Mesure de la taille

La théorie des moyennes sert de base à toutes les sciences d'observation ; elle est si simple et si naturelle, qu'on n'apprécie peut-être pas assez le pas immense qu'elle a fait faire à l'esprit humain ^ Nous ignorons à qui elle est due ; c'est ainsi que toutes les grandes découvertes se sont établies, sans qu'on en ait connu les inventeurs. Tout ce que nous apprend à cet égard l'histoire des sciences, c'est qu'un peuple se servit de la découverte avant les autres. Il en a été ainsi de la numération, de l'écriture et de l'imprimerie même, dont l'invention est si rapprochée'-. « Remarquons dès à présent qu'en se préoc-

1 Les ouvrages des grands géomètres qui avaient appliqué la théorie des probabilités aux principaux phénomènes de l'astronomie et de la physique, avaient déjà montré ce qu'on pouvait attendre de ce genre de calculs. S'ils n'avaient pas fait d'applications plus directes aux phénomènes sociaux, c'est que la science n'oflfrait pas assez de documents pour les mettre à l'épreuve du calcul numérique. Aujourd'hui encore, l'on manque des données nécessaires pour y lire d'une manière sûre, et particulièrement lorsque les éléments du calcul manquent ; c'est ce qui nous arrive, même pour les tailles.

2 L'un des géomètres modernes qui ont le mieux apprécié l'exactitude des calculs de la théorie des probabilités, M. le baron Fourier, s'est exprimé de la manière suivante au sujet de l'exactitude d'un résultat statistique: {Recherches statistiques sur la ville de Paris, imp. royale, in-4°, 1826, page XV de Y Introduction.) « Jusqu'ici nous n'avons point considéré les conséquences mathématiques, mais seulement celles que présente un ])remier examen. Il faut maintenant approfondir la question, et montrer comment elle peut être résolue par les théories analytiques. Si le nombre des valeurs observées est très grand, et si, après les avoir ajoutées ensemble, on divise la somme par le nombre, le quotient est une valeur moyenno très approchée ; il est certain que le degré d'approximation est

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cupant de l'idée de la moyenne pour des quantités susceptibles de varier, on a peut-être trop perdu de vue les limites entre lesquelles s'opèrent les variations. Partout où l'on peut dire plus ou moins, on a nécessairement trois choses à considérer, un état moyen et deux limites.

« Sans recourir à la science, l'habitude nous donne une appréciation vague de la moyenne et des limites des variations qui appartiennent à chaque élément que nous

d'autant plus grand que l'on a employé un plus grand nombre de valeurs particulières. On voit, de plus, que si ces valeurs particulières sont très peu différentes les unes des autres, on est fondé à regarder le résultat comme plus exactement connu que si elles étaient très inégales. Ainsi le degré d'approximation ne dépend pas seulement du nombre de quantités que l'on a réunies, il dépend encore du plus ou moins de diver"sité de ces quantités ; il s'agit de se former une idée exacte de ce degré d'approximation, et de montrer que la précision du résultat est une quantité mesurable que l'on peut toujours exprimer en nombres. Nous énoncerons d'abord la règle qui doit être suivie pour trouver cette mesure numérique de la précision.

« Désignons par a, b, c, d, n les valeurs particulières dont on à

déduit le résultat moyen, et par A ce i-ésultat; m exprime le nombre des valeurs et on le suppose très grand. La valeur moyenne A est égale à la

somme a-\-b-\- c -f-n divisée par le nombre m. On prendra le carré

de chacune des valeurs particulières ; puis, ajoutant ensemble tous ces

carrés j ^,2 j ^2 -f- n^, on divisera leiir somme par 'le nombre m,

ce qui donnera un quotient qui représente la valeur moyenne des carrés. On retranchera de B, le carré A^ de la valeur moyenne, et l'on divisera le double du reste par le nombre m. Extrayant la racine carrée du quotient, on trouvera une quantité que nous désignons par C, et qui sert à mesurer le degré d'approximation. Plus la valeur de C est petite, plus la moyenne calculée A est voisine de la valeur exacte que l'on cherche.

« Les résultats sont exprimés comme il suit :

présente la nature ou l'état social ; c'est d'après ces appréciations que nous sommes guidés dans nos raisonnements. Mais il convient aux progrès des lumières de substituer des idées précises à des notions vagues... La considération des limites en tant qu'elles complètent l'idée de la moyenne, n'a pu prendre quelque consistance que par l'application du calcul des probabilités à l'étude des phénomènes naturels. L'établissement et le développement de la théorie des moyennes formeraient un des chapitres les plus intéressants de l'histoire de l'esprit humain; c'est Archimède, ce génie remarquable à tant d'égards, qui semble avoir, dans l'antiquité, le. mieux entrevu l'importance des moyennes ; il en a fait un usage admirable dans la recherche du centre de gravité; et cette idée ingénieuse, qui a été si féconde depuis, mériterait à elle seule la reconnaissance des hommes ^ "

L'idée de la moyenne, du reste, malgré son importance, ne résolvait pas entièrement le problème relatif à l'homme; ce n'était qu'une donnée au milieu de toutes celles qui étaient nécessaires pour la solution complète. Jusqu'à notre .époque, la science a toujours individualisé l'homme, ne connaissant pas les lois régulières qui concernent l'espèce toute entière. Or, il ne suffit pas individualiser l'homme, il faut le considérer d'une manière plus générale, comme

• Voyez mes Lettres sur la théorie des probabilités, etc., pages 59 à 156, 1 vol. iu-8°, Bruxelles, 1846. Voyez aussi 1° mon Mémoire sur Tappréciation des documents statistiques, et en particulier sur l'appréciation des înoyenne^, présenté, le 21 février 1844, à la commission centrale de statistique du royaume de Belgique, qui l'a fait insérer dans le tome II de ses Bulletins, in-4''; 2° les Mémoires de V Académie royale des sciences, des lettres et des beaux-arts de Belgique, tome XXI, in-4o, an. 1846, renfermant l'écrit 5t»'Za statistique morale et les principes qui doivent en former la hase, ainsi que les deux mémoires sur le même sujet par MM. P. de Decker membre de la Chambre dos représentants, et Van Meenen, vice-président de la cour de cassation, tous doux membres de l'Académie royale.

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fraction d'un ensemble qui embrasse le système le plus complet et le plus digne de notre attention, par la généralité et la simplicité des lois qu'il présente.

On ne verra pas sans intérêt, je pense, la simplicité des formules par lesquelles se calcule le développement humain. La loi hinomiale n'a pas été indiquée d'abord comme formant la base de ces recherches. Je ne me suis même décidé à la faire connaître, qu'après en avoir fait usage dans les circonstances les plus diverses.

Les deux courbes, exprimant les lois les plus générales et- les plus régulières sur lesquelles je crois devoir appeler spécialement l'attention, sont perpendiculaires l'une à l'autre : elles ont été indiquées précédemment, et concernent l'une les tailles 7noyennes, et l'autre les lignes binomiales. Cette dernière ligne est très connue par les recherches de Newton, qui lui a laissé son nom. La première présente moins de facilité ; elle ressemble beaucoup à la courbe ordinaire de mortalité, et nous aurons l'occasion d'y revenir^.

L'identité de la formule qui règle le développement de l'homme, dans les différents pays, sera probablement l'une des preuves les plus convaincantes de l'existence de la loi relative à la régularité des tailles de l'homme d'un même âge; mais la mesure des moyennes, et on lé concevra sans peine, devra être partout la même. Si cette identité n'existait pas, une réduction préalable des nombres deviendrait

1 Tous les points appartenant à la surface rapportée aux trois plans que nous avons indiqués et qui sont placés rectangulairement l'un à l'autre, peuvent donc se construire sans peine. 11 suffit pour cela de connaître les trois coordonnées qui les concernent : ces coordonnées sont lage de l'individu, sa taille et sa distance au plan diamétral.

Cette théorie a été déve'loppée, mais d'une manière moins explicite, dans l'ouvrage que j'ai publié en 1846, dans mon traité sur la théorie des probabilités et dans mon mémoire sur la statistique.

nécessaire : il faut ensuite que les observations soient faites en nombre suffisant. Le tableau numérique suivant prouve que, pour avoir^june formule de quinze termes, il faudrait au moins 16,384 observations recueillies avec soin, et l'on n'aurait alors qu'autant de termes calculés qu'il y a de cas possibles dans le développement.

La mesure que nous avons employée ici a constamment été la mesure métrique, pour apporter plus de facilités dans nos comparaisons et plus d'uniformité dans les tables ; toutefois il est évident que l'on pourrait changer la mesure, mais on s'exposerait alors à plus de difficultés de calculs .

Voici les principes sur lesquels on peut s'appuyer. Un phénomène, quel qu'il soit, dépend de causes favorables ou défavorables à son arrivée. Dans le premier cas, les causes favorables ou défavorables 'peuvent être égales en nombre; dans le second cas, les causes favorables peuvent être plus ou moins nombreuses que les causes contraires.

Supposons d'abord des boules blanches et noires en même nombre et enfermées dans une même urne; supposons de plus qu'on fasse différents tirages, d'abord de deux boules, puis de trois, puis de quatre, etc.; nous aurons successivement, en désignant par b et n les boules blanches et noires :

(b -i- n)2 = 62 4- 2bn + 7i\

Si l'on inscrit les résultats des tirages, on aura, eu indiquant ces résultats d'après leurs valeurs numériques, et sans indiquer leurs couleurs :

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Ce tableau nous montre d'abord, qu'en ne faisant rigoureusement que les épreuves nécessaires pour obtenir une concordance possible entre le nombre des tirages et le nombre des chances calculées dans la table, il faudrait que chaque nombre prévu pût se présenter au moins une seule fois ; on aurait ainsi, d'après la dernière colonne du tableau précédent, deux chances possibles, pour un seul tirage fait dans un sac ne renfermant que des boules blanches et noires en nombre égal ; on aurait quatre chances possibles de deux boules ; huit chances possibles dé trois boules, etc., comme l'indique le tableau numérique qui précède. Pour un tirage de 20 boules, on aurait plus d'un million de chances possibles. Le nombre des chances s'accroît très rapidement, en augmentant le nombre des boules tirées.

Ces exemples, soumis à l'expérience, nous montrent combien il peut y avoir divergence entre une série de résultats calculés et une série de résultats déduits des observations les plus exactes. Cependant il est à remarquer que, bien souvent, sans avoir même laissé à l'expérience le soin de faire le nombre d'observations absolument nécessaire, on trouve déjà la presque similitude des nombres que l'on cherchait. C'est ce qu'on a pu remarquer dans les nombres donnés sur la taille de l'homme. Ce qui frappe au. premier abord, c'est l'espèce d'identité entre les différentes formules. Les termes qui représentent les hommes des différents pays offrent les mêmes expressions d'après nos recherches. Trois pays que nous avons comparés donnent des maxima de même valeur : la France, la Belgique et l'Italie ; les hommes n'avaient guère que 20 ans, en entrant au service. Pour l'Amérique, l'armée comptait des hommes déjà faits et ayant atteint toute leur croissance.

En général, pour faciliter les comparaisons, il faudra, comme nous l'avons dit, employer autant que possible des mesures uniformes ; ainsi, pour connaître la taille de l'homme, il conviendra de représenter les éléments. que l'on veut comparer , par des équations ayant un même nombre de termes : quinze par exemple paraîtraient suffisants. Chaque formule de quinze termes, pour être complète, devrait avoir au moins 32,768 observations qui forment le nombre d'unités composant la formule. Avec moins de chiffres , on n'obtiendrait que des nombres douteux : si l'on en emploie davantage, les précisions seront comme les racines carrées du nombre d'observations.

Les formules étant de même espèce, si l'on compare les résultats calculés aux résultats observés, on juge mieux de leur plus ou moins de conformité et des points par où les valeurs pourraient différer entre elles. Les formules offrent tant de simplicité et tant de similitude, qu'il sera possible, dans le plus- grand nombre de cas, de se dispenser de faire les calculs de réduction nécessaires.

Quelquefois la formule écrite précédemment est employée dans un autre ordre. On peut faire, par exemple, 1,000 tirages d'un sac ne contenant qu'un même nombre de boules blanches et de boules noires , en ne tirant, chaque fois , qu'une seule boule qu'on remet après le tirage.

Si l'on faisait deux tirages, il y aurait quatre chances différentes : on peut tirer de suite ou deux fois la boule blanche ou deux fois la boule noire, ou bien l'on peut avoir une fois la boule blanche en premier avec la noire, ou la boule noire en premier avec la blanche. Il faudrait donc, sur un nombre de 1,000 tirages, avoir la blanche 250 fois seule, ou la noire 250 fois seule, ou la blancho

avec la noire 250 fois, ou la noire avec la blanche 250 fois; ce qui donnerait en tout les 1,000 tirages.

Un pareil raisonnement nous donnerait, dans trois tirages successifs, 125 fois la boule blanche seulement; ou 125 fois la boule noire seulement ; 375 fois la boule blanche deux fois, avec la boule noire une fois ; et de même 375 fois la boule blanche une fois, avec la boule noire deux fois ; ce qui forme en tout 1,000 tirages.

Le tableau suivant nous indiquera facilement tous les nombres de tirages possibles qui pourront se faire en prenant les boules une à une, ou deux à deux, ou trois à trois, etc.