionnelle au produit des sinus des angles que lait le rayon extraordinaire avec chacun des axes optiques (ce produit devient le carré du simts quand les deux axes se confondent) .

DE l'utilité du calcul. 527

il faut remarquer d abord que le rayon vecteur de la surface des ondes est celui suivant lequel la lumière est supposée se propager le système de rémission ; que les rayons réfractés partant de TS points d une onde sont parallèles au rayon vecteur dirigé le point de la surface d'une onde pour laquelle le plan tangent parallèle à Tonde réfractée , et que rellipsoïde d'élasticité donne eii€M3re les vitesses des rayons réfractés perpendiculaires à la section par ce plan tangent; en outre, il faut se rappeler que les vitesses rayons dans notre hypothèse sont inverses de celles que donne l^énaission.

^lewton avait nommé plan de polarisation du faisceau ordinaire ■^ plan mené par ce faisceau et Taxe du cristal ; or les vibrations du lausœau ordinaire sont perpendiculaires à Taxe du cristal : donc '^ f>lan de polarisation du rayon ordinaire est perpendiculaire à ses vib^-ations. C'est d'après cette propriété que Fresnel définit généra- ^^vicient le plan de polarisation d'un rayon lumineux quelconque, ^^^^As le système des ondulations. Cette définition générale s'écarte t^^ii de la vraie signification des plans en question , et coïncide môme ^"Vec elle dans le cas des ondes sphériques, et du reste cette sphéricité ayant presque lieu dans les milieux les plus réfringents, on Ib^ut regarder cette définition comme exacte, si l'on veut remarquer Surtout que la position de tels plans n'a jamais été déterminée que ^'après celle des plans de polarisation des faisceaux incidents et émergents.

La règle donnée par M. Biot (tome II, Physique expérimetUale) pour cette détermination , se déduit de la définition de Fresnel : il suffit, pour cela, de remarquer que les deux plans des sections circulaires et celui de la section parallèle aux ondes déterminent sur une sphère concentrique à la surface d'élasticité un triangle sphérique , tel que le côté correspondant au dernier plan ainsi que lan^e dièdre opposé sont coupés en deux parties égales par le plan de polarisation du faisceau ordinaire ; celui du faisceau extraordinaire coupera en deux parties égales l'angle dièdre supplémentaire. La légère différence que cette propriété offre avec la règle de M. Biot vient de ce que dans les cristaux qui ont servi à ce physicien

pour expérimenter, les normales aux sections circulaires de la surface d'élasticité diffèrent excessivement peu de la direction des véritables axes optiques, et que les rayons dirigés suivant ces derniers sont presque normaux aux ondes correspondantes ; et puis, comme on la déjà remarqué, la position des plans de polarisation des rayons réfractés na pu se déterminer directement. Enfin cette différence est impossible à constater.

On remarque dans la réfraction des cristaux : 1*" que les plans des sections circulaires de la surface d'élasticité se confondent ordinairement, surtout dans les cristaux dont la bi-réfringence est énergique; ^ que les rayons incidents perpendiculaires aux sections circulaires^ de la surface d'élasticité ne sont pas rigoureusement réfractés sui— vant la même direction, mais s'écartent un peu de la normale à ces sections : cette coïncidence n'a lieu que dans la direction même de Taxe optique; 3** que tous les rayons ordinaire et extraordinaire parallèles à ce dernier ont la même vitesse , quelle que soit l'incidence ; ce qui n'a lieu, pour les rayons perpendiculaires aux sections circulaires, que lorsque l'onde incidente est parallèle à la section circulaire ; 4"" qu'il existe entre les propriétés des axes optiques des cristaux à un et à deux axes, la différence suivante : si l'on (ait varier la face de sortie, la réfraction extérieure des rayons parallèles à l'axe optique suit toujours la loi de Descartes dans les premiers ; tandis que, dans les seconds, cette loi n'est suivie que par les rayons dits ordinaires; 5"" on démontre que les rayons nommés ordinaires par MM. Biot et Brewster sont ceux dans lesquels les variations de vitesse ont le moins d'étendue. Ces variations ont le plus d'étendue dans les rayons extraordinaires ; mais elles auront la même extension de part et d'autre, si les axes optiques sont rectangulaires entre eux; pour calculer ces variations de vitesses, on remarque qu'il suffit de connaître l'angle des deux axes optiques et deux des trois quantités a, 6 ou c.

Toutes ces remarques théoriques sont confirmées par l'expérience. 11 en est une encore qui mérite une attention spéciale. On avait admis que dans les cristaux qui jouissent de la double réfraction, 1 une des images suivait toujours la loi de réfraction ordinaire, loi do

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