OBJET DU MEMOIRE QUI SUIT

§ 1er. La Géométrie descriptive de Monge est passée dans l'enseignement des mathématiques. La théorie des transversales de Carnot, qu'un des géomètres qui ont le plus approfondi la métaphysique et la nature des sciences a déjà depuis long-temps émis le vœu de voir introduire dans les élémens de Géométrie 1 , est appréciée par la plupart des professeurs, qui en comprennent aujourd'hui dans leurs cours les théorèmes principaux. Mais les autres méthodes dont nous avons parlé, sont encore éparses dans les mémoires des géomètres qui s'en sont servis, et dont la lecture, à cause du très-grand nombre des résultats nouveaux qu'ils contiennent, peut paraître longue et pénible. C'est là, je crois, la véritable cause de l'éloignement pour la Géométrie rationnelle où l'on ne croit voir, et cette erreur est déplorable, qu'un chaos de propositions nouvelles trouvées au hasard, sans liaison entre elles et sans avenir pour un perfectionnement notable de la science de l'étendue.

Nous avions pensé qu'il serait utile, pour chercher à détruire cette erreur, de coordonner entre elles toutes ces vérités partielles et isolées, de les faire dériver toutes de quelques-unes seulement prises parmi les

1 « ... Cette ingénièute théorie des transvertakt , dont le» principe» simple» et fécond» mériteraient bien d'être admis au nombre de» élémens do la Géométrie. * [ Journal de Vécole polytechnique, 10' cahier; Mémoire tur let polygonee et les polyèdre*, par AI. Poiruot. )

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

plus générales, et de rattacher celles-ci aux méthodes dont nous avons parlé; ce qui eût été aussi une justification de notre classification. Ce travail aurait porté le titre d'Essais de complémens de Géométrie rationnelle. Son objet principal eût été une exposition dogmatique des méthodes en question, et de leurs principales applications. Nous y joignions une théorie nouvelle et purement géométrique des surfaces du second degré, et une théorie, géométrique aussi, des courbes planes du troisième degré, avec lesquelles enfin il est temps de se familiariser; condition nécessaire des progrès ultérieurs de la Géométrie, comme a été jusqu'à ce jour la connaissance complète des courbes du second degré.

Nos matériaux étaient plus ou moins avancés, ainsi qu'on peut en juger par diverses Notes que nous y avons puisées pour nous en servir dans cet écrit. Mais, ainsi qu'il devait arriver dans un travail qui embrassait tant de recherches diverses, la matière s'est étendue, et nous avons reconnu qu'il nous fallait un plus long temps et un plus grand cadre que nous n'avions cru d'abord, pour le terminer sans une trop grande imperfection ; et des retards trop prolongés devant avoir aussi leurs inconvéniens, nous nous sommes décidé à écrire d'abord séparément sur les différentes parties que nous destinions à cet ouvrage; nous promettant de revenir ensuite à notre premier projet ; et désirant toutefois qu'une plume plus habile et plus capable de le mener à bien nous prévienne dans l'accomplissement d'une entreprise que nous croyons utile à la Géométrie.

§ 2. Nous nous proposons de traiter, dans le mémoire qui va suivre, des méthodes comprises dans nos deuxième et troisième divisions, et de mettre au jour les deux principes généraux de l'étendue, auxquels nous avons dit que toutes ces méthodes peuvent se rattacher ; et qui constituent deux doctrines générales de déformation et de transformation des figures.

S 3. Nous démontrerons ces deux principes d'une manière directe, qui en fera des vérités absolues et abstraites, dégagées et indépendantes de toutes méthodes particulières propres à lesjustifier ou à en faciliter les applications dans quelques cas particuliers.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

Nous les présenterons, ainsi que nous l'avons déjà dit, dans une plus grande généralité qu'aucune de ces méthodes. L'extension que nous leur donnerons trouvera sa principale utilité dans un principe de relations de grandeur extrêmement simple, qui les rendra applicables à de nombreuses questions nouvelles.

Ce principe repose sur une relation unique, à laquelle il suffira toujours de ramener toutes les autres. Cette relation est celle que nous avons appelée rapport anharmonique de quatre points ou d'un faisceau de quatre droites. C'est là le type unique de toutes les relations transformables par les deux principes que nous démontrons. Et la loi de correspondance entre une figure et sa transfonnée , consiste dans l'égalité des rapports anharmoniques correspondans.

La simplicité de cette loi, et celle du rapport anharmonique rendent cette forme de relations éminemment propre à jouer un rôle si important dans la science de l'étendue.

Quand les relations proposées paraîtront au premier abord ne pas rentrer dans cette formule, l'art du géomètre consistera à les y ramener par différentes opérations préparatoires, analogues, sous certaines rapports, aux changemens de variables et aux transformations de l'analyse.

§ 4. Nous commencerons par le principe de transformation dont la théorie des polaires réciproques offre des applications, parce que le second, quoique tout aussi général daus sa destination, en sera un corollaire naturel. Nous l'appellerons principe de dualité, suivant l'expression de M. Gergonne; et nous dirons que deux figures qui auront entre elles les dépendances voulues par les lois de ce principe, sont corrélatives '.

Après avoir démontré ce principe, nous en ferons diverses applica-

> Le mot corrélatif étant employé d'une manière générale dans mille circonstances, il serait bien à désirer qu'on eût un autre adjectif dérive du mot dualité. Parcelle raison nous avions pensé à substituer au mot dualité celui de diphanie, qui aurait exprimé ce double genre de propriétés que présentent toutes les figures de l'étendue ; nous aurions dit le principe de diphanie, et nous aurions appelé diphaniques les figures qui auraient eu entre elles les relations prescrites par ce principe. Mais nous n'avons point voulu nous permettre de substituer une nouvelle dénomination à celle qui a été généralement reçue.

256 HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

tions, qui nous conduiront à des propositions nouvelles, dont plusieurs seront des propriétés générales, d'un genre tout nouveau, des courbes planes et à double courbure, et des surfaces géométriques : puis nous donnerons la construction analytique et géométrique des figures corrélatives les plus générales ; et enfin, nous exposerons les rapports qui ont lieu entre ce principe et la théorie des polaires réciproques ; et nous en déduirons plusieurs autres méthodes particulières , qui offriraient , comme cette théorie, des moyens faciles de mettre en usage ce principe, s'il n'était démontré directement et à priori , comme une propriété inhérente à l'étendue figurée.

S 5. Parmi les applications du principe de dualité , il en est une qui mérite que nous en fassions ici une mention particulière.

En jetant un coup d'œil sur l'état de la Géométrie avant qu'on eût fait usage de la théorie des polaires pour transformer certains théorèmes , on s'aperçoit que l'on ne connaissait que très-peu de vérités qui fussent les corrélatives d'autres vérités connues. Dans la théorie des courbes, par exemple, aucune de leurs propriétés générales n'avait sa corrélative. Cette circonstance prouve que la méthode analytique de Descartes, à laquelle on devait les plus belles découvertes, particulièrement dans la Géométrie des courbes, n'est pas applicable, ou du moins présenterait des obstacles très-grands si on cherchait à l'appliquer à ce genre de théorèmes qu'on obtient immédiatement, en vertu du principe de dualité, comme corrélatifs de théorèmes démontrés par cette méthode de Descartes. Le principe de dualité donne donc, sous ce rapport, à la Géométrie pure un avantage incontestable sur la méthode analytique.

Mais on ne conclura pas de là que l'algèbre , cet instrument merveilleux, qui, jusqu'à ce jour, s'est prêté à toutes les conceptions géométriques, doive refuser son secours aux nouvelles propriétés de l'étendue, qui semblent échapper aux procédés de Descartes. On pensera au contraire qu'il suffira de modifier dans sa mise en œuvre, la grande conception de Descartes, en lui reconnaissant pour objet adéquat l'application des symboles algébriques aux idées de figure et d'étendue.

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

Le moyen employé par Descartes a été de considérer une courbe comme la conjonction de points se succédant d'après une loi donnée, et d'exprimer la position de tous ces points par une relation constante entre les distances de chacun d'eux à deux axes fixes.

On conçoit sans peine, que le procédé analogue dans la nouvelle Géométrie analytique, sera de considérer chaque courbe comme l'enveloppe de toutes ses tangentes; et d'exprimer la position de toutes ces droites par une équation unique entre deux variables, dont chaque système de valeurs correspondra à l'une de ces droites.

Le principe même de dualité , appliqué aux procédés et aux relations géométriques que représente l'équation d'une courbe ou d'une surface dans le système de Descartes , conduira immédiatement au nouveau système de Géométrie analytique en question. C'est ainsi que nous l'exposerons dans cet écrit, brièvement, comme simple application du principe de dualité, nous réservant de revenir sur cet objet, que nous avons traité directement, et sans le secours du principe de dualité , en suivant à peu près la marche adoptée pour l'exposition de la Géométrie analytique en usage.

Nous avons déjà dit en peu de mots en quoi consiste notre nouveau système de coordonnées , et nous en avons fait des applications [Voir le tom. VI, pag. 81 de la Correspondance mathématique de M. Quetelet). Mais si nous n'avons pas mis d'empressement à publier ce travail qui, si le principe de dualité n'était pas connu, aurait une grande utilité, parce qu'il servirait à démontrer directement tous les théorèmes corrélatifs de ceux qu'on obtient par la Géométrie de Descartes, c'est qu'il n'est point indispensable, aujourd'hui que le principe de dualité sert à transformer sur-le-champ les vérités obtenues par la méthode de Descartes.

Néanmoins ce nouveau système de Géométrie analytique nous parait mériter d'être développé, comme complétant, avec la doctrine des coordonnées de Descartes , l'œuvre que s'est proposée ce grand philosophe dans sa magnifique conception de l'application de l'algèbre à la Géométrie.

Toï. XI. 33

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE

$ 6. Ce que nous venons de dire de la Géométrie analytique , relativement aux propriétés de l'étendue découvertes par le principe de dualité, s'applique aussi en partie à la théorie des transversales , telle que Carnot l'a formée, et qu'elle a été appliquée depuis une trentaine d'années. Cette théorie ne convient pas, dans son état actuel, pour la démonstration de beaucoup de théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes, qui sont les corrélatifs d'autres théorèmes qu'on a démontrés par cette théorie même. Cependant elle s'applique à ceux de ces théorèmes qui ne concernent que les systèmes de lignes droites, parce que Carnot a compris dans cette théorie le théorème de Jean Bernoulli (ou plutôt de Jean Ceva, comme nous l'avons dit, Note VI), qui se trouve être le corrélatif de celui de Ptolémée.

Il suflira d'introduire pareillement dans la théorie des transversales, quelques théorèmes relatifs aux lignes et aux surfaces courbes, pour la mettre en état de satisfaire par elle-même et directement aux doubles questions qui doivent toujours se présenter désormais dans les spéculations géométriques. Ces théorèmes, qui seront précisément les corrélatifs des principes actuels de la théorie des transversales, ont déjà été obtenus par M. Poncclet dans ses applications de la théorie des polaires réciproques; et cet habile géomètre en a fait usage dans son mémoire intitulé : Analyse des transversales appliquée à la recherclte des propriétés projeclives des lignes et surfaces géométriques ( Voir tom. VIII du Journal de M. Crelle). £j"jjç> £ S 7. Après avoir montré que le principe de dualité étend ses applications sur la Géométrie analytique, en y introduisant un nouveau système de coordonnées, nous devons ajouter que l'influence et la portée de ce principe peuvent s'étendre jusque sur l'algèbre même , considérée dans son abstraction absolue. On ne doit point s'étonner de cela; car Monge nous a appris, par d'assez beaux exemples, qu'aux lois de l'étendue et qu'à toutes les conceptions de la Géométrie suffisamment générales, peuvent correspondre des considérations et des résultats de pure algèbre.

C'est sous deux points de vue que nous envisageons les usages du

HISTOIRE DE LA GÉOMÉTRIE