I. L'Espace et la Géométrie

L'homme ne possède pas un sens spécial lui permettant de construire un espace à priori. Les sensations d'abord, l'usage d'instruments de mesure ensuite lui fournissent l'occasion de construire l'espace avec les éléments déjà présents dans son esprit. Certes, la géométrie n'est pas sujette à changements dès qu'un appareil de mesure plus précis est construit. Elle nous permet au contraire d'énoncer des propriétés que véritieraient des appareils parfaits.

L'espace du physicien jouit d'une propriété fondamentale bien connue : II est relatif. Tout mouvement d'ensemble de notre univers, toute modiUcation globale de celui-ci, affectant également l'objet à mesurer et l'instrument de mesure seront invisibles pour l'observateur.

Ayant ensuite montré comment le physicien a dû adapter le temps psychologique pour créer le temps du savant, Henri Poincaré indique comment les dernières découvertes de la physique (nous sommes à

HENRI POINCARE

l'époque des équations de Lorentz) vont modifier le principe de relativité de Tespace pour en faire un principe plus général appliqué à Tespace-temps, et ses réflexions sur ce sujet constituent une anticipation aux principes de relativité énoncés depuis par Einstein.

Quant à la géométrie, elle doit rester à l'abri de ces perturbations du monde des physiciens. Ayant eu son origine dans l'espace des sensations, elle s'en abstrait à la condition de devenir et de rester une convention.

Parmi les propriétés de l'espace, le nombre de ses dimensions a toujours excité la curiosité des géomètres et des philosophes.

Les géométries peuvent se classer, selon Poincaré, en trois catégories qui sont : la géométrie métrique où l'on s'occupe des distances, la géométrie projective basée sur la notion de ligne droite et enfin la géométrie de position, géométrie purement qualitative, où il est indlllérent de reproduire fidèlement les figures : c'est l'Analysis Situs. Cette géométrie, remarquablement développée par Rirmann, fait, plus que toute autre, appel à l'intuition géométrique; elle étudie un espace Indépendant de nos appareils de mesure. H. Poincaré montre comment grâce à la notion de coupure on établit sa proposition fondamentale : la tridlmensionnalité de l'espace.

Quant à la géométrie elle-même, son caractère purement conventionnel aurait dû déjà être mis en évidence par les échecs successifs des démonstrations du postulatum d'Eucllde.

L'apparition des géométries non euclidiennes de Lobatchevs^y et de P.Iemann a montré qu'il était parfaitement possible de construire des géométries cohérentes sans admettre le postulatum d'Enclide. Et, plus récemment encore, M. Hilbert a construit des géométries où d'autres nxlomes (celui d'Archimède sur la notion du nombre, celui de Pascal sur la commutativité de la multiplication) sont successivement abandonnés.

Les travaux de M. Sophus Lie, puis ceux de M. Hilbert permettent à Honrl Poincaré de conclure que la géométrie euclidienne, qui s'adapte le mieux à notre espace expérimental, est une convention commode suggérée par l'expérience et adoptée librement. Les développements récents de la relativité généralisée ont montré que pour l'espacetcmps du physicien il faut maintenant adopter une géométrie non euclidienne.

n. Les Mathématiciens et la Logique.

Dans l'activité spirituelle du mathématicien deux sortes de raisonnements sont utilisés : le raisonnement déductif faisant appel à la Logique, et l'Intuition.

La Logique — les mathématiciens l'appellent l'Analyse — nous permet de construire des raisonnements exacts. Mais l'Intuition seule donne au savant la direction dans laquelle il doit poursuivre ses recherches; elle seule lui permet de juger l'ensemble d'un raisonnement et peut lui faire sentir < ce je ne sais quoi qui fait l'Unité de la démonstration ».

Sans doute des mathématiciens Illustres comme Weierstrass et Her-

mlte furent essentiellement logiciens et leur contribution à rédiflce de la Science est Incontestable. Mais, c'est qu'en marge du syllogisme, lis employèrent l'induction mathématique qui, sans cesser d'être absolument rigoureuse, permet de s'élever du particulier au général. Les « Analystes » peuvent donc « inventer » tout en se gardant de faire appel à l'intuition sensible et à l'imagination. Mais s'ils peuvent le faire c'est qu'ils sont guidés par ce qu'Henri Poincaré appelle l'intuition du nombre pur, des formes logiques pures, et ce guide n'est fécond que pour de très rares esprits.

Un certain nombre de mathématiciens et de philosophes ont cependant cru pouvoir ramener les mathématiques à un ensemble d'axiomes et de postulats d'où tout découlerait par de purs raisonnements de logique formelle et sans aucun appel à l'intuition.

Sans doute ces philosophes, et M. Russel en particulier, ont étendu considérablement le champ de la logique classique d'Aristote par l'emploi des syllogismes hypothétiques. Leurs travaux ont été réunis par M. Couturat dans « les Principes de Mathématiques » et c'est à propos de ce mémoire qu'Henri Poincaré a été amené à prendre position.

Le point important du débat porte sur le « Principe d'induction complète », mieux connu sous le nom de raisonnement par récurrence.

— Le principe d'induction complète est une définition déguisée du nombre entier, affirment les logiciens.

Ce principe est un jugement synthétique à priori, répond avec Ki^^, Henri Poincaré.

La définition mathématique est toujours valable sauf si elle implique contradiction. Pour définir un « Objet » les logiciens emploient un système de postulats. De ceux-ci considérés comme prémisses, il faut pouvoir déduire logiquement des propositions sans trouver jamais de contradiction.

Or, ces propositions sont en général en nombre infini (le cas contraire manque d'ailleurs d'intérêt) et la vérification directe n'est donc pas possible. Il ne sera ainsi possible de justifier la définition que par l'emploi d'un raisonnement général faisant appel, sous une forme plus ou moins déguisée, au principe d'induction complète.

Que ce soit dans la pasigraphie, cette logique de M. Peano où le discours supprimé est remplacé par des signes, ou dans les géométries de MM. Russel et Hilbert, la même difficulté subsiste pour les définitions du nombre entier ou pour l'établissement d'une liste des axiomes de la Géométrie.

Mieux encore, les logiciens qui à la suite de Cantor ont voulu créer une science de l'Infini, se sont heurtés à des contradictions. Et à la lueur de ces antinomies cantoriennes, Henri Poincaré condamne les logiciens purs ; « Ce n'est que dans une autorité infaillible qu'on peut avoir une confiance aveugle. C'est donc une nécessité pour vous : vous serez infaillible ou vous ne serez pas » (1).

L'intuition, conclut Henri Poincaré, est donc nécessaire au mathé-

(1) Science et Méthode, p. 194.

ri

maticien, comme au physicien d'ailleurs. Sans elle la mathématimie Intéconde se réduit à une tautologie.

Le débat avec les logisticicns se poursuivit après la publication des premiers mémoires de H. Poincaré. Aussi particulièrement en ce qui concerne la logque de l'infini, celui-ci étudia-t-il l'origine de ces divergences inconciliables (1).

Elles tiennent à une didérence psychologique entre les deux écoles des « Praumatistes » et des « Cantoriens ». ainsi que les nomme H. Poincaré. '

Les premiers associent l'idée de l'inflni à la possibilité de créer sans limite des objets. Les seconds admettent un infini actuel, dont le tlni dérive en y pratiquant une section.

Les Cantoriens sont des réalistes pour lesquels la Nature et la Physique existent indépendamment de ceux qui les étudient et Ils s'apparentent par là aux platoniciens. Les Pragmatistcs sont des Idéalistes qui ne « sauraient concevoir un objet pensé indépendammtnt d'un sujet pensant ».

Los Piagmntistps et les Cantoriens ne parlent pas la même langue. Ils ne pourront jamais s'entendre, car le critérium du savant, la vérillcation, est exclue du domaine de leurs controverses.