La formule fondamentale

yx = yo+f; Ayo+f;( ~^-l)Yl^+Ctc.,

est, avons-nous dit, la base de la métliode d'interpolation. Cette méthode consiste à intercaler entre les divers termes d'une série

expérimentale uq certain nombre de termes qui suivent la même loi que les premiers. Elle est particulièrement d'un très-utîle secours dans Tétude des phénomènes de la chaleur, notamment en ce qui concerne les changements qu elle apporte à 1 état physique des corps, tels que la dilatation, les variations d'élasticité, etc., etc., et dans l'astronomie, où Ion a continuellement à intercaler des termes entre des suites de nombres ou d'observations dont la marche n'est [)as égale, ni le progrès uniforme.

S'il s agit , par exemple , de déterminer l'instant du passage d soleil à l'équateur, comme il serait impossible de préciser cet instan en suivant la marche de lastre, on observe plusieurs jours avan et après cet instant, à des intervalles égaux, ses hauteurs, et a^ moyen d'une interpolation, on calcule Tinstant de son passage sur le plan de l'équateur. C'est aussi par cette méthode qu'on déiermine les courbes décrites par les planètes.

Remarquons que la méthode indiquée pour trouver les tensions de la vapeur d eau à différentes températures est au fond une véritable interpolation. Car la loi du terme général donne ce terme, soit qu'il coïncide avec l'un de ceux que lobservation a fait coonaitre, soit qu'il se trouve entre deux de ces derniers.

Supposons, dans le premier cas considéré, celui où les températures croissent par différences égales de 10 en 10"*, qu'on veuille connaître la tension de la vapeur à 28"", on fera, dans la formule fondamentale, a:=Aa;x2^ou Aa;x2,8. Mais pour plus de généralité, supposons qu'il faille intercaler entre deux termes de la bérie un nombre quelconque m de termes, de manière que leurs différences soient égales. Sachant, par exemple, les températures de la vapeur d'eau correspondantes aux élasticités 1 , 1 Y,, 2, 2 7^, chercher les températures correspondantes aux élasticités 1 ,

On trouve que les températures de la série expérimentale donnent des différences du second ordre égales. La formule fondamentale se réduira donc à

sn

DE l'utilité ou calcul. 543

'letDplaçoDsa^par a; -j- 3x, «?a? étant la nouvelle différence—, on aura

O'oii, par soustraction,

iz , ,2s — Sx — as ^ , . *y. «= 4y, + ^^ ix Aîy„

®® cjui permet de calculer Sy^ en remarquant que j^ = ~ = 5

P^^i* le cas proposé , et en remplacement Ay^ et à^y^ par leurs ^^lours. On trouvera de même les valeurs de *^y,etde ^^y^,, ce qui P^ï^mettra de construire la nouvelle table.

^IMrthodb DBS MOINDRES CARRES. — 41 . Dans le cas OÙ Ion n a pas, ^•^8 lobservation, suivi de progression régulière, la méthode des ^^l^^fBcients indéterminés peut servir à déterminer la loi cherchée , ^ l^^on connaît à priori la nature de la fonction qui la représente. Les ^^l^^flBcients se déterminent alors au moyen des données de lexpé- ^^^iice. Supposons, par exemple, que cette fonction puisse se ^^ velopper suivant les puissances ascendantes de la variable, comme <^^a a lieu pour la dilatation des liquides. Soit

fa forme de cette fonction : <^f représentant ta dilatation à la température f, a, h, c étant des constantes à déterminer. On s arrête dans ce cas au troisième degré, parce que, pour de fortes températures, il Saudrait que le coefficient du quatrième terme fût très-petit, autrement on n aurait pas une formule coïncidant avec les données de Texpérience. Ce qui engage aussi à s'arrêter au troisième terme, c'est lobservation des différences successives des résultats do Texpérience, lorsqu'on fait croître la température par différences égales : ces différences sont sensiblement égales au troisième ordre, c'est-à-dire nulles au quatrième. Ce qui indique que la dilatation est une fonction du troisiènre degré de la température. Remarquons, en

544 QUESTION DE SCIENCES PnTSIQUBS ET MATHÉMATIQUES.

outre, que cette forme est propre à la fonction qui doit représente la dilatation apparente comme la dilatation réelle. Seulement, trois constantes a, b, c devront prendre, dans ces deux cas, des ^ valeurs différentes, et il suffira de trois observations pour les déterminer.

Mais si Ion avait plus de trois observations, il est évident qu en déterminant les coefficients par trois d entre elles, prises au hasard, la formule qu on obtiendrait, exacte quant à sa forme, ne le serait plus quant à la valeur de ses constantes : car elle ne pourrait reproduire exactement les résultats des autres observations. Cela se comprend, en raison des erreurs inévitables qui accompagnent Tobservation. On aurait donc autant de formules avec des coefficients différents, quon pourrait faire de combinaisons trois à trois entre les données expérimentales. Cette impossibilité de satisfaire à toutes les observations par une détermination quelconque des coefficients de la formule, oblige à recourir à la méthode des moindres carrés. Elle consiste à déterminer tes coefficients de manière à ce que la formule s'éloigne le moins possible de chacune des observations. Supposons qu une suite d'observations aient donné pour les températures /j", t^, /j", etc..., la dilatation de ^^^ *,n, ^/j, etc., soient a, b, c les coefficients qu il s agit de déterminer, il est clair qu on aura :

e' = ati + 6(r 4- cr,^ — ^(, r" = at, + bl^2 + ct^^ — èr, f'"=: ait + 6f,2 + cl^^ — 0, , etc.,

e', e", C". . exprimant les erreurs respectives qui résultent de lemploi de la formule dont les coefficients sont a,b, c.

Or ces erreurs sont les plus petites possibles quand la somme de leurs carrés est un minimum, c est-à-dire quand on a :

ï(;2=rM?'2-f. e'^+ «î"'2 J. ,clC.,

iclle que -— =:^: o , --- =-. o, et amsi de suite.

da ' dh

5i6 QUESTION DE SCIENCES POYSIQUES ET MATHEMATIQUES.

tique des résultats de Tobservation , lorsque ceux-ci ne sont pas ^ trop éloignés, et de corriger tous ces résultats d'après cette moyenne. Mais ce procédé est loin d*étre rigoureux, et lorsquon a lieu d attribuer des erreurs aux données empiriques , il vaut mieux avoir recours à la méthode des moindres carrés.

43. Enfin les méthodes d'interpolation graphique offrent encore^ une ressource de plus aux recherches ; ces méthodes sont toutes d un usage facile, mais il est bon de ne les appliquer qu'alors qu*i/ n'y a point lieu d exiger la connaissance rigoureuse des lois. Une belle application de ces méthodes a été faite par M. Morin, dans le travail déjà cité, pour connaître la relation entre le temps et l'espace parcouru à chaque instant par le mobile soumis à l'expérience, et vérifier que son mouvement est dû à une force constante, d'où il suit que le frottement est indépendant de la vitesse.

Calcul des probabilités. — 44. Rarement nos moyens d'observation et de mesure sont assez parfaits pour qu'on puisse regarder les résultats qu'elles fournissent comme exempts d'erreurs au moins légères; l'expérience prouve, au contraire, que même dans les observations les plus simples, et entourées des soins les plus minutieux, se glissent inévitablement des erreurs comprises dans certaines limites. Ces erreurs sont dues à des causes constantes ou à des causes variables ; tandis que les premiers restent les mômes dans la répétition d'une môme observation, au moyeu des mômes instruments, au milieu des mômes circonstances, et par la môme personne , les secondes prennent des valeurs différentes , tantôt positives , tantôt négatives, etc. La source des plus fortes erreurs de la première catégorie gît dans rimperfection de nos instruments et de nos méthodes, erreurs qui peuvent ôtre estimées par certaines règles et certains calculs particuUers : cependant on doit toujours tâcher autant que possible de les éviter, ou tout au moins de diminuer leur influence sur le phénomène étudié. Il y a certaines de ces erreurs qui échappent à notre appréciation, et qu'on ne peut connaître quen changeant les circonstances et les méthodes.

Les erreurs irrégulières ne peuvent pas être estimées : cependant oa peut diminuer de beaucoup leur influence sur la loi cherchée, en muitiphant les observations. Comme il est bien plus facile d opérer en répétant la même méthode, que de multiplier les méthodes mêmes, il faut surtout faire en sorte d'éviter les erreurs constantes, quelque petites quelles soient. Nous ignorons généralement les sources des erreurs irrégulières, mais il y a lieu de croire que dans ie cours d'une même observation par une seule méthode, leur nombre et leurs rapports doivent être les mêmes, et que par suite une certaine relation doit appartenir au même genre d erreurs. Mais comvne on ne connaît pas ces relations, ni même ce nombre, ce n est qu'au moyen du calcul des probabilités, et par les différences quon trouve entre les résultats des expériences successives, que Ton peut évaluer les erreurs, et cela avec un degré d exactitude d autant plus grand, que les observations sont plus multipliées, et qu'elles s&oartent moins les unes des autres.

I^'utilité du calcul des probabilités ne consiste pas seulement dans le» règles destinées, comme celles des moindres carrés, à donner ^^^c le plus d exactitude possible la loi d'un phénomène, mais aussi d^ns les formules propres à assigner les limites des erreurs com- ^^ses, et à mesurer par conséquent la confiance qu on peut avoir dans l'expression empirique dune loi naturelle; ou, comme dit VîUustre auteur de la Théorie analytique des probabilités, à calculer \e poids de cette expression : cet important résultat est dû aux perfectionnements introduits par Laplace dans cette partie de l'analyse. Les formules qu'il a trouvées étant complètement indépendantes des lois de la probabilité des' erreurs, et ne contenant que les données mêmes de 1 observation, ne conservent plus rien de douteux, et font de l'art des conjectures une science exacte, dont l'objet, aussi utile que remarquable , est d'assurer nos jugements et de nous mettre à même de les rectifier au besoin, avant d'en tirer des conséquences, et de les faire servir de base à des raisonnements théoriques. Celte science- doit donc être le complément nécessaire des méthodes d'investigation que nous possédons déjà.

Laplace a démontre lui-même l'efficacité de sa méthode par de

nombreuses applications, entre autres aux observations du phénomène des marées, à la loi do la pesanteur variant avec la latitude, et aux tables des mouvements de Jupiter, Saturne et Uranus, construites par Tobser valeur Bouvard, pour le calcul des masses de ces trois planètes.

MoTSNs ARITHMETIQUES. — 45. Enfin il peut arriver quon ail à choisir entre plusieurs résultats d'une expérience qui n aurait dA rigoureusement en donner qu*uq seul. La méthode des moyens arithmétiques est alors employée : mais on ne doit 8*en servir qu après des expériences consciencieuses, dénuées de toute prévention, et dont les données diflèrent peu entre elles. Fresnel, après cinq observations peu différentes, appliqua cette méthode à Tévaluation de la longueur d'une onde lumineuse : il trouva 1 ,8.

Quoique le résultat dut nécessairement varier entre des limites assez larges, par suite des circonstances très-variables qui le modifient, comme la quantité d eau qui tombe dans un endroit chaque année, le rapport d'une terre cultivée, etc. , on peut encore employer la même méthode pour trouver la quantité moyenne, c'est-à-dire pour connaître la quantité d eau, par exemple, qui devrait tomber par an, dans cet endroit, en supposant les circonstances régulières et uniformes, pour qu'après le nombre plus ou moins grand d'années que l'on considère, et entre lesquelles on prend la moyenne, la quantité totale restât la même.

Calcul algébrique ordinaire. — 46. Si les phénomènes étudiés sont assez simples pour qu'on puisse directement lire dans l'observation ou rexpérience la relation réelle et finie qui existe entre les quantités quon veut y doterininer, bref la loi que Ion recherche, il est clair que Talgèbrc ordinaire doit suffire ; car on n'a, dans ce cas, que de simples équations à résoudre. C'est ce qui a lieu, entre autres, dans les exemples d application de la loi de Mariette, cités au chapitre III; le travail de M. Regnault, cité dans ce même chapitre, oflre aussi Icmploi exclusif de formules algébriques entre quantités finies.

DE l'utilité du calcul. 549

La signification de lalgèbrc, qui, dans son acception la plus

§<^oéraIe, est la science des lois dos quantités, des nombres, a été

'"astreinte, comme celle de la physique : elle comprend réellement et

^^^riquement toutes les mathématiques abstraites. Les méthodes

^ui viennent d'ôlre rappelées, quoique ayant reçu des noms parti-

^/ler^, ne sont au fond que des branches nouvelles dont elle s est

^Uricliie ; il ne faut donc y voir que lextension de son domaine et

'^^onnattre dans le calcul algébrique ordinaire la base de toute opé-

'^^ioKi analytique, de quelque nature qu elle soit. Dès lors son utilité

^é^^il^lit dans la proportion identique à celle du calcul en général,

^^31^ la recherche des lois et Tinterprétation des phénomènes.

mARQUB Ds FouRiBR SUR l'homogénéite . — L'expros^ion générale

^^ Isx loi d an phénomène doit être, quant à sa nature, indépendante

^* ^i^lioix des unités qui servent à exprimer en nombres les diverses

S^^^^^deurs qu'offre ce phénomène à notre étude : cette considéra-

*^^*^ «tonne un moyen de vérifier les lois analytiques de la nature.

C'^s lois, en effet, ou les équations qui les représentent, ne devront

^^lementêtre altérées, si l'on fait subir simultanément à toutes les

^^utités qui s y trouvent les changements correspondants à ceux

^* éprouveraient leurs unités respectives. Cette propriété constitue

1^ loi de rhomogénéité et appartient à toute équation représentant

\xu phénomène quelconque, de quelque nature qu elle soit.

Observation finale. — Le peu d exemples que j'ai cités suffit, je pense, pour établir le fait de lutilité du calcul comme instrument d'interprétation et de recherche des lois naturelles. Cependant on pourrait les multiplier considérablement, car ils ne forment qu un passage presque imperceptible de Thistoire de la physique mathématique. Mais il n'est pas indispensable de parcourir cette histoire tout entière pour répondre à la question proposée : Tutilité, la nécessité du calcul nous est révélée dès les premières notions que lobservation nous fait acquérir. Ces notions, quantité, espace, temps, se rapportant toutes à la première, quant à la forme, fécondées par 1 étude abstraite seule et sans cesse vérifiées par Texamcn

des phénomènes, nous conduisent infailliblement à regarder la nature entière comme une vaste conception mathématique, comme le résultat d'un grand calcul.

Si les résultats n étaient pas là depuis longtemps pour confirmer cette révélation, il faudrait nous hâter de les chercher. Car supposons-nous un instant privés de la faculté de raisonner, de calculer : livrés à nos seuls moyens d*expérimentation et d observation et aux jugements que nous formons sur les résultats de ces observations et de ces expériences, que d'erreurs que le calcul, la raison, cjui coordonne et analyse, peut seule corriger! que de contradictions apparentes qu elle seule peut expliquer et rapporter aux lois générales, lois quelle seule aussi sait découvrir! Cette faculté est 1 arme que Dieu, la Sagesse absolue, a mise en nous pour lutter contre notre ignorance et nos faiblesses ; c est cette force qui met en nous-mêmes la connaissance des causes, la science, et nous révèle la plus sublime des notions, celle de la Puissance suprême, dont elle est une émanation.

FI If Dr asaOlRE 9UR la QUESTIOU de SCIEXCES physiques et HATHélATIQUl».

Compte Renlw

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DISCOURS Pronomi ^ar M. €1). Uogtrr,