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Calcul différentiel. — 37. Il nentre pas dans le pian de ce ^ travail , déjà fort long , do discuter ni môme de rappeler les con- — . ceptions diverses qu'on a proposées comme bases au calcul dîffé — .^ rentiel. Cela seul ferait lobjet d un traité en dehors de la question^ j Il me suflit de montrer la part qui lui revient dans les progrès de 1(e^. philosophie naturelle : d abord, c est un fait assez largement constat^ii^ par les résultats nombreux et inespérés que cette méthode a fourni dans les mains des Leibnitz, des Newton, des Jacques, Jean etDanû Bernouilli, des Ëuler, des Lagrange, Laplace, Monge, Fouriei Poisson, etc. , et par les nouvelles connaissances qu elle nous (ounm/ m tous les jours. Appliquée d abord à la discussion des courbes, e^ notamment à la recherche de leurs points maximum et minimum, cette analyse ne tarda pas à féconder la mécanique et à s'étendre à toutes les questions de physique où se présente la continuité.

La difficulté qui résulte, pour acquérir la connaissance mathématique d'un phénomène, de la complication des circonstances au milieu desquelles il se passe, est immédiatement levée dès quon peut estimer la loi élémentaire de la force qui le produit ; car alors le fait est ramené à sa plus grande généralité, et par suite à sa plus grande simplicité : ce qui serait peut-être encore impossible dans bien des cas sans la méthode infinitésimale.

L équation différentielle d'un phénomène représente donc ce phénomène, débarrassé de toutes les circonstances accessoires qui peuvent le modifier, et présente l'avantage de pouvoir sadapter à toutes ces circonstances quelles qu'elles soient, en y faisant entrer les éléments qui les caractérisent.

La seule difficulté à résoudre ensuite est tout entière dans le calcul, genre de difficultés que les géomètres ne redoutent plus. On sait d'ailleurs combien la considération du problème lui-même est de nature à diminuer cette difficulté.

C'est ainsi qu'Âmpèrc a établi la théorie complète de Télectro-

ci^^namique, et a déduit toutes les lois particulières de cette force

n^itimrelle de la formule qui en représente la valeur élémentaire et

Ist loi générale ; que Fourier a ramené à l'intégration d'une seule for-

ncï^jl^ toutes les recherches ayant pour objet la propagation de la

di^Sàlcur dans les solides ; que Navier et Poisson ont établi les lois

d^ l^éqoilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des

il m'a ides, etc., etc. Parmi les exemples cités au chapitre III, l'indice

d^ x^fractîon des solides cristallisés, calculé par la méthode des

et des minima, et la théorie de l'arc-en-ciel, de Newton, au moins l'élégante facilité qu'affecte ce genre d'analyse. •*il est vrai que sous le point de vue abstrait nous devions trou-v^-ar dans le développement des fonctions en séries la formule générale d^ l£i génération des quantités, il n'est peut-être pas moins vrai que y trouverons la loi générale des phénomènes naturels, la loi L^rale du temps et de l'espace ou des forces naturelles. En jetant ^>^ C30up d'œil sur l'ensemble des phénomènes naturels, partout se mtent des forces attractives ou répulsives; lorsque nous pouobserver leurs effets à des distances appréciables, elles suivent ^i^^iblement la loi de la raison inverse du carré des distances. Mais les ;gphénomènes capillaires, la combinaison chimique, la compressihiim^^^^ la dilatabilité, toutes ces forces qui agissent à des distances qo m] nous est impossible de mesurer, présentent des résultats différC*^^ de cette loi si simple. Peut-être la formule de l'attraction U^^xerselle n'est-elle pas théoriquement complète ; qu'elle doit coni0^Vir des termes ultérieurs, renfermant au dénominateur la distance 1^ Une puissance supérieure, termes à négliger lorsque la distance e^\ fort grande, comme dans les phénomènes astronomiques, mais qui deviennent au contraire influents dès que Ton a de petites distances à considérer (i). S il en est ainsi, c'est de l'étude perfectionnée des séries que dépend l'avenir des lois encore inconnues : ce serait donc du calcul différentiel que nous devrions attendre la possession de cette grande généralité.

l (1) Il parait que cette opinion ëtait celle do Newton. — roiVchap. I, no7,4re rem. (Loi

^ de Biot et Savart déduite de la formula de Laplace.)

La loi de Mariottc parait offrir une circonstance analogue. On la croyait exacte, quelle que fût la pression, pour une température constante quelconque. Mais les nouvelles expériences de M. Regnault portent au contraire à conclure que cette loi est incomplète ; qu elle cesse de représenter exactement 1 état du phénomène lorsque les gaz s approchent de leur liquéfaction; que, d*ailleurs, la véritable loi de compressibilité dépend de la pression initiale, de la différence des pressions et de la température. Il est cependant des circonstances de température et de pression où elle se réduit exa tement à la formule de Mariette. L état complexe de la loi gén porte M. Regnault à désespérer de la trouver uniquement pa' expérience. C est pourquoi cet habile physicien engage les géomi à rechercher la forme de la fonction qui doit représenter cette 1 en développant, au moyen de l'analyse, quelques hypothhses faites les forces moléculaires.

Calcul des variations. — 38. Le calcul différentiel résout &i lement cette question : v( Étant donnée une fonction quelconqF^ u = f[x,y,z,..)^ œ,y z, etc. , étant des variables indépendantes la nature de la fonction étant donnée, chercher les variables qui respondent à la plus grande ou à la plus petite valeur de la foi tion u. » Mais toutes les questions de maximis et minimis n affecta pas cette simplicité. On peut chercher à donner à une relation en. des variables une forme telle, quune fonction qui dépend de e^^ Me relation indéterminée prenne une valeur la plus grande ou la pZc^'-^ petite possible. Par exemple, on peut demander, et cette question e&^ encore une des plus simples : a Parmi toutes les courbes de même longueur tracées entre deux points, celle dont Taire sera maatmi ou minima, ou qui, par sa révolution autour dune droite doDoée, engendrera le volume maximum ou minimum. »

Cest à loccasion de la première , qu Euler avait résolue, que Lagrange imagina la méthode des variations, extension du calcul i différentiel , féconde surtout dans les questions de mécanique. Jus- I qu'aujourd'hui la physique proprement dite en a fait peu d'usage : le géomètre Gauss la pourtant appliquée dans ses recherches sur

DE l'utilité du calcul. 539

'^ phénomènes capillaires; M. Bertrand a fait voir, il y a quelques

*^ois, qu'on pouvait y suppléer par des considérations géométriques.

^ailleurs la théorie de Gauss, pour être tout à fait fondée, a besoin

9^0 I expérience vérifie certains faits qui en sont la conséquence.

fin parlant du Mémoire d'Ampère sur 1 électrodynamique, j en ai

Signalé une application très-simple, qui s est présentée en quelque

^rte spontanément dans le cours du calcul de laction d'un circuit

plan et fermé très-petit sur un élément de courant.

Calcul aux différences; interpolation. — 39. Le caractère du calcul différentiel consiste en ce qu'on y a égard à la succession infinie do valeurs que peut prendre Tinconnue dans une fonction, et la '^«eilion qui peut exister entre les variations de cette inconnue et ^^^11^8 de la fonction même qui en dépend , variations qui se suc- ^^^^^nt d'une manière continue par intervalles infiniment petits. ^*^is il est quelquefois indispensable, dans les applications des **^^ ^lématiques à la philosophie naturelle, de considérer des diffé- "^^ï^ces finies, ayant une valeur déterminée : on a recours alors au ^^^*C5id dit des différences finies, méthode qui se réduit à un petit ^Oqc^i^ de lois générales, toutes comprises dans la formule fonda- ^exïtale

^^ est la base de la méthode d'interpolation. Elle sert, étant donnée

^i^^ série de valeurs particulières d'une fonction, à calculer le terme

^^^éral de cette série au moyen du premier et de ses dilTérences

s^^H^essives. On peut donc, par cette formule, trouver la nature de

\^ îonction qui relie les résultats successifs et variables de l'observa-

tiOD d'un phénomène.

Elle est donc indispensable pour rechercher certaines lois qu'il est impossible de lire directement dans l'expérience ou lobservation : ces deux moyens d'investigation donnant une série de résultats isolés, ce n'est que par cette formule qu'on peut relier ces résultats.

Supposons qu'il s'agisse de déterminer la loi des tensions de la

vapeur d'eau à différentes températures. On déterminera les tensions de cette vapeur à des températures croissantes de 1 0 on 1 0 degrés par exemple , de sorte que Aa? = 1 0 ; et l'on calculera les différences successives de la tension Ay, A^y . . . .

Si la fonction cherchée y^^ est une fonction rationnelle de la variable X, c est-à-dire, dans le cas proposé, si la tension de la vapeur était une fonction rationnelle de la température, de Tordre ou du degré y«*, la différence de Tordre supérieur à A/*y^seràit nulle : Texpression précédente aurait un nombre déterminé de termes. Mais cela n*a pas toujours lieu, et notamment dans la recherche citée. Alors on prolonge la série jusqu'à un ordre de différences qui différent peu entre elles et qu'on puisse regarder comme constantes : en cela , on doit s'en rapporter au degré d'exactitude qu'on se propose d'obtenir. Cette formule n'est applicable qu'au cas où les observations se sont faites de telle sorte que la variable indépendante croit par différences égales; mais cela ne peut pas toujours avoir lieu. Entre autres, la table dressée par MM. Dulong et Arago, pour les tensions de la vapeur dcau entre 100'' et 224*", ne suit pas cette loi. En pareil cas, la formule de Lagrange est la plus générale; voici, d ailleurs, une autre formule, qui est celle que Laplace a présentée :

Soient ir^, cTj (T^ • • . • les températures, différant entre elles dune manière variable ; ^o ^i ^2 • • • • '^^ tensions correspondantes de la vapeur.

vosor^s yi^iy^==A„y-i=-«^^M,^^-y-^ A,

Xx — Xo a?j — â/] ar, — x^

A\ — yio „ iij — À\

= B^y —^ = Bi , etc.

J Z1?.= Cq, etc., nous aurons la formule

!/' = yo + ^o(^i— a?o) + /^o(^~^o)(«--«i) + Co(^— aro)(ir— ir,){ar— a:,)4-cU:.

M. Cauchy, à Toccasion de ses travaux sur la lumière, a aussi donné une méthode d'interpolation, qui, à l'avantage de s'appliquer aux

DE l'utilité du calcul. 541

^ vdoppemcnts en séries, quelle que soit la loi suivant laquelle les

tc^irmes se déduisent les uns des autres, joint ceux d'être d un usage

r^tis facile que les précédentes, et de fournir, pour les coefficients,

^^^ valeurs pour lesquelles la plus grande erreur à craindre est la

V^^is petite possible.

(jds méthodes ne sont pas les seules ; il en est beaucoup d'autres, ^t Von ne saurait pas donner de règle générale à cet égard. Pour la recherche de la loi des tensions de la vapeur, il n'y a pas eu moins de cinq formules différentes présentées par les divers physiciens qui se sont occupés de cette question. Celle que M. Kegnault a adoptée dans son travail sur cette môme question exige la détermination de cinq constantes arbitraires ( Annales de chimie et de physique, troisième série, tome II, page 326) , et représente assez bien, vérification faîte, la loi cherchée pour les hautes températures ; mais la même formule ne répond pas, pour les températures inférieures à 0"*, aux données de l'expérience. Ce physicien a été obligé d'en calculer une autre propre à ce cas. On voit donc que la loi générale de ces tensions n est pas encore formellement connue : il faudrait, pour y parvenir, tirer des tables présentant les résultats de l'expérience une formule spéciale propre à la représenter. Le^ formules données, même par les procédés généraux, excepté celui de M. Cauchy, peuvent être défectueuses dans certains cas; il faut bien alors recourir à des procédés particuliers, plus appropries à la nature du phénomène; il faut en outre remarquer que leur usage ne doit pas en général s'étendre au delà des limites des résultats qui ont été obtenus. Les méthodes particulières présentent quelquefois l'avantage d'abréger beaucoup les opérations.